Procesy Stochastyczne — lista 11 1. Niech rn = sgn sin(2πnx) będą

Procesy Stochastyczne — lista 11
1. Niech rn = sgn sin(2πnx) będą funkcjami Rademachera, określonymi dla x ∈ [0, 1]. Połóżmy Sn =
r1 + r2 + ... + rn oraz Fn = σ(r1 , r2 , ..., rn ). Ponieważ (rn ) są niezależne i o średnich zero, więc ciąg
(Sn , Fn ) jest martyngałem. Narysować kilka początkowych funkcji (np. S1 , S2 i S3 ) i sprawdzić, że
E(S2 |F1 ) = S1 oraz E(S3 |F2 ) = S2 . W konstruowaniu σ-ciał pominąć punkty, w których sinus jest
zerem.
2. Niech (Wt )t­0 będzie procesem Wienera. Sprawdziliśmy, że (Wt , Ft ) jest martyngałem, gdzie Ft =
σ(Ws , s ¬ t). Ponieważ dla każdego a ∈ R funkcja f (x) = eax jest wypukła, więc rodzina (eaWt , Ft )
jest podmartyngałem. Znaleźć taką funkcję zmiennej b(t) (nielosową), dla której (eaWt −b(t) , Ft ) jest
martyngałem.
3. Niech X1 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie: P (Xi = 1) = p 6= 0,
P (Xi = −1) = q = 1 − p. Niech Fn = σ(X1 , ..., Xn ) oraz Sn = X1 + ... + Xn . Wykazać, że ciąg
!
Sn
q
p
, Fn
jest martyngałem.
2
4. Załóżmy, że martyngał (Xn , Fn )∞
n=0 jest całkowalny z kwadratem, tzn. E(Xn ) < ∞, n = 0, 1, 2, ....
Połóżmy Dn = Xn −Xn−1 dla n = 1, 2, 3.... Wykazać, że zmienne losowe Dn są parami nieskorelowane,
tzn. Cov(Dn , Dk )=0 dla n 6= k.
Zmienne Dn nazywamy różnicami martyngałowymi.
Jeśli różnice martyngałowe sa ograniczone, to martyngał jest bardzo mocno skoncentrowany wokół
swojej wartości średniej. Ściśle określa to następująca nierówność Azumy:
Niech X0 , X1 , ... będzie martyngałem względem filtracji Fn = σ(X0 , X1 , ..., Xn ), przy czym X0 ≡ 0,
E(Xi ) = 0 oraz |Xi+1 − Xi | ¬ 1 dla i = 1, 2, 3, ... Wówczas dla wszystkich n ­ 1 oraz λ > 0 zachodzi
nierówność
P
X
2
√ n > λ ¬ e−λ /2 .
n
Udowodnić tę nierówność, dowodząc kolejnych lematów:
5. Dla b > 0 niech h(x) = cosh b+x sinh b. Wykazać, że dla −1 < x < 1 zachodzi nierówność h(x) > ebx .
6. Niech Dk = Xk − Xk−1 . Wykazać, że
2 /2
E(ebDn |Fn−1 ) ¬ E(h(Dn |Fn−1 )) = h(E(Dn |Fn−1 )) = h(0) ¬ eb
.
7. Ponieważ Xn = D1 + ... + Dn , więc zachodzi nierówność
2 /2
E(ebXn ) = E(ebXn−1 ) · eb
2 /2
¬ . . . ¬ enb
.
8. Korzystając z nierówności Czebyszewa wykazać, że
P
√
X
2
√ n > λ ¬ enb /2−bλ n ,
n
po czym znaleźć minimum prawej strony jako funkcji zmiennej b > 0. To daje żądaną nierówność.