1 Kombinatoryka

W sytuacji, gdy mamy do czynienia ze skończoną przestrzenią składającą się z jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia obliczamy z wzoru
P (A) =
#A
,
#Ω
gdzie #A oznacza liczbę elementów (liczność, liczebność, moc) zbioru A, a #Ω liczebność przestrzeni
wszystkich zdarzeń elementarnych (spotyka się również oznaczenia |A|, Ā¯ lub card(A)).
Model ten zwany „klasyczną definicją prawdopodobieństwa” pasuje do wielu zadań, głównie o
charakterze kombinatorycznym, w których występują karty, monety, kości do gry, loterie itp.
Uwaga. Definicja taka pozostawia wiele do życzenia i może prowadzić do poważnych nieporozumień.
Przykładowo, d’Alembert argumentował, że prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów pod rząd
przy dwukrotnym rzucie monetą wynosi 1/3, gdyż możliwe wyniki to R, OR i OO: po wypadnięciu
reszki w pierwszym rzucie nie ma sensu rzucać dalej!
1
Kombinatoryka
Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem jest obliczanie liczby zbiorów,
w jakie można łączyć w określony sposób przedmioty należące do danego zbioru skończonego.
Przykład 1. Jeśli zbiór A zawiera n elementów a1 , . . . , an , a zbiór B zawiera m elementów b1 , . . . , bm ,
to można z nich utworzyć n × m par postaci (ai , bj ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Definicja 2. Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A1 , . . . , Ak nazywamy zbiór
A1 × · · · × Ak = {(a1 , . . . , ak ) : a1 ∈ A1 , . . . , ak ∈ Ak } ,
wszystkich takich k-elementowych ciągów, że ai ∈ Ai , dla i = 1, . . . , k.
Twierdzenie 3 (O mnożeniu). Jeśli #Ai = ni dla i = 1 . . . , k, to #(A1 × · · · × Ak ) = n1 · n2 · . . . · nk .
Dowód. Indukcja. Z założenia mamy #A1 = n1 . Jeśli #(A1 × · · · × Am ) = n1 · . . . · nm , to każdy ciąg
postaci (a1 , . . . , am , am+1 ) ∈ A1 × · · · × Am × Am+1 otrzymujemy dołączając element am+1 wybrany
na nm+1 sposobów do ciągu (a1 , . . . , am ) wybranego na n1 · . . . · nm sposobów, zatem #(A1 × · · · ×
Am × Am+1 ) = n1 · . . . · nm · nm+1 .
Przykład 4. Na konkursie tańca spotyka się 5 panów i 8 pań. Każdy pan z każdą panią ma zatańczyć
2 tańce. Ile utworów musi zabrzmieć, jeśli jeden utwór tańczą jednocześnie 4 pary.
Rozwiązanie. Są trzy grupy elementów: 5 panów, 8 pań i 2 tańce. Zatem musi zatańczyć 5×8×2 = 80
par. Należy więc zagrać przynajmniej 80
4 = 20 utworów (przynajmniej, gdyż nie każdy podzbiór 4 par
może zatańczyć dany taniec; w tym przypadku 20 wystarcza).
Ustalmy skończony zbiór A, który nazwijmy populacją generalną. Dowolny ciąg elementów ze
zbioru A będziemy nazywać próbą. Możliwe są dwa sposoby pobierania próby:
• ze zwracaniem – pobieranie elementu następuje zawsze z całej populacji, przez co dany element
może zostać wybrany więcej niż jeden raz i w próbie mogą wystąpić powtórzenia, a liczebność
próby może być większa od liczebności populacji generalnej;
• bez zwracania – wówczas wszystkie elementy próby są różne.
Definicja 5. Wariacją (rozmieszczeniem) k-wyrazową z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdą
funkcję f : {1, 2, . . . , k} → Y . Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego
(wariacji z powtórzeniami z n elementów po k) będziemy oznaczać symbolem V̄nk
Wariację z powtórzeniami z n elementów po k można interpretować jako próbę k-elementową
pobraną ze zwracaniem z populacji n-elementowej.
Definicja 6. Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru Y złożonego z n elementów, gdzie
0 ¬ k ¬ n, nazywamy każdą funkcję różnowartościową f : {1, 2, . . . , k} → Y . Liczbę k-elementowych
wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego będziemy oznaczać Vnk .
Wariację bez powtórzeń z n elementów po k można interpretować jako próbę k-elementową pobraną
bez zwracania z populacji n-elementowej.
Definicja 7. Permutacją bez powtórzeń (lub po prostu: permutacją) n-elementowego zbioru Y
nazywamy każdą funkcję f odwzorowującą zbiór {1, 2, . . . , n} na zbiór Y . Liczbę permutacji zbioru
n-elementowego oznaczamy przez Pn .
Uwaga: w powyższej definicji występuje funkcja „na”, co oznacza, że przyjmuje ona wszystkie
wartości zbioru Y . Ponieważ ponadto dziedzina i przeciwdziedzina mają taką samą moc, więc funkcja
ta jest także różnowartościowa, czyli jest bijekcją.
Każda funkcja f określona na zbiorze {1, 2, . . . , k} wyznacza jednoznacznie ciąg f (i), 1 ¬ i ¬ k.
Także na odwrót: każdy k-wyrazowy ciąg elementów zbioru Y wyznacza funkcję f : {1, 2, . . . , k} → Y .
Zamiast o funkcjach możemy zatem mówić o ciągach, np. wariacje z powtórzeniami aab i aba są różne,
podobnie jak wariacje bez powtórzeń: ab i ba sa różnymi wariacjami.
Definicja 8. Kombinacją k-elementową (bez powtórzeń) zbioru Y , złożonego z n elementów, nazywamy dowolny k-elementowy podzbiór zbioru Y . Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru nelementowego będziemy oznaczać symbolem Cnk .
Twierdzenie 9.
V̄nk = nk ,
Vnk = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
n!
,
(n − k)!
Pn = n!,
Cnk =
n
k
!
=
n!
,
k!(n − k)!
n ­ 1, k ­ 0,
(1.1)
0 ¬ k ¬ n,
(1.2)
n ­ 0,
(1.3)
0 ¬ k ¬ n.
(1.4)
Dowód. (1) k-elementowe wariacje z powtórzeniami to inaczej k-elementowe ciągi o wyrazach ze zbioru
n-elementowego, więc wystarczy zastosować twierdzenie o mnożeniu dla A1 = · · · = Ak = Y .
(2) Mamy Vn0 = 1, gdyż jest tylko jedna wariacja 0-elementowa – ciąg pusty. Ponadto Vnk+1 = (n −
k)Vnk , gdyż po wybraniu k-elementów ze zbioru n-elementowego, element (k + 1)-wszy, o ile k + 1 ¬ n,
można wybrać spośród pozostałych n − k elementów i dołączyć do dowolnej z Vnk wariacji.
(3) Permutacja to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń Pn = Vnn .
(4) Zauważmy, że Vnk = Cnk Pk , ponieważ każdy ciąg k-elementowy można otrzymać wybierając kelementowy podzbiór, a następnie na różne sposoby ustawiać w ciąg (permutować), zatem
Cnk =
Vnk
.
Pk
Definicja 10. Kombinacją k-elementową z powtórzeniami zbioru A = {a1 , . . . , an } składającego
się z n-elementów nazywamy każdy taki ciąg (k1 , . . . , kn ), że
k1 + · · · + kn = k,
gdzie ki są liczbami całkowitymi nieujemnymi dla i = 1, . . . , n. Oznacza to, że w danej kombinacji
występuje k1 elementów a1 , k2 elementów a2 , . . . , kn elementów an . Liczbę k-elementowych kombinacji
z powtórzeniami zbioru n-elementowego oznaczamy C̄nk .
Przykład 11. Na ile sposobów można rozdać k pączków n osobom? Pączki uznajemy za nierozróżnialne. Może się zdarzyć, że ktoś nie dostanie pączka. Pytamy zatem liczbę takich ciągów (k1 , . . . , kn )
liczb całkowitych nieujemnych spełniających równanie k1 + · · · + kn = k. Liczbę ki interpretujemy jako
ilość pączków przydzielonych i-tej osobie. Dwa rozwiązania uznajemy za różne, jeśli różne są ciągi
(k1 , . . . , kn ). Inaczej, możemy myśleć o tym problemie jak o rozmieszczaniu k nierozróżnialnych kul w
n szufladach. Oznaczając ścianki między szufladami przez pionowe kreski, ciąg |o||ooo| reprezentuje
układ k = 4 kul w n = 3 szufladach (dwie dodatkowe ścianki są na początku i końcu, środkowa szuflada
jest pusta) i odpowiada przydziałowi pączków (1, 0, 3). Każdą kombinację k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego można zatem utożsamić z ciągiem złożonym z k kul rozdzielonych n − 1
ściankami, a takich ciągów jest
!
C̄nk
=
k+n−1
n−1
!
(k + n − 1)!
=
=
(n − 1)!k!
k+n−1
.
k
Można również myśleć kombinacjach z powtórzeniami jak o ciągach złożonych z indeksów osób, którym przydzielane są kolejne pączki, a wówczas k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru
n-elementowego nazywać będziemy ciąg składający się z k elementów, różnych lub nie różniących się
między sobą, wybranych spośród n różnych indeksów, przy czym obojętne jest w jakim porządku
elementy tego zbioru są rozmieszczone (tu nie rozróżniamy ciągów, które różnią się jedynie kolejnością elementów). W naszym przykładzie taka kombinacja miałby postać (1, 3, 3, 3) (lub (3, 3, 3, 1),
(3, 1, 3, 3), (3, 3, 1, 3)).
Definicja 12. Ciąg składający się z n elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się
odpowiednio n1 , n2 , . . . , nk razy, przy czym rozróżniamy ciągi różniące się kolejnością elementów, nazywamy n-elementową permutacją z powtórzeniami. Liczbę utworzonych w ten sposób ciągów
oznaczamy Pnn1 ,n2 ,...,nk .
Przykład 13. Na ile sposobów można podzielić n-elementową populację na k części zawierających
odpowiednion1 , n2 , . . . , nk elementów, gdzie n1 + · · · + nk = n? Wybieramy
n1 elementów do pierwszej
1
sposobów,
itd. W rezultacie
części na nn1 sposobów, potem n2 elementów do drugiej części na n−n
n2
mamy
Pnn1 ,n2 ,...,nk
=
=
n
n1
!
!
n − n1
n − (n1 + · · · + nk−1 )
· ... ·
n2
nk
!
=
n!
(n − n1 )!
(n − (n1 + · · · + nk−1 ))!
n!
· ... ·
=
.
(n − n1 )!n1 ! (n − (n1 + n2 ))!n2 !
(n − (n1 + · · · + nk ))!nk !
n1 ! · . . . · nk !
Stworzenie poprawnego schematu losowania (lub wybierania elementów) spełniającego podane
warunki, nie zawsze jest proste. Warto sprawdzić, czy otrzymany wynik daje rozsądne wyniki w szczególnych przypadkach.
Przykład 14. W n (rozróżnialnych) komórkach rozmieszczono losowo n rozróżnialnych kul. Ile jest
takich rozmieszczeń, dla których dokładnie jedna komórka jest pusta?
Rozwiązanie (1): Pustą komórkę wybieramy na n sposobów, odkładamy jedną kulę (wybraną na n
sposobów), a w pozostałych n − 1 komórkach rozmieszczamy n − 1 kul na (n − 1)! sposobów. Na
zakończenie umieszczamy odłożoną kulę w jednej z n − 1 zajętych komórek. Odpowiedź brzmi zatem:
n · n · (n − 1)! · (n − 1) = n(n − 1)n!.
Jednakże odpowiedź ta jest błędna. Przykładowo, dla n = 2 otrzymujemy liczbę 4 = 22 = nn , czyli
tyle ile jest wszystkich rozmieszczeń. Wygląda na to, że obliczona liczba sprzyjających ustawień jest
za duża. Na przykład przy 3 kulach i 3 komórkach konfigurację | − |3|1, 2| otrzymujemy dwukrotnie.
Po raz pierwszy odkładając kulę 1, wstawiając kule 2 i 3 oraz na zakończenie wkładając kulę 1 do 3
komórki. Zmiana kuli 1 na 2 daje pozornie inny
„sposób”.
Rozwiązanie (2): Wybieramy dwie kule na n2 sposobów. Wrzucamy je do wybranej na n sposobów
komórki. Z pozostałych wybieramy pustą na n − 1 sposobów. Umieszczamy pozostałe n − 2 kul w n − 2
komórkach na (n − 2)! sposobów. Sprzyjających konfiguracji jest zatem:
!
!
n
n
· n(n − 1)(n − 2)! = n!
.
2
2