Kombinatoryka

Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
Literatura:
1. A. Plucińska, E. Pluciński Probabilistyka,
2. J. Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa,
3. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach,
4. J. Jóźwiak, J. Podgórski Statystyka od podstaw,
5. J. Ombach Rachunek prawdopodobieństwa.
Kombinatoryka
Niech Z ≠ φ .
Def.
Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego Z nazywamy kaŜdy n-elementowy
róŜnowartościowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru Z.
Liczba permutacji bez powtórzeń: Pn = n!
Przykład. Niech Z = {0,1,2}.
 0 1 2
0 1 2
 0 1 2
0 1 2
0 1 2
 , σ 3 : 
 , σ 4 : 
 , σ 5 : 
 ,
 , σ 2 : 
id Z = σ 1 : 
 2 0 1
1 2 0 
1 0 2 
 0 2 1
0 1 2
 0 1 2

σ 6 : 
 2 1 0
co oznacza, Ŝe np.
σ 3 (0) = 1, σ 3 (1) = 2 , σ 3 (2) = 0 .
Znak permutacji: sgn σ = (− 1) , l – liczba transpozycji,
sgn σ = 1 permutacja parzysta (parzysta liczba transpozycji),
sgn σ = −1 permutacja nieparzysta (nieparzysta liczba transpozycji).
I tak np. dla permutacji σ 3 mamy
l
0 ↔ 1 2


2
1 0 ↔ 2  , zatem mamy dwie transpozycje czyli l = 2 , sgn σ 3 = (− 1) = 1
 1 2 0 


jest to permutacja parzysta.
Def.
Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy kaŜdy n-elementowy ciąg
utworzony ze wszystkich elementów zbioru Z, wśród których pewne elementy powtarzają się
n1 , n2 ,..., nk razy ( n1 + n2 + ... + nk = n ).
n!
Liczba permutacji z powtórzeniami: Pnn1 ,..., nk =
.
n1!⋅... ⋅ nk !
Przykład. Ile róŜnych wyrazów mających sens lub nie moŜna utworzyć z wyrazu
MATEMATYKA?
10!
n = 10 , M × 2, A × 3, T × 2, E × 1, Y × 1, K × 1, zatem P102,3, 2,1,1,1 =
= 151200 .
2!⋅3!⋅2!
Przykład. Na ile sposobów moŜna ułoŜyć 12 ksiąŜek na trzech półkach tak, aby na pierwszej
półce znajdowało się 6 ksiąŜek, na drugiej 4, a na trzeciej pozostałe?
12!
Są to permutacje z powtórzeniami: P126, 4, 2 =
= 1860 .
6!⋅4!⋅2!
Przykład. Obliczyć na ile sposobów moŜna rozmieścić na n numerowanych miejscach k orłów
i n − k reszek.
n!
.
Znowu mamy: Pnk , n − k =
k!⋅(n − k )!
A teraz łagodne przejście do kombinacji
Def.
Kombinacją k-elementową bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego nazywamy kaŜdy
podzbiór złoŜony z k elementów zbioru Z.
n
n!
Liczba kombinacji bez powtórzeń: Cnk =   =
0≤k ≤n.
 k  k!⋅(n − k )!
Przykład. Dane są cztery róŜne punkty przestrzeni trójwymiarowej, nie leŜące w jednej
płaszczyźnie. Ile róŜnych płaszczyzn moŜna przeprowadzić przez te punkty?
Wybieramy podzbiory 3-elementowe ze zbioru złoŜonego z czterech punktów, czyli
 4
C43 =   = 4 .
 3
Def.
Kombinacją k-elementową z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego nazywamy kaŜdy kelementowy podzbiór zbioru n-elementowego, przy czym elementy mogą się powtarzać.
 n + k − 1
 .
Liczba kombinacji z powtórzeniami: Cnk = Cnk+ k −1 = 
 k

Przykład. Na ile sposobów moŜna rozmieścić 3 kule (k=3) w trzech szufladach (n=3)?
Spróbujmy to zobaczyć.
1 2 1 1 0 0 2 3 0 0
 5
1 1 2 0 1 2 0 0 3 0 czyli C33 = C53 =   = 10 .
 3
1 0 0 2 2 1 1 0 0 3
Przykład. Malarz ma pomalować 3 przedmioty mając do dyspozycji farby w pięciu kolorach.
Ile układów kolorów farb moŜe malarz otrzymać, zakładając Ŝe kaŜdy przedmiot jest
pomalowany na jeden kolor?
7
n = 5, k = 3
C53 = C73 =   = 35 .
 3
Def.
Wariacją k-elementową bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego nazywamy kaŜdy kelementowy róŜnowartościowy ciąg utworzony z tych n elementów.
n
n!
Liczba wariacji bez powtórzeń: Vnk =  k!=
.
(n − k )!
k 
Przykład. Ile moŜna utworzyć róŜnych trójkolorowych chorągiewek z siedmiu kolorów?
7
Oczywiście, Ŝe ciągi i to bez powtórzeń, zatem V73 =   ⋅ 3!= 210 .
 3
Def.
Wariacją k-elementową z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego nazywamy kaŜdy kelementowy ciąg utworzony z tych n elementów, przy czym elementy mogą się powtarzać.