μ μˆ μ μ μ μ μ

Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część siódma: EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH
EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH
7.1. Warunki konieczne
Warunki konieczne, jakie muszą być spełnione w punkcie x∈ℜN, aby w punkcie tym mogło
istnieć rozwiązanie:
ZOmin: x = (x1, ..., xN); f(x) hj(x) ≤ 0, j = 1,..., J
(7.1)
Wprowadźmy funkcję Lagrange’a:
L(x, µ) ≡ f (x) +
J
∑
µj hj (x) ,
j =1
przy czym µ =(µ1,…, µJ) jest zespołem mnożników Lagrane’a.
Twierdzenie (wniosek):
Jeżeli funkcje f(x), hj(x), j = 1,...J, przy czym x∈ℜN, są różniczkowalne w punkcie x̂ będącym
punktem regularnym i funkcja f(x) osiąga w tym punkcie minimum warunkowe przy
warunkach ograniczających hj(x) ≤ 0, j = 1,..., J, to są spełnione warunki:
 ∂L 
 = 0, n = 1,....,N
1o) 
 ∂xn  xˆ, µˆ
 ∂L 
 ≤0
2o) 

 ∂µ j  xˆ
 ∂L 
 =0
3o) µ̂ j 
 ∂µ 
 j  xˆ
o
4 ) µ̂ j ≥ 0
(7.2)
j = 1,..., J
Warunki (7.2) nazywane są warunkami Kuhna – Tuckera dla ZOmin (7.1) i stanowią warunki
konieczne istnienia w punkcie x̂ rozwiązania tego zadania. Warunki (7.2) są „wystarczające”
przy założeniu, że funkcja f(x) jest wklęsła (wypukła w dół).
__________________________________________________________________________
7.2. Przypadek f(x): ℜ2→ℜ
Rozważmy warunki, jakie zachodzą w punkcie x̂ będącym rozwiązaniem zadania 1)
(niech x∈ℜ2 oraz J=3). Charakterystyczne przypadki położenia minimum funkcji f(x)
przedstawia rys.7.1. Niech X oznacza zbiór punktów dopuszczalnych, tj. zbiór spełniający
warunki hj(x)≤0, j=1,2,3. Na rysunku 7.1 przedstawiono następujące przypadki:
a) Funkcja f(x) osiąga minimum bezwarunkowe w punkcie x̂ wewnątrz zbioru X. Zatem
(7.3)
(∇ f x̂ ) = 0
oraz zachodzą nierówności:
h1( x̂ )<0, h2( x̂ )<0, h3( x̂ )<0.
Zauważmy, że równość :
3
(∇ x L) xˆ, µˆ = (∇f ) xˆ + ∑ µ j (∇h j ) xˆ = 0
j =1
jest równoważna równości (7.3), jeśli µˆ1 = µˆ 2 = µˆ 3 = 0 .
(7.4)
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część siódma: EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH
a)
b)
x2
(
f (x) = f 3
(
f (x) = f 2
(
f (x) = f1
c) x2
(
f (x) = f 2
(
f (x) = f1
η’
a1’
a2’
η’
x2
(
f (x) = f 2
(
f (x) = f1
h1(x)=0
a1’
h1(x)=0
(
f (x) = f 3
° x̂
h2(x)=0
h2(x)=0
X
h1(x)=0
(
f (x) = f 3
X
° x̂
h3(x)=0
h3(x)=0
X
0
h2(x)=0
h3(x)=0
x1
x1
0
°x̂
x1
0
( (
(
f1 < f 2 < f 3
Rys.7.1. Szczególne przypadki położenia minimum funkcji f(x) przy warunku, że x∈ X. Przyjęto
oznaczenia: aj' = ( ∇h j ) x̂ , η' = -(∇ f ) x̂ : a) punkt x̂ pokrywa się z punktem minimum
bezwarunkowego; b), c) punkt x̂ nie pokrywa się z punktem minimum bezwarunkowego.
b) Mamy tu w punkcie x̂ aktywny jeden warunek ograniczający h1(x) ≤ 0 {„aktywny” tzn.,
że h1( x̂ ) = 0}, czyli
h1( x̂ ) = 0, h2( x̂ ) < 0, h3( x̂ ) < 0
{h2 i h3 → „nie aktywne”}
Zatem rozważane zadanie ZOmin jest równoważne zadaniu znajdowania punktu minimum
funkcji f( x̂ ) przy warunku ograniczającym równościowym h1( x̂ ) = 0, jeśli minimum to
istnieje w punkcie x̂ , to :
− (∇f ) xˆ = µ1 (∇h1 ) xˆ
(7.5)
c) Zauważmy, że równość (7.5) jest równoważna równaniu (7.4), gdy µˆ1 > 0, µˆ 2 = µˆ 3 = 0
h1(x) ≤ 0 i h2(x) ≤ 0 są w x̂ aktywne, czyli:
h1( x̂ ) = 0, h2( x̂ ) = 0, h3( x̂ ) < 0 .
Sytuacja jest podobna do rozważanej już sytuacji b). Teraz w dostatecznie małym otoczeniu
punktu x̂ omawiane zadanie ZOmin (7.1) jest równoważne zadaniu znajdowania punktu
minimum funkcji f(x) przy dwóch warunkach ograniczających h1( x̂ ) = 0, h2( x̂ ) = 0.
Wiemy, że jeśli to minimum istnieje w punkcie x̂ , to:
(7.6)
− (∇f ) xˆ = µ1 (∇h1 ) xˆ + µ 2 (∇h2 ) xˆ
Zauważmy, że równość (7.4) jest równoważna równości (7.6), gdy: µˆ1 > 0, µˆ 2 > 0, µˆ 3 = 0 .
Dokonajmy teraz przeglądu warunków spełnionych w poszczególnych sytuacjach . Widzimy,
że zawsze
µˆ j ≥ 0,
j = 1,2 ,3 , czyli µˆ ≥ 0
ponadto dla j =1,2,3 :
a) jeżeli hj( x̂ ) < 0 , to zawsze µˆ j = 0 ,
b) jeżeli hj( x̂ ) = 0 , to może być µˆ j = 0 ,
c) jeżeli µˆ j > 0 , to zawsze hj( x̂ ) = 0 .
(7.7)
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część siódma: EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH
Z zespołu warunków (7.7) widać, że zachodzi:
 ∂L 
 = 0 , dla j = 1,2,3
µ̂ j hj( x̂ ) = 0, czyli µ̂ j 
∂µ j 

 xˆ
Punkt x̂ może być tylko wówczas rozwiązaniem zadania, gdy spełnia wszystkie warunki
ograniczające. Musi więc być hj( x̂ ) ≤ 0 , j = 1,2,3 , lub co jest temu równoważne :
 ∂L 
 ∂L 

 ≤ 0,
 = hj( x̂ ) */
j
=
1,2,3
czyli
(∇
/*
pami
ętając, że: 
λ L) x̂ ≤ 0.

 ∂µ 
∂
µ
 j  x̂
 j  xˆ