Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Transkrypt

Wykład 4. Instrumenty pochodne — podstawy
Bartosz Ziemkiewicz
Wydział Matematyki i Informatyki UMK
Kurs letni dla studentów studiów zamawianych
na kierunku „Matematyka w ekonomii i finansach”
Bartosz Ziemkiewicz
1/33
Instrumenty pochodne
Instrumenty pochodne, derywaty, derywatywy (ang. derivatives) są
instrumentami finansowymi, których wartość uzależniona jest od
ceny innego instrumentu, który nazywamy instrumentem
pierwotnym bądź bazowym.
Instrumentami bazowymi mogą być akcje, obligacje, zboża, ropa,
metale szlachetne lub inne surowce naturalne.
Cena instrumentu pochodnego może również zależeć od wartości
pewnych wskaźników finansowych: kursów walut, poziomów stóp
procentowych, bądź wartości indeksów giełdowych.
Instrument pochodny jest umową o przeprowadzeniu w przyszłości
transakcji typu kupno-sprzedaż.
W momencie zawierania umowy określa się termin wykonania
takiej transakcji oraz cenę kupna (sprzedaży).
Wynik finansowy takiej transakcji (tzn. która ze stron na niej
zarobi, a która straci) jest w momencie zawierania umowy
nieznany, zależy bowiem od przyszłej ceny instrumentu bazowego.
Bartosz Ziemkiewicz
2/33
Kontrakty i opcje
Instrumenty pochodne możemy podzielić na dwa podstawowe typy:
kontrakty — charakteryzują się tym, że obie strony transakcji
muszą wypełnić swoje zobowiązania,
opcje — są to transakcje niesymetryczne, jedna ze stron
(posiadacz opcji) może (ale nie musi) skorzystać ze swojego prawa
do realizacji umowy, druga strona (wystawca opcji) musi wypełnić
swoje zobowiązanie, jeżeli posiadacz opcji tego zażąda.
Bartosz Ziemkiewicz
3/33
Rynek idealny
Zakładamy, że rynek, na którym działamy jest rynkiem idealnym, tzn.:
wolna od ryzyka stopa procentowa r jest stała,
oprocentowanie kredytów i depozytów jest jednakowe,
nie ma ograniczeń w dostępie do kredytów, ich wysokość jest
nieograniczona,
inwestorzy nie ponoszą żadnych dodatkowych kosztów,
rynek jest płynny, tzn. zawsze możemy kupić lub sprzedać
dowolną liczbę aktywów,
dopuszczalna jest krótka sprzedaż instrumentów finansowych,
instrumenty bazowe są podzielne,
wszyscy inwestorzy mają taki sam dostęp do informacji,
uczestnicy rynku są małymi inwestorami, ich samodzielne działanie
nie zmienia cen,
uczestnicy rynku zachowują się racjonalnie, tzn. preferują większe
bogactwo,
na rynku brak jest możliwości arbitrażu, tzn. osiągania zysku bez
ponoszenia ryzyka.
Bartosz Ziemkiewicz
4/33
Kontrakty forward
Kontrakt terminowy typu forward jest umową zawartą w chwili
początkowej, w której jedna ze stron zobowiązuje się kupić, druga
zaś sprzedać, pewne dobro w ustalonej chwili T w przyszłości za
z góry określona cenę K .
Stronę, która zobowiązuje się do dostarczenia przedmiotu
kontraktu, nazywamy wystawcą kontraktu lub mówimy, że zajmuje
tzw. krótką pozycję (ang. short position).
Drugą stronę, która zobowiązuje się do zapłaty za dostarczony
towar, nazywamy nabywcą kontraktu, bądź mówimy, że zajmuje
długą pozycję (ang. long position).
Termin T rozliczenia kontraktu nazywamy zwykle terminem
wygaśnięcia (rozliczenia, wykonania ang. maturity), a cenę K ceną
rozliczenia (dostarczenia, wykonania, forward ang. exercise price).
Bartosz Ziemkiewicz
5/33
Kontrakty forward
Strony kontraktu ustalają, czy w terminie wygaśnięcia wymagana
jest fizyczna dostawa towaru, czy rozliczenie gotówkowe (ang.
cash settlement), czyli wypłata różnicy między ceną umówioną
a ceną bieżącą przedmiotu transakcji.
Kontrakty forward nie są standaryzowane. Mogą być zawierane na
dowolną ilość towaru i na dowolny termin. Z tego powodu
handluje się nimi tylko na rynku pozagiełdowym.
Przy zawieraniu takich kontraktów zazwyczaj nie jest wymagane
wnoszenie depozytu, a płatność następuje dopiero po dostawie.
Kontrakty forward mogą być obarczone dużym ryzykiem
niedotrzymania umowy przez jedną ze stron.
Bartosz Ziemkiewicz
6/33
Kontrakty forward — przykład
Firma A wie, że za pół roku będzie musiała zapłacić swoim
podwykonawcom 1 milion dolarów za wykonane usługi. Obecny
kurs wynosi 3,25 zł za dolara.
Firma zawiera z bankiem kontrakt forward, zobowiązując się, że za
6 miesięcy kupi potrzebne dolary za 3 200 000zł (tzn. po kursie
3,2 zł za 1 dolara).
Jeżeli po pól roku cena dolara wzrośnie do 3,50 zł, to firma będzie
mogła kupić dolary taniej i zarobi (zaoszczędzi) 300 000 zł.
Jeżeli cena dolara spadnie do 3,10 zł, to firma poniesie stratę
w wysokości 150 000 zł.
Oczywiście w przypadku banku sytuacja wygląda odwrotnie —
zarabia on kiedy firma traci i traci kiedy firma zarabia.
Bartosz Ziemkiewicz
7/33
Wycena kontraktów forward
Wycena kontraktów forward sprowadza się do znalezienia
właściwej ceny rozliczenia K .
Będziemy szukać ceny sprawiedliwej, tzn. takiej, która nie
dopuszcza arbitrażu.
Niech S0 będzie ceną instrumentu bazowego w momencie
zawierania kontraktu, a ST ceną w chwili rozliczenia kontraktu.
Jeżeli ST jest większa od ceny wykonania K , to nabywca
kontraktu osiągnie zysk w wysokości ST − K (kupuje on towar po
cenie K i może go natychmiast sprzedać po wyższej cenie ST ).
Jeżeli ST będzie niższa niż K , to nabywca kontraktu poniesie
stratę w wysokości K − ST .
Sytuacja wystawiającego kontrakt jest odwrotna.
Nietrudno zauważyć, że jedyną ceną kontraktu forward, która nie
dopuszcza arbitrażu, jest
K = S0 e rT ,
(1)
gdzie r jest wysokością rocznej stopy procentowej.
Bartosz Ziemkiewicz
8/33
Istotnie, gdyby cena kontraktu była wyższa i wynosiła K1 > K , to
zysk mógłby osiągnąć wystawca kontraktu.
W momencie jego zwarcia:
pożyczyłby z banku kwotę S0 ,
kupiłby za to jedną jednostkę instrumentu bazowego.
W chwili T
na mocy zawartego kontraktu otrzymałby kwotę K1 ,
zwróciłby do banku pożyczkę wraz z odsetkami S0 e rT .
Jego zysk osiagnięty bez żadnego wkładu własnego wyniósłby
K1 − S0 e rT > K1 − S0 e rT = 0.
Bartosz Ziemkiewicz
9/33
Gdyby cena kontraktu była niższa i wynosiła K1 < K , to nabywca
kontraktu mógłby w momencie jego zawarcia:
dokonać krótkiej sprzedaży instrumentu bazowego (po cenie S0 ),
pieniądze ze sprzedaży wpłacić na rachunek bankowy,
W chwili T nabywca kontraktu
wypłaciłby z rachunku bazowego S0 e rT ,
na mocy zawartego kontraktu odkupiłby pożyczony instrument
bazowy za cenę K1 .
Bez żadnego własnego wkładu osiągnąłby zysk w wysokości
S0 e rT − K1 > S0 e rT − K = 0.
Bartosz Ziemkiewicz
10/33
Wzór
K = S0 e rT ,
możemy łatwo uogólnić na przypadek instrumentu bazowego,
który wypłaca dywidendę (np. akcji).
Jeżeli wypłacana jest ona w sposób ciągły według stopy d w skali
rocznej, to cena sprawiedliwa kontraktu forward jest równa
K = S0 e (r −d)T .
Bartosz Ziemkiewicz
11/33
Wycena walutowych kontraktów forward
Kontrakt walutowy polega na tym, że wystawca kontraktu
zobowiązuje się sprzedać, a nabywca kupić ustaloną ilość waluty
po określonym kursie.
W tym przypadku „ceną” instrumentu podstawowego St jest kurs
walutowy w momencie t. Ceną wykonania będzie kurs, po jakim
ma być dostarczona waluta.
Przy wycenie takich kontraktów musimy uwzględnić dwie stopy
procentowe: stopę r dla rynku krajowego i stopę rf dla rynku
związanego z walutą, na którą zawierany jest kontrakt.
Można pokazać, że cena sprawiedliwa (czy może raczej
sprawiedliwy kurs) takiego kontraktu wynosi:
K = S0 e (r −rf )T .
Bartosz Ziemkiewicz
(2)
12/33
Wycena walutowych kontraktów forward
Istotnie, załóżmy, że cena ta jest wyższa i wynosi K1 > K .
Wówczas w chwili t = 0:
pożyczamy (w walucie krajowej) kwotę S0 e −rf T ,
kupujemy za tę sumę dokładnie e −rF T jednostek waluty obcej
i wpłacamy je na lokatę walutową.
wystawiamy kontrakt walutowy na 1 jednostkę obcej waluty.
W chwili T
wypłacamy z lokaty dokładnie 1 jednostkę obcej waluty
(e −rf T · e rf T = 1)
dostarczamy tę jednostkę nabywcy kontraktu i otrzymujemy z tego
tytułu kwotę K1 .
Na spłatę kredytu musimy przeznaczyć
−rf T
S0
· e rT = S0 e (r −rf )T
Nasz bilans końcowy w chwili T to
K1 − S0 e (r −rf )T > K − S0 e (r −rf )T = 0
.
Osiągnęliśmy zysk bez angażowania żadnych środków własnych.
Bartosz Ziemkiewicz
13/33
Kontrakty futures
Wadą kontraktów forward jest duże ryzyko niedotrzymania
warunków umowy przez jedną ze stron.
Zasada działania kontraktu futures jest taka sama jak
w przypadku kontraktu forward. Dwie strony umawiają się na
kupno-sprzedaż określonego instrumentu bazowego w określonym
terminie po z góry określonej cenie.
Kontrakty futures są przedmiotem obrotu giełdowego, dlatego
wszystkie ich parametry: ilość i jakość towaru, termin i miejsce
dostarczenia, są ściśle zestandaryzowane.
Główna różnica między kontraktami forward a futures polega na
tym, że kontrakty futures zawierane są za pośrednictwem
wyspecjalizowanej instytucji — izby rozliczeniowej (ang. clearing
house).
Każda ze stron zawierających kontrakt musi wpłacić na konto izby
pewną kwotę tzw. wstępny depozyt zabezpieczający (ang. initial
margin).
Bartosz Ziemkiewicz
14/33
Kontrakty futures
Przy rozliczaniu kontraktów futures stosuje się rozliczenie dzienne.
Na koniec każdego dnia porównujemy cenę kontraktu z ceną
rynkową. Jeżeli zmiana ceny rynkowej spowodowała zysk
inwestora, to jest on dopłacany do jego depozytu, jeżeli stratę, to
jest ona od depozytu odejmowana.
Jeżeli sytuacja na rynku ułoży się niekorzystnie i stan depozytu
zabezpieczającego spadnie poniżej pewnej ustalonej kwoty —
minimum podtrzymującego izba rozliczeniowa wezwie inwestora do
uzupełnienia stanu tego depozytu .
Jeżeli nie spełni on tego wymagania, to kontrakt zostanie
zamknięty i inwestor będzie musiał pogodzić się ze stratą.
Kontrakt futures jest równoważny serii jednodniowych kontraktów
forward. Pod koniec każdego dnia rozliczany jest kontrakt
poprzedni i zawierany następny.
Bartosz Ziemkiewicz
15/33
Kontrakty futures
Strony kontraktu mogą się zmieniać w trakcie jego trwania. Nie
jest to istotne, gdyż kontrakt zawierany jest za pośrednictwem izby
i obie strony nie mają ze sobą bezpośredniego kontaktu.
Kontakty futures na ogół nie kończą się dostawą towaru, ale są
zamykane przed terminem wygaśnięcia.
Kontrakty te są przedmiotem obrotu giełdowego, zatem ich ceny
kształtuje popyt i podaż na nie.
Można jednak pokazać, że w warunkach rynku idealnego ceny
kontraktów forward i futures (o takich samych parametrach) są
zbliżone do siebie.
Bartosz Ziemkiewicz
16/33
Opcje
Opcja (ang option) to kontrakt dający jednej z umawiających się
stron (nabywcy kontraktu) możliwość wycofania się z umowy.
Opcją kupna (ang. call option lub call) nazywamy kontrakt, który
daje nabywcy (posiadaczowi) prawo do kupienia określonego
w umowie instrumentu bazowego w ustalonej chwili (lub przez
ustalony okres czasu) po z góry ustalonej cenie.
Opcja sprzedaży (ang. put option lub put) daje nabywcy prawo do
sprzedaży określonego instrumentu bazowego w ustalonej chwili
(lub przez ustalony okres czasu) po z góry ustalonej cenie.
Instrumentem bazowym mogą być akcje, towary, waluty obce,
indeksy giełdowe itp.
Opcje rozliczane są pieniężnie, w przypadku niektórych
instrumentów jest to wygodniejsze, w przypadku innych, np.
indeksów giełdowych, fizyczna dostawa jest po prostu niemożliwa.
Bartosz Ziemkiewicz
17/33
Opcje
Opcja jest instrumentem niesymetrycznym.
Posiadacz opcji (ang. holder) ma prawo, a nie obowiązek kupna
lub sprzedaży instrumentu bazowego. Oczywiście skorzysta on
z tego prawa tylko wtedy, gdy będzie mu się to opłacało.
Wystawiający opcję (ang. writer) ma obowiązek odsprzedać
(opcja kupna) lub odkupić (opcja sprzedaży) instrument bazowy,
jeżeli posiadacz opcji tego zażąda.
Najważniejsze parametry charakteryzujące opcję to cena
wykonania (ang. strike price, exercise price) i termin wygaśnięcia
(ang. expiration date, maturity).
Cena wykonania to cena, za jaką właściciel opcji może
kupić(sprzedać) instrument bazowy, jeżeli skorzysta ze swojego
prawa.
Bartosz Ziemkiewicz
18/33
Klasyfikacja opcji
Termin wygaśnięcia określa moment, po którym opcja nie może
już być wykonana i traci swoją ważność.
Termin ten nie zawsze jest taki sam jak termin wykonania opcji
(ang. exercise date), czyli moment, w którym nabywca korzysta ze
swego prawa. Opcje możemy podzielić na:
europejskie (ang. European) — mogą być wykonane jedynie
w dniu wygaśnięcia (w tym przypadku termin wykonania jest taki
sam jak termin wygaśnięcia),
amerykańskie (ang. American) — mogą być wykonane dowolnym
dniu od momentu nabycia do momentu wygaśnięcia,
bermudzkie (ang. Bermudan) — mogą być wykonane w pewnych
ściśle określonych datach pomiędzy momentem nabycia
a terminem wygaśnięcia.
Nazwy te mają jedynie znaczenie historyczne, opcjami
amerykańskimi handluje się również w Europie, a europejskimi
w Ameryce.
Bartosz Ziemkiewicz
19/33
Przykład
Załóżmy, że posiadamy europejską opcję kupna na akcję PZU
z ceną wykonania K = 100 zł i terminem wykonania T = 1 lipca
2010 roku.
Jeżeli 1 lipca rynkowa cena akcji ST będzie mniejsza niż 100 zł, to
opcja będzie bezwartościowa, nie opłaca się kupować akcji po 100
zł, skoro na rynku można kupić je taniej.
Jeżeli 1 lipca rynkowa cena akcji ST będzie wyższa niż 100 zł, to
opcję opłaca się wykonać, a nasz zysk wyniesie ST − 100.
Bartosz Ziemkiewicz
20/33
Przykład
Zysk posiadacza europejskiej opcji kupna o cenie wykonania K i
terminie wykonania T jest równy
(
ST − K , gdy ST > K
f (ST ) = (ST −K )+ = max{ST −K , 0} =
0,
gdy ST 6 K .
Funkcje f nazywamy funkcją wypłaty, bądź wypłatą opcji (ang.
payoff).
Dla europejskiej opcji sprzedaży funkcja wypłaty jest określona
wzorem
(
K − ST , gdy ST < K
f (ST ) = (K −ST )+ = max{K −ST , 0} =
0,
gdy ST > K .
Bartosz Ziemkiewicz
21/33
Cena opcji
Opcja daje swojemu posiadaczowi pewne prawo. Za to prawo musi
on zapłacić wystawcy opcji pewną opłatę wstępną, którą
nazywamy ceną opcji lub premią (ang. option price, option
premium).
Cena ta jest kształtowana przez rynek i zmienia się w czasie.
Problem wyceny opcji jest jednym z głównych zagadnień, jakimi
zajmuje się matematyka finansowa.
Bartosz Ziemkiewicz
22/33
Opcje jako zabezpieczenie
Opcje służą do zabezpieczania się przed niekorzystnymi zmianami
cen.
Opcje kupna zabezpieczają nas przed wzrostem cen, dają
gwarancję, że w najgorszym wypadku będziemy mogli kupić
instrument bazowy po cenie wykonania K .
Oczywiście, jeżeli ceny spadną, nasza opcja będzie bezwartościowa.
Opcja sprzedaży zabezpiecza przed spadkiem cen, daje gwarancję,
że w najgorszym razie sprzedamy nasz instrument po cenie K .
Jeżeli ceny wzrosną, opcji sprzedaży nie będzie się opłacało
wykonać.
Opcje można porównać do polisy ubezpieczeniowej, cenę opcji
możemy traktować jak składkę ubezpieczeniową. Jeżeli zdarzy
nam się nieszczęście, polisa pozwoli nam przynajmniej częściowo
zrekompensować straty, jeżeli nic złego się nie wydarzy, składka
przepadnie.
Bartosz Ziemkiewicz
23/33
Opcje jako instrument spekulacyjny
Opcje można również wykorzystać w celach spekulacyjnych.
Pozwalają one zwielokrotnić zarówno zyski, jak i straty.
Załóżmy, że posiadamy 500 zł i chcemy je zainwestować w akcje
PKO, gdyż spodziewamy się, że ich cena wzrośnie.
Aktualna cena 1 akcji wynosi 100 zł, za posiadaną sumę możemy
więc nabyć 5 akcji.
Jeżeli w przyszłości cena akcji wzrośnie do 120 zł, to nasz zysk
wyniesie 5 · (120 − 100) = 100 zł. Stopa zwrotu naszej inwestycji
to (600 − 500)/500 = 0,2.
Jeżeli pomyliliśmy się w naszych przewidywaniach i cena akcji
spadnie do 90 zł, to posiadane 5 akcji przyniesie nam stratę równą
50 zł.
Bartosz Ziemkiewicz
24/33
Opcje jako instrument spekulacyjny
Zamiast akcji możemy nabyć opcje kupna na akcje PKO. Cena
opcji jest zazwyczaj o wiele niższa od ceny instrumentu bazowego.
Załóżmy, że w naszym wypadku opcja o cenie wykonania K = 105
kosztuje 10 zł.
Nasz kapitał pozwoli nam nabyć 50 opcji.
Jeżeli cena akcji wzrośnie do 120 zł, to każda z 50 opcji przyniesie
nam zysk 120 − 105 = 15 zł. Nasz zysk wyniesie zatem
750 − 500 = 250 zł, a stopa zwrotu inwestycji będzie równa
(750 − 500)/500 = 0,5.
Jeżeli pomyliliśmy się w naszych przewidywaniach i cena akcji
spadnie do 90 zł, to nasze opcje są bezwartościowe i tracimy całą
zainwestowaną sumę.
Bartosz Ziemkiewicz
25/33
Opcje waniliowe i egzotyczne
Standardowe europejskie i amerykańskie opcje kupna i sprzedaży
określa się czasem wspólną nazwą — opcje waniliowe (ang.
vanilla).
Nazwa ta pochodzi podobno od podstawowego smaku
amerykańskich lodów, czyli właśnie lodów waniliowych i w języku
angielskim oznacza wersję podstawową, nieskażoną, czystą.
Na rynku funkcjonują również opcje o bardziej skomplikowanych
funkcjach wypłaty, nazywamy je opcjami egzotycznymi (ang.
exotic). Skonstruowano bardzo wiele takich opcji, tutaj omówimy
tylko najważniejsze z nich.
Bartosz Ziemkiewicz
26/33
Opcje binarne
Opcje binarne, nazywane też cyfrowymi, to opcje, których funkcja
wypłaty zależy w sposób nieciągły (skokowy) od ceny instrumentu
bazowego w momencie wygaśnięcia T . Najpopularniejsze opcje
tego typu to:
opcje cash-or-nothing, których wypłata zależy jedynie od tego, czy
cena w momencie wygaśnięcia przekroczy pewien poziom, funkcje
wypłaty opcji kupna i opcji sprzedaży to odpowiednio:
f (ST ) = X 1{ST >K } ,
f (ST ) = X 1{ST <K } ,
gdzie X i K są z góry ustalone,
opcje asset-or-nothing, podobne do poprzednich, ale zamiast
ustalonej kwoty posiadacz otrzymuje instrument bazowy, funkcje
wypłaty opcji kupna i opcji sprzedaży to odpowiednio:
f (ST ) = ST 1{ST >K } ,
f (ST ) = ST 1{ST <K } ,
gdzie K jest z góry ustalone.
Bartosz Ziemkiewicz
27/33
Opcje barierowe
Opcje barierowe (ang. barrier) to opcje, których wypłata zależy od
tego, czy w trakcie trwania kontraktu cena instrumentu bazowego
spadnie poniżej albo przekroczy pewną ustaloną wartość (barierę).
Najczęściej spotykane rodzaje opcji barierowych to:
opcje kupna typu down-and-out — tracą wartość, gdy cena
instrumentu bazowego spadnie poniżej bariery B, ich funkcja
wypłaty ma postać
f (St ) = (ST − K )+ 1{mint6T St >B} ,
opcje kupna typu up-and-out — tracą wartość, gdy cena
instrumentu bazowego przekroczy barierę B, ich funkcja wypłaty
ma postać
f (St ) = (ST − K )+ 1{maxt6T St 6B} ,
Bartosz Ziemkiewicz
28/33
Opcje barierowe
opcje kupna typu up-and-in — uzyskują wartość, gdy cena
instrumentu bazowego przekroczy barierę B, ich funkcja wypłaty
ma postać
f (St ) = (ST − K )+ 1{maxt6T St >B} ,
opcje kupna typu down-and-in — uzyskują wartość, gdy cena
instrumentu bazowego spadnie poniżej bariery B, ich funkcja
wypłaty ma postać
f (St ) = (ST − K )+ 1{mint6T St 6B} .
W zależności od wzajemnego umiejscowienia bariery B i ceny
wykonania K opcje barierowe możemy jeszcze podzielić na opcje
in-the-money, jeżeli B > K i out-the-money, jeżeli B < K .
W podobny sposób definiujemy barierowe opcje sprzedaży.
Bartosz Ziemkiewicz
29/33
Opcje azjatyckie
Opcje azjatyckie nazywane również uśrednionymi. Ich funkcje
wypłaty zależą od średniej ceny instrumentu bazowego w czasie
ważności opcji.
Średnią cenę możemy obliczać w sposób dyskretny:
n
1X
Ssr =
Si/N ,
n
k=1
gdzie Si/N jest ceną zamknięcia w i-tym dniu, a N liczbą dni
handlowych w roku.
Rozważa się też średnie „ciągłe”:
1
Ssr =
T − t0
Z
T
St dt.
t0
Średnią arytmetyczną czasem zastępujemy średnią geometryczną.
Bartosz Ziemkiewicz
30/33
Opcje azjatyckie
Funkcja wypłaty azjatyckiej opcji kupna ma postać:
f (St ) = (Ssr − K )+
dla opcji typu average value lub
f (St ) = (ST − Ssr )+
dla opcji typu average strike.
Funkcje wypłaty dla azjatyckich opcji sprzedaży definiujemy
analogicznie.
Bartosz Ziemkiewicz
31/33
Opcje typu lookback
Opcje typu lookback to opcje, których wypłata zależy od
maksymalnej lub minimalnej ceny instrumentu bazowego.
Opcja kupna tego typu pozwala jej posiadaczowi kupić instrument
bazowy po najniższej cenie, jaką osiągnął w okresie ważności opcji.
Funkcja wypłaty tej opcji ma postać
f (St ) = ST − min St .
t∈[0,T ]
Opcja sprzedaży typu lookback pozwala jej właścicielowi sprzedać
instrument podstawowy po najwyższej cenie, jaką osiągnął on w
okresie ważności opcji, jej funkcja wypłaty to
f (St ) = max St − ST .
t∈[0,T ]
Bartosz Ziemkiewicz
32/33
Opcje zależne od trajektorii
Wypłata europejskich opcji kupna oraz sprzedaży, a także opcji
binarnych, zależy jedynie od ceny instrumentu bazowego w
momencie wygaśnięcia T .
W przypadku opcji barierowych, azjatyckich i lookback cena zależy
od cen instrumentu w całym okresie [0, T ].
Takie opcje nazywamy opcjami zależnymi od trajektorii (ang.
path-dependent options).
Bartosz Ziemkiewicz
33/33

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Transkrypt

Podobne dokumenty

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

1. Przyjęcie protokołu z poprzedniego posiedzenia. 2. Przyjęcie

Spis treści

Spis-książek

Program szkolenia

Spis treści

Szanowni Państwo

Matlab w matematyce finansowej

Wykład