etn - cwiczenia nr 1

Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Jedynym
istotnym
zdarzeniem
w
eksploatacji
obiektu
prostego
nieodnawialnego
jest
chwila
jego
uszkodzenia. Wtedy traci on własność
realizacji przewidzianych funkcji (zadań).
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem [1/h].
Dlaczego rozkład wykładniczy jest „ahistoryczny”, „bez pamięci” ?
Wyznaczmy wartości prawdopodobieństw: | | 1 1 1 | | | są takie same i nie zależą od
i
!.
Niestarzenie się elementu oznacza, że prawdopodobieństwo awarii w danym przedziale czasu nie zależy od wieku
elementu. Określamy tę własność jako brak pamięci rozkładu wykładniczego.
Miary funkcyjne niezawodności
1. Dystrybuanta " #$ Własności dystrybuanty:
ciągła, niemalejąca, %∞ 0 ,%∞ 1
% (
0
)*+ , 0 )*+ 0
1
%0 1 ./ 0 ; %∞ 1 .1 1
Czy funkcja jest stale rosnąca:
)%
2 3 3 )
Wartość dystrybuanty " określa prawdopodobieństwo, że czas awarii jest mniejszy niż . Czyli, że obiekt się
popsuje do chwili .
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi do chwili % Michał Kapałka
[email protected]
2. Funkcja niezawodności 4 " #$ Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
50 ./ 1 ; 5∞ .1 0
6 0: 5 % 1
Wartość funkcji niezawodności 4 określa prawdopodobieństwo, że czas awarii będzie większy niż . Czyli, że
obiekt się nie popsuje do chwili .
•
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi po chwili , 1 % 5 3. Gęstość rozkładu zmiennej losowej T, 8 )%
2 3 3 )
1
1
)%
: 9) :
) ;%<1
/ 10 1
)
9 1
/
Wartość funkcji gęstości 8 określa rozłożenie masy prawdopodobieństwa na wszystkich możliwych chwilach
awarii. Czyli, prawdopodobieństwo, że obiekt się popsuje w chwili .
•
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi w przedziale = , ? @
= , , ? %? %= : 9)
A
4. Funkcja intensywności uszkodzeń, 9 3 3 3
5
funkcja stała, czyli obiekt się nie starzeje, a rozkład
ahistoryczny
Michał Kapałka
[email protected]
5. Funkcja wiodąca, B Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne 3
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Λ : 3D)D : 3)D 3 :D)D 3;D</ 3
/
•
/
/
funkcja ma sens resursu czasu życia wykorzystanego
przez obiekt,
np.: Λ10E 10F . 10E 0,001 - dla 100000
godzin wykorzystana została dopiero tysięczna część
resursu do awarii.
Zadanie 4: Wyznaczyć wykorzystanie resursu Ŝycia obiektu do chwili E
ΛE Wyznaczyć kiedy obiekt wykorzysta połowę resursu Ŝycia
1
Λ G I
2
6. Warunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu, 4 J
5 K •
5 K L L
L
5
Widać, że obiekt jest „bez pamięci”, ponieważ chwila t
nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa.
Zadanie 5: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe obiekt nie popsuje się w przedziale czasu M , M K jeŜeli do
chwili M był sprawny
5N K L
7. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu, # , J
L
, K 1 : 9D)D 1 ;5 5 K< 1 O L P 1 1 L •
;5 5 K< ;% K %<
Zadanie 6: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe obiekt nie popsuje się w przedziale czasu Q , Q K
Q , Q K 1 R 1 L Miary liczbowe niezawodności
8. Wartość oczekiwana czasu do awarii, S$ T
1
1
U V : 9) : 3
/
/
9. Wariancja czasu do awarii, Y$
1
1
1
) : 5) : /
/
Z : ; U< 9) /
1 1 1
) W X 3
3
/
1
3
Michał Kapałka
[email protected]
10.
Odchylenie standardowe czasu do awarii, [$
1
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
\ ]Z ^: ; U< 9) 11.
Kwantyl rzędu p,
_
/
1
3
%` a
%` 1 b a
b 1 a /*d
3` ln1 a
•
` 1
ln1 a
3
Zadanie 7: Wyznaczyć czas do którego obiekt popsuje się z prawdopodobieństwem a
` 1
ln1 a 3
Michał Kapałka
[email protected]