Zadanie 1. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych: i 0 1 2

Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja
1
Zadanie 1. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:
i
x
y
0
−π/6
1
1
0
-8
2
π/6
-3
3
π/2
1
Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij: Θ0 = 1, Θ1 = sin(x). Znajdź wartość w punkcie
x0 = π/4.
Odpowiedź:
Funkcja aproksymująca:
ϕ (x) = a0 + a1 sin(x) .
Błąd:
ǫ=
3
X
i=0
[ϕ(xi ) − fi ]2 =
1
1
=(a0 − a1 − 1)2 + (a0 + 8)2 + (a0 + a1 + 3)2 + (a0 + a1 − 1)2
2
2
Z warunków
∂ǫ
= 0, j = 0, 1 dostajemy
∂aj
8 2 a0
−18
=
.
2 3 a1
2
Po rozwiązaniu powyższego układu a0 = − 52 , a1 = 1.
Funkcja aproksymująca ϕ (x) = − 25 + sin(x),
√
ϕ (π/4) = 12 (−2 + 2) ≈ −1.79289
Odpowiedź: ϕ (x) = − 52 + sin(x),
√
ϕ (π/4) = 21 (−2 + 2) ≈ −1.79289
Zadanie 2. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:
x
y
−π/6
1
0
-2
π/6
-3
π/2
1
a) Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych
kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij :Φ0 = 1, Φ1 = sin x. Podaj wartość w punkcie
x0 = π/4.
b) Oblicz błąd względny rozwiązania wiedząc, że wynik ścisły wynosi f (x0 = π/4) = −11/4.
Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja
2
Zadanie 3. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych. Wyznacz równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów.
Przyjmij funkcje bazowe:
Φ1 (x) =
3x
π
Φ2 (x) = cos(x)
Oblicz wartość funkcji aproksymującej w punkcie x0 = π/4.
i
x
y
0
−π/2
-3
1
−π/3
-10
2
π/3
20
3
π/2
3
Odpowiedź:
Funkcja aproksymująca:
ϕ(x) = A1 Φ(x) + A2 Φ(x)
Korzystając z definicji błędu aproksymacji
ε=
n
X
i=0
(ϕ(xi ) − yi )2
i warunków najlepszej aproksymacji
∂ε
=0
∂A1
∂ε
=0
∂A2
dostajemy układ równań na współczynniki A1 i A2 postaci
D T DA = DT y
gdzie:

Φ1 (x0 )
Φ1 (x1 )
D=
Φ1 (x2 )
Φ1 (x3 )

Φ2 (x0 )
Φ2 (x1 )

Φ2 (x2 )
Φ2 (x3 )
A=
A1
A2
 
y0
y1 

y=
y2  .
y3
Po wymnożeniu i rozwiązaniu poniższego układu
13
39
0 A1
2
=
5
0 12 A2
otrzymujemy A1 =6 i A2 =10. Wartość funkcji aproksymującej w punkcie
√
π
π
π
ϕ( ) = 6Φ1 ( ) + 10Φ2 ( ) = 4.5 + 5 2
4
4
4
π
4
Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja
3
Zadanie 4. Na podstawie stabelaryzowanych danych wyznacz współczynniki funkcji dla
optymalnej aproksymacji liniowej. Oblicz wartość tej funkcji dla x0 = 0.5.
i
x
y
0
-1
-3
1
0
-10
2
1
1
3
2
3
Zadanie 5. Oblicz metodą najmniejszych kwadratów wielomiany aproksymacyjne stopnia
1, 2, 3 i 4 dla danych:
i
xi
yi
0
0.00
1.000
1
0.15
1.004
2
0.31
1.031
3
0.50
1.117
4
0.60
1.223
5
0.70
1.422
Który wielomian daje najlepszą aproksymację?
Zadanie 6.
i
xi
yi
0
-3
-5
1
-1
-8
2
0
4
3
2
4
4
4
3
5
5.5
7
6
6
-2
7
9
5
Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych. Wyznacz współczynnik A, jeśli funkcja
aproksymująca określona jest wzorem: ϕ (x) = A Φ(x), a funkcja bazowa Φ(x) = 1. Jaka to
aproksymacja?
Zadanie 7.
A. Oblicz metodą najmniejszych kwadratów wielomian aproksymacyjny stopnia 1-ego dla
f (x) ∈ [a, b]:
a) f (x) = x2 − 2x + 3,
3
b) f (x) = x − 1,
[0, 2]
c) f (x) = 1/x,
[1, 3]
d) f (x) = e
[0, 1]
−x
,
e) f (x) = cos πx,
f) f (x) = ln x,
[0, 1]
[0, 1]
[1, 2]
Przyjmij pięć równoodległych punktów węzłowych.
B. Powtórz zadanie dla wielomianu aproksymacyjnego stopnia 2-go dla funkcji z podpunktów
a), b), d) i e).