strona 1 I seria zadań 1. Bolek, Lolek, Jacek i Placek zjedli razem

VI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
9-11.06.2011
I seria zadań
1. Bolek, Lolek, Jacek i Placek zjedli razem 100 cukierków. Okazało się, Ŝe:
– kaŜdy z chłopców zjadł co najmniej jednego cukierka,
– Bolek zjadł więcej cukierków niŜ kaŜdy z pozostałych chłopców,
– Jacek i Placek zjedli razem 65 cukierków.
Ile cukierków zjadł Lolek?
2. Cztery koleŜanki zakupiły wspólnie maszynę do pieczenia chleba. Pierwsza z nich wpłaciła
połowę sumy wniesionej przez pozostałe koleŜanki, druga – trzecią część sumy wpłaconej przez
pozostałe, trzecia – czwartą część sumy wpłaconej przez pozostałe, a czwarta wpłaciła 78 zł.
Ile kosztowała maszyna do pieczenia chleba?
3. Dwie górskie miejscowości: Bystre Dolne i Bystre Górne łączy droga prowadząca przez jedno
wzgórze. Autobus kursujący między tymi miejscowościami (w obie strony) jedzie pod górę ze
średnią prędkością 40 km/h, a z góry ze średnią prędkością 60 km/h. Pewnego dnia autobus
wyjechał z Bystrego Dolnego, dojechał do Bystrego Górnego i od razu zawrócił do Bystrego
Dolnego.
Z jaką średnią prędkością autobus pokonał całą tę trasę?
4. Jaka jest suma cyfr zapisu dziesiętnego liczby (101106 − 2011)(101106 + 2011) ?
Odpowiedź uzasadnij.
strona 1
VI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
9-11.06.2011
II seria zadań
5. Dana jest gwiazda pięcioramienna ABCDE, w której odcinki
AC i BD przecinają się pod kątem 130° (jak na rysunku
z prawej).
Oblicz sumę miar kątów przy wierzchołkach B, C oraz E.
6. Na rysunku poniŜej przedstawiony jest ośmiokąt ABCDEFGH, który składa się z dziesięciu
kwadratów jednostkowych. Prosta przechodząca przez wierzchołek A i punkt X, leŜący na boku
DE dzieli powierzchnię ośmiokąta na dwie części o równych polach. Oblicz
DX
.
XE
7. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 105°. Okrąg o środku A i promieniu AC
przecina bok BC w takim punkcie P, Ŝe BP = AC (jak na rysunku obok).
Oblicz miary kątów przy wierzchołkach B oraz C danego trójkąta.
8. Liczbę przekątnych kwadratu moŜna zapisać w postaci 2 ⋅ 12 . Rozstrzygnij, czy istnieją wielokąty
foremne o liczbie boków większej niŜ 4, których liczba przekątnych da się zapisać jako
podwojony kwadrat liczby naturalnej
strona 2
VI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY FINAŁOWE
9-11.06.2011
III seria zadań
9. Rozpatrzmy 30 początkowych dodatnich liczb całkowitych. Rozstrzygnij, czy moŜna wybrać
spośród nich 19 liczb tak, aby ich suma była równa sumie 11 pozostałych.
10. Na krawędziach podstawy ABC czworościanu foremnego ABCD znajdują się 3 tresowane
mrówki: Kleopatra, Berenika i Nefretete.
Kleopatra zatrzymała się w punkcie K, który jest środkiem krawędzi AB,
Berenika zatrzymała się w punkcie L, który leŜy na krawędzi BC dwa razy bliŜej B niŜ C,
Nefretete zatrzymała się w punkcie N, który leŜy na krawędzi AC trzy razy bliŜej A niŜ C.
Na sygnał mrówki te zaczynają poruszać się z taką samą prędkością po powierzchni
czworościanu.
Celem kaŜdej z nich jest przejście po najkrótszej drodze do tej krawędzi czworościanu, z którą nie
ma punktów wspólnych krawędź, na której kaŜda z nich aktualnie się znajduje. Która z nich
najszybciej osiągnie cel?
Odpowiedź uzasadnij.
11. Tom i Jerry grają w następującą grę:
Tom ma do dyspozycji cyfry ze zbioru {5, 6, 8}, a Jerry – cyfry ze zbioru {1, 3, 7};
na zmianę (zaczyna Tom) wybierają po jednej cyfrze ze swoich zbiorów i zapisują je jedna
obok drugiej, od lewej do prawej (cyfry mogą się powtarzać).
Gra kończy się, kiedy kaŜdy z graczy wykona swój ruch cztery razy, a wtedy wybrane cyfry
tworzą pewną liczbę ośmiocyfrową.
Jerry wygrywa, gdy powstała liczba jest złoŜona, w przeciwnym wypadku zwycięstwo odnosi
jego przeciwnik.
Rozstrzygnij, czy istnieje strategia zapewniająca Jerry'emu wygraną.
12. Udowodnij, Ŝe dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z prawdziwa jest nierówność
2 x 2 + 8 y 2 + 18 z 2 ≥ 4 xy + 6 xz + 12 yz
Uwaga.
Aby wykazać, Ŝe dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a 2 + b 2 ≥ 2ab , wystarczy
pokazać, Ŝe prawdziwa jest nierówność równowaŜna a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 .
W tym celu zauwaŜmy, Ŝe dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:
(1) prawdziwa jest równość a 2 + b 2 − 2ab = (a − b ) ,
2
(2) (a − b ) ≥ 0 , bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
2
A zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a 2 + b 2 ≥ 2ab .
strona 3