Funkcja kwadratowa f(x) = ax Pot¦gowanie Pierwiastkowanie

Wzory i denicje
Funkcja kwadratowa f (x) = ax2 + bx + c
• Wzór na zmian¦ podstawy logarytmu:
bx
loga x = log
log a
b
• ∆ = b2 − 4ac
Algebra niesko«czono±ci
b
∆
• Wierzchoªek paraboli: (− 2a
, − 4a
)
∞ + ∞ = ∞,
−∞ − ∞ = −∞,
∞ · ∞ = ∞,
−∞ · (−∞) = ∞,
• ∆ < 0 ⇒ brak miejsc zerowych.
b
• ∆ = 0 ⇒ 1 miejsce zerowe x = − 2a
.
• ∆ > 0 ⇒√2 miejsca zerowe:
√
∆
x1 = −b−
, x2 = −b+2a ∆ .
2a
Dla dowolnego a ∈ R:
Pot¦gowanie
b)n
=
• ( ab )n =
an
bn
• (a ·
•
ap
ar
·
•
ap
ar
= ap−r
=
an
a+∞=∞
·
bn
a·∞=∞
ap+r
1
a
∞
=0
∞a = ∞
a · (−∞) = −∞
Dla dowolnego a < 0:
a · ∞ = (−∞)
• a0 = 1
• ak =
a − ∞ = −∞
Dla dowolnego a > 0:
• (ap )r = ap·r
• a−p =
−∞ + (−∞) = −∞
∞ − (−∞) = ∞
∞ · (−∞) = −∞
a · (−∞) = ∞
∞a = 0
Wyra»enia nieoznaczone:
1
ap
√
k
• ∞−∞, ∞+(−∞), −∞+∞, −∞−(−∞)
a
√
√
n
• a k = k an = ( k a)n
•
∞ −∞
∞
−∞
∞ , ∞ , −∞ , −∞ ,
•
a ∞ −∞
0, 0 , 0
Pierwiastkowanie
√
k
• Denicja: x = y ⇔
√
√ √
• k a·b= k a· k b
√
p
k a
• k ab = √
k
yk
=x
• ∞0 .
Logarytmy
Asymptoty denicje
Niech f : D → R b¦dzie dowoln¡ funkcj¡.
• Denicja: loga x = p ⇔ ap = x.
• Je±li lim f (x) = g lub lim f (x) = g ,
b
x→+∞
• loga
(ax )
x→−∞
to mówimy, »e linia y = g jest asymptot¡
poziom¡ funkcji f .
=x
• aloga x = x
• Je±li lim f (x) = ±∞ lub lim f (x) =
• loga (x · y) = loga x + loga y
x→a+
x→a−
±∞, to mówimy, »e linia x = a jest
asymptot¡ pionow¡ funkcji f .
• loga ( xy ) = loga x − loga y
• loga (xp ) = p · loga x
1
Wzory i denicje
Pochodne
Denicja pochodnej funkcji w punkcie:
f 0 (x0 ) = lim
h→0
• Funkcja ro±nie coraz szybciej w (a, b)
gdy jest rosn¡ca i wypukªa w (a, b).
• Funkcja ro±nie coraz wolniej w (a, b)
gdy jest rosn¡ca i wkl¦sªa w (a, b).
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Pochodne elementarnych funkcji:
• Funkcja maleje coraz szybciej w (a, b)
gdy jest malej¡ca i wkl¦sªa w (a, b).
• dla dowolnego c ∈ R, (c)0 = 0.
• Funkcja maleje coraz wolniej w (a, b)
gdy jest malej¡ca i wypukªa w (a, b).
• (x)0 = 1
• (xp )0 = pxp−1 dla dowolnego p ∈ R
• (ln x)0 =
1
x
• (loga x)0 =
1
x ln a
dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞)
• (ex )0 = ex
• (ax )0 = ln a · ax dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞)
• (sin(x))0 = cos x
• (cos(x))0 = − sin x
Obliczanie pochodnych:
• (f (x) + g(x))0 = (f (x))0 + (g(x))0
• (f (x) − g(x))0 = (f (x))0 − (g(x))0
• (c·f (x))0 = c·(f (x))0 dla dowolnego c ∈ R
• (f (x) · g(x))0 = (f (x))0 g(x) + f (x)(g(x))0
0
0
(x)(g(x))0
(x)
= (f (x)) g(x)−f
• fg(x)
(g(x))2
Pochodna funkcji zªo»onej:
• (f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji:
• Je±li f 0 (x) > 0 dla ka»dego x ∈ (a, b) to
f jest rosn¡ca w przedziale (a, b).
• Je±li f 0 (x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b) to
f jest malej¡ca w przedziale (a, b).
• Je±li f 00 (x) > 0 dla ka»dego x ∈ (a, b) to
f jest wypukªa w przedziale (a, b).
• Je±li f 00 (x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b) to
f jest wkl¦sªa w przedziale (a, b).
2