Analiza wektorowa. Kolokwium nr 1. Zestaw I. Zadanie 1

Analiza wektorowa. Kolokwium nr 1. Zestaw I.
(
2
√ x2 y 2 dla (x, y) 6= (0, 0)
x +y
Zadanie 1. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji f (x, y) =
w (0, 0).
0
dla (x, y) = (0, 0)
2
Zadanie 2. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego
√ przedziału otwartego P ⊂ R na obszar
2
G = {(x, y) ∈ R : 0 < x < y < 4x, 2 < x + 2y < 8, }.
Zadanie 3. Pokazać, że odwzorowanie ϕ(t) = (t, sin t, t, cos t) jest dyfeomorfizmem R na obraz ϕ(R). Znaleźć
przestrzeń styczną do tego obrazu w punkcie (0, 0, 0, 1).
Zadanie 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem x2 − 2x + 4y 2 = 3.
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o mnożnikach Lagrange’a znaleźć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) =
4x + 2y − 5 na zbiorze S = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + 4y 2 = 9}.
Analiza wektorowa. Kolokwium nr 1. Zestaw II.
(
3
√ x2 2 dla (x, y) 6= (0, 0)
x +y
Zadanie 1. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji f (x, y) =
w (0, 0).
0
dla (x, y) = (0, 0)
Zadanie 2. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego P ⊂ R2 na obszar
G = {(x, y) ∈ R2 : 1 < ex+2y < 5, 2 < e2x−y < 3}.
Zadanie 3. Pokazać, że odwzorowanie ϕ(t) = (t, sin t, 2 cos t) jest dyfeomorfizmem R na obraz ϕ(R). Znaleźć
przestrzeń styczną do tego obrazu w punkcie (0, 0, 2).
Zadanie 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem x2 −4x+y 2 +2y = −4.
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o mnożnikach Lagrange’a znaleźć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) =
50 − 2x − 2y na zbiorze S = {(x, y) ∈ R2 : 9x2 + 3y 2 = 4}.
Analiza wektorowa. Kolokwium nr 1. Zestaw III.
(
2
√ x2 y 2 dla (x, y) 6= (0, 0)
x
+y
Zadanie 1. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji f (x, y) =
w (0, 0).
0
dla (x, y) = (0, 0)
2
Zadanie 2. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego
√ przedziału otwartego P ⊂ R na obszar
2
G = {(x, y) ∈ R : 0 < x < y < 4x, 2 < x + 2y < 8, }.
Zadanie 3. Pokazać, że odwzorowanie ϕ(t) = (t, sin t, t, cos t) jest dyfeomorfizmem R na obraz ϕ(R). Znaleźć
przestrzeń styczną do tego obrazu w punkcie (0, 0, 0, 1).
Zadanie 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem x2 − 2x + 4y 2 = 3.
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o mnożnikach Lagrange’a znaleźć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) =
4x + 2y − 5 na zbiorze S = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + 4y 2 = 9}.
Analiza wektorowa. Kolokwium nr 1. Zestaw IV.
(
3
√ x2 2 dla (x, y) 6= (0, 0)
x +y
Zadanie 1. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji f (x, y) =
w (0, 0).
0
dla (x, y) = (0, 0)
Zadanie 2. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego P ⊂ R2 na obszar
G = {(x, y) ∈ R2 : 1 < ex+2y < 5, 2 < e2x−y < 3}.
Zadanie 3. Pokazać, że odwzorowanie ϕ(t) = (t, sin t, 2 cos t) jest dyfeomorfizmem R na obraz ϕ(R). Znaleźć
przestrzeń styczną do tego obrazu w punkcie (0, 0, 2).
Zadanie 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem x2 −4x+y 2 +2y = −4.
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o mnożnikach Lagrange’a znaleźć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) =
50 − 2x − 2y na zbiorze S = {(x, y) ∈ R2 : 9x2 + 3y 2 = 4}.