Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt oraz

Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt
odcinka o koocach: M
iN
oraz środek
Rozwiązanie 1 sposób:
1.Znajdujemy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka MN:
2. iszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
iS
y
y
y
y
y
ponieważ
Odp. Szukana prosta ma równanie:
Rozwiązanie 2 sposób:
Po znalezieniu współrzędnych punktu S można też skorzystad z równania kierunkowego
prostej
Wiadomo, że jeżeli punkt leży na prostej tzn., że spełnia jej równanie. Podstawiamy więc
kolejno do równania prostej współrzędne punktu P i punktu S.
a
a
a
a
a
stąd
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Podstawiamy otrzymane wartości do równania prostej
a
a
a
a
a
stąd
a
Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty K i L, gdzie punkt K jest
punktem przecięcia się przekątnych kwadratu ABCD o wierzchołkach:
zaś punkt L punktem, w którym przecinają się proste
o wzorach:
y
iy
.
Rozwiązanie:
1.Znajduję współrzędne punktu K
Wiadomo, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie, punkt K jest więc środkiem
odcinka AC (albo BD).
=
2.Znajduję współrzędne punktu L
Wiadomo, że punkt L leży jednocześnie na obu prostych, więc spełnia równanie każdej z
nich. Rozwiązuje więc układ równao:
y
y
y
y
y
y
y
3. iszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty K i L
y
y
y
Odp. Szukana prosta ma równanie:
Zadanie 3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt
do prostej o równaniu
y
i równoległej
Rozwiązanie:
Przekształcam równanie podanej prostej do postaci kierunkowej, aby „zobaczyd” jej
współczynnik kierunkowy.
y
y
y
Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej
.
Z warunku równoległości wiadomo, że
.
Punkt P leży na prostej, więc spełnia jej równanie:
więc
i ostatecznie
Podstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymuję
odpowiedź:
Zadanie 4. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt K
i prostopadłej
do prostej o równaniu
y
Rozwiązanie:
Przekształcam równanie podanej prostej do postaci kierunkowej, aby „zobaczyd” jej
współczynnik kierunkowy.
y
y
y
Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej
.
Z warunku prostopadłości wiadomo, że
stąd a
stąd
Punkt K leży na prostej, więc spełnia jej równanie:
więc
i ostatecznie
Podstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymuję
odpowiedź:
Zadanie 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M
i nachylonej
do osi OX pod katem 60.
Rozwiązanie:
Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej
.
Wiadomo, że współczynnik kierunkowy prostej a t , -kąt nachylenia prostej do osi OX
Punkt M leży na prostej, więc spełnia jej równanie:
więc
i ostatecznie
Podstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymuję
odpowiedź:
Zadanie 6. Napisz równanie prostej zawierającej symetralną odcinka o koocach
i
.
Rozwiązanie:
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego
środek. Korzystam z równania kierunkowego prostej:
1.Wyznaczam współrzędne środka odcinka PR
=
2.Wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i R
3.Symetralna jest prostopadła, więc
stąd a
więc
4.Punkt S leży na symetralnej, więc spełnia jej równanie. Podstawiam do wzoru prostej
współrzędne punktu S i wyliczony współczynnik kierunkowy a
więc
i ostatecznie
Odp. Prosta zawierająca symetralną odcinka PR ma wzór:
Zadanie 7. Punkty
,
,
są wierzchołkami trójkąta ABC.
a)napisz równania prostych zawierających boki trójkąta
b)napisz równania prostych zawierających wysokości trójkąta ABC
c) napisz równania prostych zawierających środkowe trójkąta ABC
d)znajdź punkt będący środkiem ciężkości trójkąta ABC
Rada - warto sporządzid sobie rysunek pomocniczy
Ad a)
Zauważmy, że
więc równanie prostej zawierającej bok AB ma postad
.
Ponadto y
y
więc równanie prostej zawierającej bok BC ma postad
Aby napisad równanie prostej zawierającej bok AC korzystam ze wzoru na równanie prostej
przechodzącej przez dwa punkty A i C:
y
y
y
stąd
Ad b) Wysokośd trójkąta wychodzi z wierzchołka i spada na bok przeciwległy pod kątem
prostym.
Wysokość wyprowadzona z wierzchołka A spada na bok BC. Równanie boku BC ma postad
. Zatem prosta prostopadła do prostej BC i przechodząca przez punkt A ma postad:
.
Równanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka A:
Wysokość wyprowadzona z wierzchołka C spada na bok AB. Równanie boku AB ma postad
. Zatem prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt C ma postad:
y y
.
Równanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka C:
Wysokość wyprowadzona z wierzchołka B spada na bok AC. Równanie boku AC ma postad
. Przekształcam, aby „zobaczyd” współczynnik kierunkowy prostej.
y
y
zatem
Korzystam z równania kierunkowego prostej
Wysokośd jest prostopadła do boku AC zatem
stąd a
więc
Prosta zawierająca wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka B przechodzi przez punkt B,
zatem punkt
spełnia jej równanie. Podstawiam współrzędne punktu B i
wyliczony współczynnik a do wzoru prostej:
więc
i
.
Ostatecznie
Równanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka B:
Ad c) Środkowa trójkąta wychodzi z jego wierzchołka i przecina przeciwległy bok w połowie
1.Wyznaczam środki boków trójkąta ABC
S- środek boku AB S
L- środek boku AC L
M- środek boku BC M
2.Prosta zawierająca środkową wyprowadzoną z punktu A przechodzi przez punkt
oraz punkt M
Korzystam z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty A i M
y
y
y
y
y
Prosta zawierająca środkową wyprowadzoną z punktu B przechodzi przez punkt
, oraz punkt L
, zaś prosta zawierająca środkową wyprowadzoną z
punktu C przechodzi przez punkt
oraz punkt S
Postępujemy analogicznie.
Ad c) Środek ciężkości trójkąta znajduje się w punkcie przecięcia się jego środkowych.
Należy rozwiązad układ równao złożony z dwóch równao prostych zawierających dowolne
środkowe tego trójkąta.