Anna Bekus - Optymalizacja kształtu kolumny za pomocą algorytmu

Optymalizacja kształtu kolumny za pomoca˛
algorytmu symulowanego wyżarzania
Anna Bekus
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek Informatyka, Rok III
[email protected]
Streszczenie
Układ smukły poddany działaniu obcia˛żenia eulerowskiego traci stateczność gdy
siła osiowa przekroczy wartość zwana˛ siła˛ krytyczna.˛ Optymalizacja kształtu kolumny ma na celu osiagni˛
˛ ecie jak najwi˛ekszej wartości siły krytycznej. W tym celu
układ dzielony jest na określona˛ liczb˛e cz˛eści, a optymalizacja kształtu dokonywana
jest poprzez dobór średnic tych cz˛eści. Siła krytyczna wyznaczana jest z układu równań wynikajacego
˛
z warunków brzegowych odnośnie zamocowania oraz warunków
brzegowych w punktach podziału układu. Równanie przest˛epne na wartość obcia˛żenia krytycznego uzyskuje si˛e poprzez przyrównanie do zera wyznacznika macierzy
współczynników układu równań. Siła krytyczna jest funkcja˛ wielu zmiennych. Do
znalezienia maksimum tej funkcji wykorzystany został zmodyfikowany algorytm symulowanego wyżarzania. Zastosowany w algorytmie generator sasiedztwa
˛
zmienia
swoje działanie razem z funkcja˛ temperatury.
1 Wst˛ep
Układ smukły, poddany działaniu odpowiednio dużej siły, nazywanej siła˛ krytyczna,˛ traci
stateczność i ulega zniszczeniu. Celem niniejszej pracy jest optymalizacja kształtu kolumny w ten sposób, aby wartość siły krytycznej dla danego przypadku obcia˛żenia była jak
najwi˛eksza. Ograniczenia nałożone na kształt układu to:
1. stała długość kolumny (łaczna
˛
długość wszystkich elementów opisujacych
˛
kształt);
2. stała obj˛etość kolumny (sumaryczna obj˛etość wszystkich elementów opisujacych
˛
kształt);
3. moduł Young’a taki sam dla wszystkich elementów układu;
Zagadnienie optymalizacji kształtu kolumn poddanych działaniu obcia˛żenia eulerowskiego jest tematem pracy Gajewskiego i Życzkowskiego (1988r). Optymalizacj˛e kształtu kolumn poddanych działaniu obcia˛żenia śledzacego
˛
przedstawiono w publikacjach: Bogacz[2],
Imiełowski i Mahrenholtz[5], Tada et al.[9], Hanaoka i Washizu[4]. W pracy [3] Bogacz et
al. przedstawili wyniki badań teoretycznych i obliczeń numerycznych odnośnie do optymalizacji kształtu smukłej struktury poddanej działaniu obcia˛żenia eulerowskiego, śledzacego
˛
oraz uogólnionego z siła˛ skierowana˛ do bieguna dodatniego.
1
W niniejszej pracy opisuje si˛e metod˛e optymalizacji układu smukłego za pomoca˛ algorytmu symulowanego wyżarzania, biorac
˛ pod
uwag˛e kolumn˛e poddana˛ działaniu obcia˛żenia
eulerowskiego. Rozpatruje si˛e dwa warianty
układów różniace
˛ si˛e warunkami brzegowyx
x
mi odnośnie do punktu zamocowania (zamocowanie przegubowe, sztywne utwierdzenie).
Sposób zamocowania i obcia˛żenia rozpatrywanej kolumny, oraz kształt ugi˛etych osi pr˛etów
przedstawiono na Rys. 1 (Por. [10]).
Przyj˛eta w niniejszej pracy metoda opisu zaW(x,t)
W(x,t)
gadnienia, polega na podziale kolumny na
b)
a)
mniejsze elementy, które opisywane sa˛ przez
długość i średnic˛e. W zastosowanej tutaj metoRys. 1: Kolumny obcia˛żone siła˛ Eu- dzie wszystkie elementy sa˛ tej samej długości.
lera. a) przegub-przegub, b) przegub- Optymalizacja kształtu sprowadza si˛e do dobosztywne
ru średnic poszczególnych elementów układu,
dla których otrzymuje si˛e maksymalna˛ wartość
obcia˛żenia krytycznego. Takie rozwiazanie
˛
sprawia, że poszukuje si˛e globalnego maksimum funkcji siły krytycznej, która jest funkcja˛ wielu zmiennych (średnice poszczególnych elementów).
P
P
Pmax = f (d0 , d2 , ..., dn−1 )
(1)
2 Model matematyczny układu
Rozważane w pracy układy smukłe (kolumny), to układy, których zniszczenie nast˛epuje
w wyniku utraty stateczności, a nie w wyniku wyt˛eżenia materiału. Kolumna poddana
obcia˛żeniu eulerowskiemu traci stateczność poprzez wyboczenie (układ dywergencyjny),
gdy siła osiowa przekroczy wartość zwana˛ siła˛ krytyczna.˛ Zagadnienie stateczności rozważanych kolumn opisano w pracy L. Tomskiego et al.[10], w której na podstawie metody
energetycznej, polegajacej
˛ na poszukiwaniu obcia˛żenia, przy którym energia potencjalna
przestaje być określona dodatnio, wyznaczane sa˛ zależności odnośnie do energii układu, równań ruchu i ich rozwiazań
˛
oraz warunków brzegowych. Analizowana w pracy
kolumna dzielona jest na mniejsze elementy, opisane parametrami średnic(di ) i długości
(li ). Wszystkie elementy maja˛ przekrój kołowy. Równania opisujace
˛ warunki brzegowe
oraz warunki ciagłości
˛
pomi˛edzy tymi elementami tworza˛ układ równań z parametrem.
Parametrem tym jest siła wewn˛etrzna w i-tym elemencie kolumny. Ze wzgl˛edu na to,
że równanie różniczkowe opisujace
˛ ruch pr˛eta układu jest równaniem 4 rz˛edu, powstała
w ten sposób liczba równań jest 4 razy wi˛eksza od liczby elementów, na które dzielona
jest kolumna. Siła krytyczna jest wyznaczana poprzez przyrównanie do zera wyznacznika
macierzy powstałej ze współczynników układu równań. Rozwiazaniem
˛
jest najmniejsza
dodatnia wartość parametru, dla której wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
Wyznaczenie wartości tego parametru w sposób bezpośredni (szczególnie dla dużych
macierzy) jest zadaniem bardzo trudnym. Do rozwiazania
˛
tego problemu zastosowana
2
została metoda iteracyjna. W pierwszym kroku obliczana jest wartość wyznacznika dla
zadanej wartości poczatkowej
˛
siły. Nast˛epnie obliczane sa˛ wartości wyznacznika dla kolejnych wartości parametru. Za każdym razem siła zwi˛ekszana jest o 50%. Operacja ta
powtarzana jest dopóki wartość wyznacznika nie zmieni swojego znaku. W ten sposób
uzyskuje si˛e przedział izolacji pierwiastka. Dalsze obliczenia prowadzone sa˛ metoda˛ bisekcji, aż do uzyskania oczekiwanej dokładności.
Zwi˛ekszanie siły o 50% (w poczatkowej
˛
fazie obliczeń) teoretycznie może spowodować
"przeskoczenie" pierwszego, najmniejszego co do wartości miejsca zerowego. Przypadek
taki może zajść gdy wartość drugiego miejsca zerowego jest mniejsza niż 150% pierwszego (poszukiwanego) miejsca zerowego. W przeprowadzonych obliczeniach, dla dużej
liczby losowych danych opisujacych
˛
geometri˛e kolumny, sytuacja taka nie zaistniała ani
razu. Pozwala to wnioskować, iż tak prowadzone obliczenia daja˛ wartość poprawna.˛
3 Symulowane wyżarzanie
Zastosowana w niniejszej pracy metoda symulowanego wyżarzania, to algorytm heurystyczny należacy
˛ do klasy algorytmów niedeterministycznych[8]. Metoda ta jest modyfikacja˛ algorytmu wspinaczki ("hill climbing")[7]. Nowe rozwiazanie,
˛
wybrane poprzez modyfikacj˛e rozwiazania
˛
roboczego, jest akceptowane zawsze gdy poprawia wartość funkcji oceny rozwiazania
˛
określonej wzorem (1). W przeciwnym przypadku akceptacja nast˛epuje z pewnym prawdopodobieństwem równym:
pa = e
−∆ f
T
(2)
gdzie:
∆ f jest różnica˛ funkcji oceny
T - parametr określajacy
˛ temperatur˛e układu
Algorytm symulowanego wyżarzania wymaga zdefiniowania czterech elementów. Sa˛ nimi:
• poczatkowa
˛
reprezentacja rozwiazania
˛
• generator losowych zmian w rozwiazaniu
˛
(funkcja sasiedztwa)
˛
• funkcja oceny (funkcja kosztu)
• schemat chłodzenia (annealing schedule)
Rdzeniem algorytmu jest procedura nazywana Metropolis, która symuluje proces wyżarzania w danej temperaturze T[8]. W procedurze Metropolis wykonywana jest, określona
przez parametr M, liczba iteracji dla tej samej wartości temperatury T. Nast˛epnie temperatura jest zmniejszana zgodnie z przyj˛etym schematem chłodzenia. Liczba iteracji w
kolejnych wywołaniach procedury Metropolis (M) jest zwi˛ekszana.
Przedstwawiona w pracy zmodyfikowana metoda symulowanego wyżarzania, poza
zmiana˛ parametrów T i M, zakłada dodatkowo modyfikacj˛e działania funkcji generujacej
˛
sasiednie
˛
rozwiazanie.
˛
W klasycznym algorytmie symulowanego wyżarzania nowe rozwiazanie
˛
jest generowane za pomoca˛ standardowej funkcji[6]. W niniejszej pracy funkcja
ta zmienia swoje działanie wraz ze zmiana˛ temperatury. Modyfikacji ulega współczynnik zmiany obj˛etości (x) oraz maksymalna odległości zmienianych elementów. Parametry
te, podobnie jak T i M, sa˛ modyfikowane po każdym wykonaniu procedury Metropolis.
3
2800
Si³a krytyczna [N]
Kolejna˛ wprowadzona˛ mody2600
fikacja˛ algorytmu symulowanego
wyżarzania jest, dokonywana ra2400
zem ze zmiana˛ wartości parametrów, zmiana liczby elemen2200
tów wchodzacych
˛
w skład układu
smukłego. Każdy element kolum2000
ny dzielony jest na dwa elementy
0
10
20
30
o długościach równych połowie
Czas [s]
długości pierwotnego elementu.
bez stosowania podzia u elementu
Średnice obu elementów sa˛ rówz zastosowanym podzia em emelementu
ne średnicy pierwotnego elementu. Podział taki wykonywany jest
Rys. 2: Wzrost siły krytycznej
po każdym wykonaniu Metropolis, jednak tylko wtedy gdy długość elementu (li ) jest wi˛eksza od zadanej długości minimalnej. W rozważanych w pracy przykładach kolumn pierwotnie zastosowano podział
układu na 2 elementy. Wprowadzenie takiej modyfikacji algorytmu spowodowało znaczne
przyspieszenie procesu optymalizacji kształtu (Rys. 2). Dzi˛eki pierwotnemu podziałowi
na niewielka˛ liczb˛e elementów możliwe jest szybkie ustalenie zgrubnego kształtu kolumny. W końcowej fazie obliczeń, kiedy długość elementów jest mała, niewielkie zmiany
kształtu powoduja˛ jego wygładzenie.
4 Funkcja sasiedztwa
˛
Bardzo istotnym elementem algorytmu symulowanego wyżarzania jest losowy wybór nowego, sasiedniego
˛
rozwiazania.
˛
Zastosowana metoda wyboru nowego kształtu polega na
"przeniesieniu" pewnego procentu obj˛etości z losowo wybranego elementu do innego elementu kolumny (wybranego również w sposób losowy). Odbywa si˛e to przez zmian˛e średnic wybranych elementów. Długości pozostaja˛ nieznienione. Nowe średnice elementów
obliczane sa˛ ze wzorów:
p
di′ = (1 − x)di
(3)
p
′
d j = d j + xdi
(4)
i, j ∈ [0..n − 1] - numery elementów, których średnice sa˛ zmieniane
x ∈ (0..1) - współczynnik zmiany obj˛etości
Warto zauważyć, że po "przeniesieniu" np. 5% obj˛etości z elementu A do elementu B,
a nast˛epnie 5% z elementu B do elementu A uzyskany kształt nie zawsze b˛edzie taki sam
jak przed wykonaniem tych operacji. Sprawia to, że algorytm nie może zrobić "kroku
wstecz".
4.1 Zmienna funkcja wyboru sasiedztwa
˛
Zastosowana funkcja wyboru sasiedniego
˛
rozwiazania
˛
zmienia swoje działanie razem z
funkcja˛ temperatury. Zmianie podlegaja˛ dwa parametry:
4
1. Maksymalna dopuszczalna odległość pomi˛edzy elementami, których średnice sa˛
zmieniane
2. Współczynnik zmiany obj˛etości (określajacy
˛ jaka cz˛eść obj˛etości danego elementu
zostanie przeniesiona do innego elementu)
Element, którego obj˛etość jest zwi˛ekszana, jest dowolnym, wybranym w sposób losowy
elementem kolumny. Element którego obj˛etość jest zmniejszana jest również wybierany
w sposób losowy, lecz w tym przypadku na wybór narzucone sa˛ pewne ograniczenia.
W poczatkowej
˛
fazie optymalizacji wybór tego elementu może być zupełnie dowolny,
natomiast w końcowej fazie możliwy jest wybór tylko jednego z dwóch elementów sasia˛
dujacych
˛
z elementem którego obj˛etość jest zwi˛ekszana.
Drugi zmienny parametr, współczynnik zmiany obj˛etości, na poczatku
˛ obliczeń przyjmuje
pewna˛ zadana˛ wartość. Wartość ta maleje wraz ze spadkiem temperatury układu, dopóki
nie osiagnie
˛
określonej na wst˛epie wartości minimalnej. Zastosowanie takiego rozwiaza˛
nia, w połaczeniu
˛
z podziałem kolumny na coraz mniejsze cz˛eści, znacznie przyspiesza
proces optymalizacji w poczatkowej
˛
fazie.
4.2 Funkcja sasiedztwa
˛
dla układu o takich samych warunkach brzegowych na obu końcach kolumny
Si³a krytyczna[N]
Jeśli warunki brzegowe na obu
końcach kolumny sa˛ takie sa2500
me, linia ugi˛ecia jest symetryczna
wzgl˛edem środka pr˛eta (Rys 1a).
W zwiazku
˛
z tym można oczeki2400
wać, że optymalny kształt kolumny b˛edzie również symetryczny.
2300
Własność ta jest wykorzystywana w funkcji sasiedztwa.
˛
Elemen2200
ty, których średnice sa˛ zmieniane,
10
100
1000
sa˛ wybierane spośród połowy eleLiczba iteracji
mentów tworzacych
˛
układ (elebez wykorzystania symetrii
menty o numerach [0...(n/2) −
z wykorzystaniem symetrii
1] ). Takie same zmiany dokonywane sa˛ w elementach symeRys. 3: Wzrost siły krytycznej
trycznych wzgl˛edem środka układu. Nowe wartości średnic di′ oraz d ′j wyznaczane sa˛ ze wzorów (3) oraz (4) natomiast
średnice elementów symetrycznych to:
′
dn−1−i
= di′
′
′
dn−1−
j = dj
(5)
(6)
Przyspieszenie optymalizacji, uzyskane dzi˛eki takiemu rozwiazaniu,
˛
przedstawiona (Rys
3).
5
5 Funkcja zmiany temperatury
Niezwykle istotna˛ sprawa˛ w symulowanym wyżarzaniu jest odpowiednie dobranie sposobu obniżania temperatury. Zbyt gwałtowne obniżanie temperatury odbija si˛e negatywnie
na dokładności algorytmu, zbyt powolne zaś zwi˛eksza czas obliczeń [1]. Parametr temperatury wykorzystywany jest przy wyznaczaniu prawdopodobieństwa akceptacji gorszego rozwiazania
˛
(Równanie 2). Prawdopodobieństwo to jest również zależne od różnicy
funkcji oceny (∆ f ). W klasycznym algorytmie symulowanego wyżarzania, gdzie działanie funkcji generacji sasiedztwa
˛
jest stałe przez cały czas działania algorytmu, wartości
średnie ∆ f w każdym Metropolis sa˛ porównywalne. Zastosowanie zmiennych parametrów generacji sasiedztwa,
˛
oraz zmiana liczby elementów układu, powoduje, że średnia
wartość ∆ f maleje z każdym wykonaniem Metropolis. Dla analizowanych przypadków
średnia wartość ∆ f malała prawie dokładnie dwukrotnie w każdym kolejnym Metropolis.
f
Zmian˛e ta˛ należy uwzgl˛ednić w schemacie chłodzenia. Aby wartość ułamka −∆
T zachowywała si˛e zgodnie z przewidywaniami wartość temperatury powinna być dodatkowo
zmniejszana dwukrotnie w każdym kroku.
6 Generator liczb pseudolosowych
W algorytmach probabilistycznych bardzo istotna˛ rol˛e odgrywa generator liczb pseudolosowych. Jest to szczególnie ważne w algorytmach z grupy Monte Carlo, a do takich
właśnie należy symulowane wyżarzanie. Do zaprezentowanych tutaj obliczeń zastosowany został generator Mersenne-Twister, który generuje niezależne zmienne losowe o
rozkładzie jednostajnym. Okres ciagów
˛
liczbowych wyznaczanych przez ten generator to
19937
2
− 1. Generator ten jest uważany za jeden z najlepszych do tego typu zastosowań.
7 Przykład zastosowania
W pracy przedstawiono dwa przykłady zastosowania opisanej metody. W obu przypadkach jako poczatkowy
˛
kształt kolumny przyj˛eto kształt liniowy (stała średnica na całej
długości). Parametry układu przedstawione zostały w Tabeli 1:
Tab. 1: Parametry analizowanego układu smukłego
Długość:
1000mm
Średnica układu liniowego:
10mm
Obj˛etość: 78539.75mm2
Moduł Younga:
2.1 ∗ 1011 Pa
7.1 Zamocowanie przegubowe - sztywne utwierdzenie (Rys. 1b)
Zastosowana optymalizacja pozwoliła na poprawienie wytrzymałości układu o prawie
34%. Zastosowany został podział na 256 elementów. Parametry układu dla takiego wariantu układu przedstawia tabela 2.
Zoptymalizowany kształt układu przedstawiony jest na rysunku 4.
6
Tab. 2: Parametry układu dla wariantu zamocowanie przegubowe - sztywne utwierdzenie
Długość elementu:
3.9mm
Liczba elementów:
256
Siła krytyczna dla układu liniowego: 4162.68N
Siła krytyczna dla układu zoptymalizowanego: 5572.77N
Poprawa wartości obcia˛żenia krytycznego:
33.87%
Promie r[mm]
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
500
D ugo
600
700
800
900
1000
l[mm]
Rys. 4: Zmiana promienia kolumny w funkcji długości; (zamocowanie przegub-sztywne;
podział na 256 elementów)
7.2 Zamocowanie przegubowe - zamocowanie przegubowe (Rys. 1a)
Zastosowana optymalizacja pozwoliła na poprawienie wytrzymałości układu o ponad
32%. Zastosowany został podział na 128 elementów. Parametry układu dla takiego wariantu układu przedstawia tabela 3. Wykorzystana została własność symetrii kolumny
wzgl˛edem środka układu.
Tab. 3: Parametry układu dla wariantu zamocowanie przegubowe - zamocowanie przegubowe
Długość elementu:
7.8mm
Liczba elementów:
128
Siła krytyczna dla układu liniowego: 2034.83N
Siła krytyczna dla układu zoptymalizowanego: 2694.19N
Poprawa wartości obcia˛żenia krytycznego:
32.40%
Zoptymalizowany kształt układu przedstawiony jest na rysunku 5.
8 Podsumowanie
Algorytm symulowanego wyżarzania to stosunkowo prosta i skuteczna metoda poszukiwania ekstremum globalnego funkcji wielu zmiennych. Uzyskane wyniki pokazuja,˛ że
metoda ta może być z powodzeniem stosowana do optymalizacji kształtu. Zaproponowane
w pracy modyfikacje algorytmu powoduja˛ przyspieszenie procesu poszukiwania optymalnego rozwiazania.
˛
Rozważana metoda pozwala na łatwa˛ optymalizacj˛e kształtu kolumny
dla różnych warunków brzegowych. Zmiana warunków brzegowych na jednym z końców
kolumny wymaga jedynie zmiany dwóch wierszy macierzy. Przedstawiona metoda optymalizacji kształtu może być dodatkowo uzupełniona poprzez wygładzanie otrzymanego
kształtu.
7
Promie r[mm]
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
500
D ugo
600
700
800
900
1000
l[mm]
Rys. 5: Zmiana promienia kolumny w funkcji długości; (zamocowanie przegub-przegub;
podział na 128 elementów)
Literatura
[1] J. Arabas Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT Warszawa 2001r
[2] R. Bogacz, H. Irretier, O. Mahrenholtz Optimal design of structures subjected to
follower forces, 1980r
[3] R. Bogacz, S. Imiełowski, L.Tomski Optimization and Stability of Columns on
Example of Conservative and Nonconservative Systems, 1998r.
[4] M. Hanaoka, K. Washizu Optimum design of Beck’s column, 1980r
[5] S.Imiełowski, O. Mahrenholtz Optimization and sensivity of stepped columns under
circulatory load, 1997r
[6] S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, M. P. Vecchi Optimization by Simsulated Annealing,
1983r
[7] Z.Michalewicz, D.B.Fogel How to solve it: Modern Metaheuristics, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg 2000r
[8] Sadiq M. Sait, Habib Youssef Iterative Computer Algorithms with Applications in
Engineering. Solving Combinatorial Optimization Problems, IEEE Computer Society, California 1999r
[9] Y. Tada, Y. Seguchi, K.Kema Shape determination of nonconservative structural
systems by the inverse variational principle, 1985r
[10] Drgania i stateczność układów smukłych, Praca zbiorowa wykonana pod kierunkiem
naukowym i redakcja˛ L. Tomskiego, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Fundacja
"Ksia˛żka Naukowo-Techniczna" Warszawa 2004r.
8