Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 1

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 1
Logika zdaniowa jest j¦zykiem, który pozwala opisywa¢ zale»no±ci pomi¦dzy zdaniami.
Zdanie w sensie logicznym to wypowied¹ oznajmuj¡ca, o której mo»na powiedzie¢, »e jest prawdziwa
(np. pi¦¢ jest wi¦ksze od dwóch) lub faªszywa (np. chmury na Ziemi zbudowane s¡ z amoniaku). Tego
typu proste wypowiedzi b¦dziemy nazywali zdaniami atomowymi.
Wygodnie jest oznacza¢ zadania symbolami np.
p, q, r, . . .
Ten sam symbol na przykªad litera
mo»e w ró»nych sytuacjach oznacza¢ ró»ne zdania. Symbole
p, q, r, . . .
p
b¦dziemy wi¦c traktowa¢
jak zmienne zdaniowe.
Tak jak ze zda« prostych (w sensie gramatycznym) mo»emy budowa¢ zdania zªo»one:
je±li
n
jest liczb¡ naturaln¡, to
n
jest liczb¡ parzyst¡ lub
n
jest liczb¡ nieparzyst¡
tak te» ze zmiennych zdaniowych mo»emy budowa¢ formuªy. Posªugujemy si¦ w tym celu symbolami
nazywanymi funktorami lub spójnikami logicznymi.
Nazwa funktora
Negacja (zaprzeczenie)
Symbol
Przykªad zdania
∼, ¬
nieprawda, »e
Koniunkcja
∧
piq
Alternatywa
∨
p
Implikacja
⇒
je±li
Równowa»no±¢
⇔, ≡
p
Zapis symboliczny
∼p
p
p∧q
lub
p∨q
q
p,
to
p⇒q
q
wtedy i tylko wtedy, gdy
p⇔q
q
Nie ka»dy zapis zawieraj¡cy zmienne i funktory jest poprawny, np. nie maj¡ sensu napisy:
∨q,
p ∨ ∧q,
p∧, . . .
Zasady budowania poprawnych formuª:
1. Zmienna zdaniowa jest formuª¡.
2. Je±li
αiβ
s¡ formuªami, to s¡ nimi tak»e:
∼ α,
α ∧ β,
α ∨ β,
α ⇒ β,
α ⇔ β.
3. Buduj¡c formuªy stosujemy (w zwykªy sposób) nawiasy do okre±lana kolejno±ci, w której
dziaªaj¡ spójniki, np.:
(α ⇒ β) ∨ β,
(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ).
4. Napis uzyskany w sposób inny ni» opisany w punktach 1. 3. powy»ej nie jest formuª¡.
Def. 1.1
Warto±ciowaniem nazywamy funkcj¦, która ka»dej zmiennej zdaniowej wyst¦puj¡cej w zbiorze roz-
patrywanych formuª nadaje warto±¢
Mo»liwe warto±ciowania formuªy
Warto±ciowanie
p=0
p=1
1
(prawda) lub
0
(faªsz).
p:
sens wyra»enia
zdanie
zdanie
p
p
jest zdaniem faªszywym
jest zdaniem prawdziwym
Ka»de warto±ciowanie zmiennych atomowych wyznacza warto±¢ logiczn¡ zbudowanej z nich formuªy. Tabelka poni»ej mo»e sªu»y¢ jako (prowizoryczna) denicja zamieszczonych w niej spójników
logicznych:
p
q
∼p
∼q
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
Mo»na poda¢ przykªady formuª którym przy dowolnym warto±ciowaniu buduj¡cych je zmiennych
zdaniowych odpowiada zawsze warto±¢ logiczna
1.
Formuªy takie nazywamy tautologiami.
Przykªady tautologii:
p∨∼p
(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q)
Dwie ostatnie z tych tautologii nosz¡ nazw¦ praw de Morgana rachunku zda«.
To, czy formuªa jest tautologi¡, mo»emy wykaza¢ metod¡ tabelaryczn¡ (sprawdzaj¡c explicite jej
warto±ciowanie przy wszystkich mo»liwych warto±ciowaniach buduj¡cych j¡ zmiennych), korzystaj¡c
z wykazanych wcze±niej tautologii i przechodnio±ci równowa»no±ci lub z tzw. metody skróconego
sprawdzenia.
Idea tej metody polega na zaªo»eniu, »e formuªa nie jest tautologi¡ (tj. jej warto±ciowanie mo»e by¢
równe 0) i nast¦pnie na wykazaniu, »e prowadzi to do sprzeczno±ci polegaj¡cej na konkluzji, »e pewna
zmienna lub formuª jest równocze±nie faªszywa i prawdziwa. Dowód t¡ metod¡ ujmujemy w form¦
numerowanej listy, której ka»dy wiersz zawiera (uj¦ty w nawias klamrowy) komentarz wskazuj¡cy
¹ródªo stwierdzenia uj¦tego w tym wierszu.
Przykªad: wyka»emy, »e formuªa
(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
jest tautologi¡.
1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) = 0
2) (p ⇒ q) = 1
3)
{zaª.}
{1}
(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) = 0
{1}
4) (q ⇒ r) = 1
{3}
5) (p ⇒ r) = 0
{3}
6) p = 1
{5}
7) r = 0
{5}
8) q = 0
{4 i 7}
9) (p ⇒ q) = 0
{6 i 8}
Uzyskana sprzeczno±¢ mi¦dzy wyra»eniami w wierszach
»e badana formuªa jest tautologi¡
2) i 9)
dowodzi prawdziwo±ci twierdzenia,