23. Podstawowe wzory kombinatoryczne

23. Podstawowe wzory kombinatoryczne
Z={z1, ..., zn} - dowolny zbiór elementowy
Def. Permutacją zbioru n-elementowego Z nazywamy ciąg długości n różnowartościowy
złożony z elementów zbioru Z.
Inaczej permutację możemy utożsamić z funkcjami różnowartościowymi f:{1,...,n} → Z
Tw. Jeżeli Pn oznacza liczbę permutacji zbioru n-elementowego Z, to Pn=n!
Tw. (o mnożeniu)
Jeżeli ̿i oznacza liczbę elementów w zbiorze Ai oraz ̿1=n1 <
̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ k= n1 ... nk
,
̿2=n2 < ,..., ̿k=nk< , to
Def. Wariancją bez powtórzeń nazywamy każdy ciąg elementowy (k n) różnowartościowy
elementów ze zbioru n-elementowego Z.
Inaczej wariancję k-elementową możemy utożsamić z funkcjami różnowartościowymi
f:{1,...,k} → Z
Tw. Jeżeli
=(
oznaczymy liczbę wariancji k-elementową (k n) ze zbioru n-el. Z , to
)
Przykład:
1) Mamy 10 książek i 10 miejsc na półce. Na ile sposobów możemy ustawić książki?
P10=10!
2) Mamy 10 książek i półkę na 5 książek. Na ile sposobów możemy wybrać i ustawić książki
na półce?
=(
)
=
=10 9 8 7 6
Def. Wariancją z powtórzeniami k-el. ze zbioru n-el. Z nazywamy każdy ciąg k-el ze zbioru
n-el. Z.
Inaczej wariancję z powtórzeniami możemy utożsamić z funkcją f:{1,...,k} → Z
Tw. Jeżeli liczbę wariancji z powtórzeniami k-el. ze zbioru n-el. Z oznaczamy
=nk
, to
Przykład:
1) W sklepie jest do wyboru 5 tabletów. Kupuje je kolejno 10 klientów. Na ile sposobów
możemy to zrobić?
= 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=510
Def. Kombinacją k-elementową (k n) ze zbioru n-elementowego nazywamy dowolny
podzbiór k-el. ze zbioru n-el. Z.
Tw. Jeżeli liczbę kombinacji k-el. (k n) ze zbioru n-el. Z oznaczymy
= ( )= (
,to
)
Przykład:
Biblioteka zawiera 10 książek, jadąc na wakacje chcemy zabrać 5 spośród nich. Na ile
sposobów możemy to zrobić?
= ( )== (
=
)
=
MODEL BOSEGO-EINSTEINA (fotony)
Rozważmy na ile sposobów możemy rozmieścić n-identycznych przedmiotów w k-szufladach
Przykład:
1) Mamy 5 delicji i 4 dzieci. Na ile sposobów możemy podzielić delicje?
Rozważając k-szuflad wystarczy obserwować (k-1) przegródek między nimi. Identyczne
przedmioty utożsamię z zerami, a przegródki z jedynkami. Mamy ciągi 0-1 długości n+(k-1)
złożone z n- zer i (k-1) jedynek, jest ich:
(
)
(
)
=(
)
Tak więc n-identycznych przedmiotów w k-szufladach możemy rozmieścić na (
rozróżnialnych sposobów.
{(x1, ...,xk): ∑
i=n
, 0≤ xi ≤n }
2) Na ile sposobów 10 delicji rozdzielimy na czworo dzieci?
n=10, k=4
Ω={(x1,x2,x3,x4) : 0≤ xi ≤10 ; ∑
(
(
)
)= (
)=
i=10
}
)