Część XVI - Kierunki zamawiane

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Geometria analityczna w R2
16. Geometria analityczna w R2
16.1. Wektory
−−→
Jeżeli A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ R2 , wtedy wektor AB = [x2 − x1 , y2 − y1 ].
Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.
Wektory ⃗i = [1, 0], ⃗j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY .
Niech ⃗u = [x1 , y1 ], ⃗v = [x2 , y2 ], λ ∈ R.
• ⃗u + ⃗v = [x1 + x2 , y1 + y2 ].
• ⃗u − ⃗v = [x1 − x2 , y1 − y2 ].
• λ⃗u = [λx1 , λy1 ].
Długość wektora ⃗u jest określona wzorem
|⃗x| =
√
x1
x21 + y12 .
x
x2
Iloczyn skalarny wektorów ⃗u = [x1 , y1 ], ⃗v = [x2 , y2 ] określamy wzorem
⃗u ◦ ⃗v = x1 x2 + y1 y2 .
Jeżeli ⃗u i ⃗v są wektorami niezerowymi, to kąt φ między tymi wektorami możemy wyznaczyć
z zależności
⃗u ◦ ⃗v
.
cos φ =
|⃗u| · |⃗v |
Jeśli ⃗u ̸= 0, ⃗v ̸= 0, to:
• ⃗u ∥ ⃗v ⇐⇒ x1 y2 = x2 y1 ,
• ⃗u ⊥ ⃗v ⇐⇒ ⃗u ◦ ⃗v = 0.
Pole trójkąta ABC, gdzie A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) wyraża się wzorem
P =
[
1
2 det
x2 − x1
x3 − x1
]
y2 − y1 1)
.
y3 − y1
16.2. Prosta na płaszczyźnie
Równanie kierunkowe prostej ma postać
y
l
l : y = ax + b,
gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym
prostej l.
a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej l do
osi OX.
[
1)
86
det
a
c
b
d
]
= ad − bc
y=ax+b
a
0
x
Geometria analityczna w R2
Kątem φ między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów, φ ∈ (0, π2 ]. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.
y
l2
?
l1
x
0
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l1 : y = a1 x + b1 , l2 : y = a2 x + b2 .
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ a1 = a2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ a1 · a2 = −1.
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
a1 − a2
tg φ = 1+a a
1 2
.
Równanie ogólne prostej
l : Ax + By + C = 0,
gdzie A, B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.
Wektor ⃗n = [A, B] nazywamy wektorem normalnym prostej l.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz prostopadłej do niezerowego wektora ⃗n =
[A, B] ma postać
l : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0.
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.
Wektory normalne tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗n1 = [A1 , B1 ] i ⃗n2 = [A2 , B2 ]. Wtedy:
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ ⃗n1 ∥ ⃗n2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ ⃗n1 ⊥ ⃗n2 .
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
cos φ =
|⃗n1 ◦ ⃗n2 |
.
|⃗n1 | · |⃗n2 |
Odległość punktu P (x0 , y0 ) od prostej l : Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem
d=
|Ax√0 +By0 +C|
.
A2 +B 2
Równanie odcinkowe prostej ma postać
x y
+ = 1,
a
b
gdzie a, b ̸= 0. Prosta ta przecina osie OX, OY
układu współrzędnych odpowiednio w punktach
(a, 0), (0, b).
y
x
Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz równoległej do niezerowego
wektora ⃗u = [a, b] ma postać
y − y0
x − x0
=
.
l:
a
b
87
Geometria analityczna w R2
Wektor ⃗u nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.
Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko
proporcji.
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami
l1 :
x−x1
a1
=
y−y1
b1 ,
l2 :
x−x2
a2
=
y−y2
b2 .
Wektory kierunkowe tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗u1 = [a1 , b1 ] i ⃗u2 = [a2 , b2 ]. Wtedy:
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ ⃗u1 ∥ ⃗u2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ ⃗u1 ⊥ ⃗u2 .
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
cos φ =
|⃗u1 ◦ ⃗u2 |
.
|⃗u1 | · |⃗u2 |
Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗u = [a, b] ma postać
{
l:
x = x0 + at
gdzie t ∈ R.
y = y0 + b t,
16.3. Okrąg, elipsa
Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
y
(a,b)
x
Równanie elipsy o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
y
b
a
x
16.4. Zadania
−−→
1. Obliczyć długość wektora AB, jeżeli A(1, −3), B(−4, 5).
2. Obliczyć odległość odcinka o końcach P = (−1, −1) Q = (−5, 9) od początku układu współrzędnych.
−−→
3. Dane są punkty A(2, −1), B(1 − a, 2), C(3, 2 + a). Dla jakiej wartości parametru a wektory AB
−→
i AC są prostopadłe?
88
Geometria analityczna w R2
4. Dane są wektory ⃗a = [3, 2], ⃗b = [2, −4]. Znaleźć (2⃗a ◦ ⃗b) oraz (⃗a ◦ ⃗b) · ⃗a.
5. Znaleźć długość wektora ⃗a = 3⃗
p − 2⃗q wiedząc, że |⃗
p| = 1, |⃗q| = 2, ^(⃗
p, ⃗q) = π3 .
√
6. Znaleźć pole i kąty trójkąta o wierzchołkach: A = (0, 1), B = (2 3, 1), A = (0, 3).
7. Obliczyć pole kwadratu ABCD, w którym A(−1, 4), C(2, 3).
8. Znaleźć równanie symetralnej odcinka o końcach A = (−5, 3), B = (9, 7).
9. Znaleźć odległość punktu P = (1, −1) od prostej 3x − 4y + 8 = 0.
10. Znaleźć punkt jednakowo odległy od prostej x + y + 1 = 0 i od punktów A = (1, 1) i B = (2, 1).
11. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(3, −2) i równoległej do prostej
{
12. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 1) i prostopadłej do prostej
t ∈ R.
x
3
+
y
4
= 1.
x = 1 + 2t
y =1−t
,
13. Dla jakich wartości parametru p proste 3px − 8y + 13 = 0 i (p + 1)x − 2py − 21 = 0 są równoległe,
a dla jakich prostopadłe?
14. Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (2, 3) względem prostej o równaniu x + 2y − 8 = 0.
15. Znaleźć kąt między prostymi 3x − 4y + 15 = 0 i 7x − y + 11 = 0.
16. Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem x2 + y 2 + 2x − 4y − 30 = 0.
17. Napisać równanie okręgu o środku w punkcie S = (2, −3) i promieniu r = 5.
18. Wyznaczyć równanie okręgu:
a) o środku w punkcie S(1, 0) i przechodzącego przez punkt P (−7, −6),
b) o promieniu r = 5 i przechodzącego przez punkty P (4, −3) i Q(5, 0).
19. Napisać równanie okręgu o środku S = (6, 7) o stycznego do prostej 5x − 12y − 24 = 0.
20. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (−3, 0), B = (−1, 2), którego środek
leży do prostej x − y − 2 = 0.
21. Wyznaczyć parametr m tak, aby punkt P = (−1, m) należał do okręgu o równaniu x2 +(y−1)2 = 1.
22. Znaleźć punkt przecięcia okręgu x2 + y 2 − 3x + 5y − 4 = 0 z prostą x + 2y − 4 = 0.
23. Jakie jest położenie prostej 2x − y − 9 = 0 i elipsy 12x2 + 36y 2 = 432.
24. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: 4x2 + 9y 2 = 36.
89