METODY NUMERYCZNE

APROKSYMACJA
Definicja aproksymacji
Definicja aproksymacji
3
Definicja aproksymacji
Należy dobrać taką
funkcję
F(x,p1,...,pk), x[a, b],
Dana
jest
funkcja
jednej zmiennej:
y = f(x), x[a, b]
aby w sensie
przyjętego kryterium,
funkcja F(x,p1,...,pk)
możliwie dokładnie
odtwarzała przebieg
funkcji f(x).
p1,...,pk – parametry
wzoru empirycznego
4
Definicja aproksymacji
Funkcja f(x) może być zadana w postaci:
- zbioru punktów (aproksymacja punktowa):
f(x1) = y1, f(x2) = y2, ..., f(xn) = yn
- wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) – rzadziej
spotykany przypadek
5
Definicja aproksymacji
Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej
konstruuje się w taki sposób, aby zminimalizować różnice
między wartościami danej funkcji f(x) a wartościami funkcji
F(x, p1, ..., pk) w punktach (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.
Odchyłka:
i  F ( xi , p1 ,..., pk )  yi
6
Definicja aproksymacji

Ogólna postać funkcji F(x,p1,...,pk) jest założona z góry,
natomiast optymalizacja dotyczy nieznanych parametrów
p1,...,pk
7
Definicja aproksymacji
Typowe metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej
Dobór parametrów p1,...,pk wzoru empirycznego, w taki
sposób aby spełnione było założone kryterium dotyczące
minimalizacji odchyłek
8
Definicja aproksymacji
Kryteria:
- metoda wybranych punktów
- metoda średnich
- metoda sumowania bezwzględnych wartości
- metoda najmniejszych kwadratów
9
Metoda najmniejszych
kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów
Dobór współczynników funkcji F :
n
2

 i  min
i1
Kryterium najmniejszych kwadratów:
n
  F ( x , p ,..., p )  y 
i 1
2
i
1
k
i
 min
n – ilość punktów
11
Metoda najmniejszych kwadratów
Zalety:
-
-
kryterium jest „mocne” – zawiera kwadraty odchyłek, czyli
liczby nieujemne
prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem że
rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów
uogólnionych, czyli:
F ( x, p1 ,..., pk )  p11 ( x)  p22 ( x)  ...  pk k ( x)
12
Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Dany jest zbiór punktów:
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ... ( xn , yn )
Funkcja aproksymująca:
ŷ  p1  p2 x
Kryterium najmniejszych kwadratów:
n
S ( p1 , p2 )    p1  p2 xi  yi   min
2
i 1
14
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Warunek konieczny istnienia ekstremum
zmiennych:
funkcji
dwóch
S ( p1 , p2 )
0
p1
S ( p1 , p2 )
0
p2
15
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
czyli:
n
S ( p1 , p2 )
 2  p1  p2 xi  yi  1  0
p1
i 1
n
S ( p1 , p2 )
 2  p1  p2 xi  yi   xi  0
p2
i 1
16
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
n
 p  p x  y   0
1
i 1
2 i
i
n
2

p
x

p
x
  1 i 2 i  yi xi   0
i 1
Układ ten zapisujemy w formie:
n
n
i 1
i 1
p1n  p2  xi   yi
n
n
n
p1  xi  p2  x   yi xi
i 1
i 1
2
i
i 1
17
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
lub:

 n

 n
  xi
 i 1

 n

xi 
yi 



 p1 
i 1
     i 1 
n
n
p



2  2
x
y
x

i 
 i i 
i 1

 i 1

n
XP  Y
Liczymy:
P  X1  Y
18
Aproksymacja funkcji jednej
zmiennej – inna funkcja
aproksymująca
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca
Dany jest zbiór punktów:
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ... ( xn , yn )
Funkcja aproksymująca:
ŷ  p1  p2 x  p3
1
x
Kryterium najmniejszych kwadratów:
2


1
S ( p1 , p2 , p3 )    p1  p2 xi  p3  yi   min
xi
i 1 

n
20
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca
czyli:
n


S ( p1 , p2 , p3 )
1
 2  p1  p2 xi  p3  yi  1  0
p1
xi
i 1 

n


S ( p1 , p2 , p3 )
1
 2  p1  p2 xi  p3  yi   xi  0
p2
xi
i 1 

n

 1
S ( p1 , p2 , p3 )
1
 2  p1  p2 xi  p3  yi    0
p3
xi
i 1 
 xi
21
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

 n

 n
  xi
 i 1
 n 1
 x
 i 1 i
n
x
i 1
n
i
2
x
i
i 1
n
1
 n

yi 




i 1 xi
  p1   i 1

   n

n  p2    xi yi 
 
  p3   i 1

n
 n 1 
1
yi 



2
i 1 xi 
 i 1 xi 
n
XP  Y
P  X1  Y
22