Kombinatoryka

1
kombinatoryka, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo
warunkowe
2
zmienna losowa typu skokowego: definicja, dystrybuanta,
charakterystyki liczbowe (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie
standardowe, moda, mediana, kwantyl dolny i kwantyl górny), rozkład
Bernoulliego
3
zmienna losowa ciągła: definicja, dystrybuanta, charakterystyki
liczbowe (wartość oczekiwana, moda, mediana, kwantyl dolny i
kwantyl górny), rozkład normalny
1 / 12
2 / 12
Kombinatoryka
Definicja 2
Definicja 1
Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n)
nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, utworzony z k różnych elementów tego
zbioru n-elementowego.
Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy
n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru
n-elementowego (każdy element zbioru występuje dokładnie jeden raz).
Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego
(k ¬ n) oznaczamy Vnk i obliczamy ze wzoru
Liczbę permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego oznaczamy
symbolem Pn i obliczamy ze wzoru
Vnk =
n!
(n − k)!
Pn = n!
Przykład 2
Ilość różnych trójkolorowych chorągiewek, które można wykonać z sześciu
6!
6!
barw wynosi V63 =
=
= 120
(6 − 3)!
3!
Przykład 1
Ilość możliwych ustawień pięciu osób w kolejce wynosi P5 = 5! = 120
3 / 12
4 / 12
Definicja 4
Definicja 3
Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy
każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów tego zbioru
n-elementowego.
Kombinacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n)
nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru n-elementowego.
Liczbę k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego
(k ¬ n) oznaczamy Cnk i obliczamy ze wzoru
Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego
k
oznaczamy V n i obliczamy ze wzoru
Cnk =
k
n
k
!
=
n!
k!(n − k)!
V n = nk
Przykład 4
Przykład 3
Ilość powitań, które
! nastąpią, gdy jednocześnie spotka się 6 osób
6
6!
6!
=
wynosi C62 =
=
= 15
2
2!(6 − 2)!
2! 4!
Ilość możliwych
wylosowań 3 kul z urny, w której jest 10 kul wynosi
!
10
10!
3
C10 =
=
= 120
3
3! 7!
Ilość liczb pięciocyfrowych, które można utworzyć z cyfr 1,2,3 wynosi
5
V 3 = 35
Ilość możliwych wyników dla dwukrotnego rzutu kostką wynosi
2
V 6 = 62 = 36
5 / 12
ilość elementów
permutacje
ilość wybranych
czy
czy liczy się
elementów
zwracamy
kolejność
n różnych
wszystkie
nie
tak
n różnych
k-elementów
nie
tak
6 / 12
Aby ustalić sposób łączenia elementów (ilość wszystkich wyborów)
danego zbioru należy postępować według następującego algorytmu:
1
Ustalamy, czy kolejność wyboru elementów ze zbioru jest istotna,
czy też nie. Jeżeli nie jest istotna, to mamy do czynienia z
kombinacjami.
2
Ustalamy, czy ustawienia różnią się tylko kolejnością elementów.
Jeżeli tak, to mamy do czynienia z permutacjami.
Jeżeli różnią się nie tylko kolejnością elementów, ale także składem,
to nasze połączenie to wariacja.
3
Ustalamy, czy w wyborze elementy powtarzają się, czy też nie.
bez powtórzeń
wariacje
k¬n
bez powtórzeń
wariacje
n różnych
k-elementów
tak
tak
n różnych
k-elementów
nie
nie
z powtórzeniami
kombinacje
bez powtórzeń
k¬n
7 / 12
8 / 12
Definicja 5 (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Rachunek prawdopodobieństwa
Jeżeli przestrzeń Ω jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są
jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia dowolnego
zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu
zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω, czyli
przestrzeń zdarzeń elementarnych - oznaczamy Ω - jest to zbiór
wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego
elementy zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi
zdarzenia są zbiorami, więc można na nich wykonywać działania
analogiczne do działań na zbiorach, np. A ∪ B, A ∩ B, A \ B
P(A) =
zbiór Ω \ A (czyli dopełnienie zbioru A do przestrzeni Ω) nazywamy
zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A i oznaczamy A0
k
n
gdzie k - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,
n - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω.
Ω nazywamy zdarzeniem pewnym
∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym
P(A) =
jeśli A ∩ B = ∅, to mówimy, że zdarzenia A, B wykluczają się
(są rozłączne)
|A|
|Ω|
gdzie symbol |A| oznacza liczbę elementów zbioru A (moc, miarę zbioru),
zaś |Ω| oznacza liczbę elementów zbioru Ω
9 / 12
Prawdopodobieństwo warunkowe
Twierdzenie 1 (Własności prawdopodobieństwa)
1
P(∅) = 0
2
P(Ω) = 1
3
0 ¬ P(A) ¬ 1
4
P(A0 )
5
6
10 / 12
często szukamy prawdopodobieństwa zdarzenia przy założeniu, że
zajdzie inne zdarzenie
zajście jakiegoś zdarzenia może radykalnie zmienić
prawdopodobieństwo zajścia innego zdarzenia
= 1 − P(A)
Definicja 6
Dla dwóch dowolnych zdarzeń A, B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem
zajścia zdarzenia B, gdzie P(B) > 0 nazywamy liczbę
Dla dwóch zdarzeń rozłącznych A, B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A|B) =
11 / 12
P(A ∩ B)
P(B)
12 / 12