pobierz - pzme.zarz.agh.edu.pl

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI
STATYSTYKI
LABORATORIUM KOMPUTEROWE
DLA II ROKU KIERUNKU
ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA
PRODUKCJI
ZESTAWY ZADAŃ
Opracowała: Milena Suliga
Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści zadań, dostępne są na stronie internetowej Samodzielnej
Pracowni Zastosowań Matematyki w Ekonomii:
http://www.pzme.zarz.agh.edu.pl/index.php?p=pracownik/materialy-dydaktyczne/12
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI – LABORATORIUM 1
Zadanie 1
Arkusz loty zawiera dane dotyczące liczby pasażerów korzystających z rejsów Delta Air Lines między San
Francisco a Seattle w ciągu 33 dni kwietnia i maja.
Znajdź dominantę, medianę, dolny, środkowy i górny kwartyl dla tego zbioru danych . Oblicz średnią
i odchylenie standardowe.
Zadanie 2
Plik termin1 zawiera dane dotyczące wyników z 1 terminu egzaminu ze statystyki opisowej na 1 roku
zarządzania w 2012 roku.
Zbuduj szereg rozdzielczy dla tych danych, a następnie wyznacz i zinterpretuj następujące miary statystyczne:
a) średnią arytmetyczną ocen
b) medianę
c) dolny i górny kwartyl
d) dominantę
e) wariancję i odchylenie standardowe z próby,
f) współczynnik asymetrii i współczynniki skośności.
Zadanie 3
Zapytano grupę 120 losowo wybranych studentów o ilość godzin spędzanych dziennie przed komputerem.
Rozkład, który otrzymano zawiera arkusz komputer.
1.
2.
a)
b)
c)
d)
Narysuj histogram liczebności.
Wyznacz i zinterpretuj następujące miary statystyczne:
średnią i odchylenie standardowe z próby,
dominantę
medianę,
współczynnik asymetrii i kurtozę.
Zadanie 4
Czasopismo „Fortune” z 12 października 1987r. podaje listę najbogatszych ludzi na świecie i wartość ich
majątku. Według szacunku czasopisma wartości te (w miliardach $) przedstawione są w arkuszu Fortune.
a) Zbuduj dla tych danych odpowiedni przedziałowy szereg rozdzielczy.
b) Znajdź medianę i dominantę najpierw korzystając z niepogrupowanych danych, a następnie przy
wykorzystaniu szeregu rozdzielczego. Czy różnice są duże? Z czego wynikają?
c) Korzystając z szeregu rozdzielczego oblicz średnią, wariancję, odchylenie standardowe.
d) Narysuj histogram liczebności i histogram częstości.
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI – LABORATORIUM 2
Zad.1.
Rzucamy dwukrotnie kostką 20-ścienną (na kolejnych ściankach umieszczone są liczby od 1 do 20). Suma
wyrzuconych oczek jest zmienną losową X. Znajdź jej rozkład. Przestaw do na wykresie. Oblicz
prawdopodobieństwo P(X<20) , P(X>33) oraz EX.
Zad.2.
W losowaniu DUŻEGO LOTKA losujemy 6 liczb spośród 49. Załóżmy, że trafiając 3 liczby wygrywamy 10zł,
trafiając 4 liczby – 250zł, 5 liczb – 10000zł i trafiając szóstkę – 1mln zł. Niech zmienna losowa X oznacza
wysokość wygranej. Znajdź rozkład tej zmiennej losowej. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania głównej
nagrody oraz prawdopodobieństwo P(X=0). Jaka jest wartość oczekiwana tej zmiennej?
Zad.3.
Niech zmienna losowa X oznacza liczbę orłów uzyskanych w 200 rzutach monetą. Oblicz P(X<80).
Zad.4.
Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego:
gdzie n=50, p=0,1.
Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Przedstaw go na wykresie. Sprawdź jak zmieni się
rozkład jeśli:
a) Zwiększymy prawdopodobieństwo sukcesu p do 0,5 a następnie do 0,9
b) Zwiększymy liczbę prób n do 100
Zad.5.
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona:
. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa przy
Przestaw go na wykresie. Sprawdź jak zmieni się rozkład jeśli parametr
a) Zwiększymy do 100
b) Zmniejszymy do 5.
Zad.6.
Prawdopodobieństwo zepsucia maszyny w ciągu dnia wynosi p, ilość maszyn w fabryce jest równa n, wyznacz
rozkład prawdopodobieństwa ilości zepsutych maszyn w danym dniu;
a) p=0,2; n=15.
b) p=0,03; n=100.
c) Porównaj wyniki z rozkładem Poissona λ=3.
Zad.7.
Narysuj wykres funkcji gęstości zmiennej losowej z rozkładu normalnego
jak zmieni się wykres jeśli przyjmiemy:
a) m=5
b)
przy m=0,
Sprawdź
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI – LABORATORIUM 3
Zad. 1
Dla jakiej wartości parametru poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu zmiennej losowej X? Podaj wzór
na gęstość oraz na dystrybuantę tę zmiennej. Oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zad. 2
Dla jakiej wartości parametru poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu zmiennej losowej X?
Podaj wzór na gęstość oraz na dystrybuantę tę zmiennej. Oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zad.3.
Niech X będzie zmienną z rozkładu normalnego N(0,1). Oblicz:
a) P(-1<X<1)
b) P(-1,96<X<1,96)
c) P(-2,33<X<2,33)
d) P(X<2,58)
e) P(-3<X<3)
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI – LABORATORIUM 4
Zad.1.
Niech X1, …, X50 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N(4,8). Wygeneruj po
100 realizacji każdej z tych zmiennych, a następnie na tej podstawie porównaj rozkłady
zmiennych
a)
b)
c)
Gdzie
oznacza średnią z X1, …, Xi.
Zad.2.
Za pomocą generatora liczb pseudolosowych wygeneruj 100 realizacji zmiennej X z rozkładu
chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja takiej
zmiennej?
Zad.3.
Za pomocą generatora liczb pseudolosowych wygeneruj 100 realizacji zmiennej X z rozkładu
t-studenta o 5 stopniach swobody. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja takiej zmiennej?
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI – LABORATORIUM 5
Zad.1.
Niech
będzie próbą z populacji o rozkładzie jednostajnym na odcinku
Niech
,a
Wykazać, że oba estymatory są nieobciążone.
.
będą estymatorami parametru .
Zad.2.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że EX=1, EY=3,
VarX=VarY=σ2. Dla jakiej stałej c statystyka cX2+(1-c)Y2 jest nieobciążonym estymatorem
parametru σ2?
Zad.3.
Niech X1, … Xn będzie próbą prostą pochodzącą z rozkładu Poissona z nieznanym
parametrem λ. Do szacowania λ użyto dwóch estymatorów:
Który z nich jest estymatorem nieobciążonym parametru λ?
Zad.4.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami p i n; 0<p<1,
Sprawdzić, czy statystyka X/n jest nieobciążonym estymatorem parametru p. Dla
jakiej wartości c statystyka T=c(X/n)(1-X/n) jest estymatorem nieobciążonym parametru
θ=p(1-p)?
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI – LABORATORIUM 6
Zad.1.
Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru λ w rozkładzie Poissona na
podstawie 100-elementowej próby prostej pochodzącej z tego rozkładu, zawartej w arkuszu
Poisson.
Zad.2.
Wyznaczyć metodą największej wiarogodności estymator parametru p w rozkładzie
geometrycznym P(X=k)=p(1-p)^(k-1), k=1,2,…
Zad.3.
Próba prosta X1, …., Xn pochodzi z rozkładu o gęstości
,
Gdzie θ>0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyć estymator największej wiarogodności
parametru θ.
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI – LABORATORIUM 7
Zad.1
Arkusz zad.1. zawiera 100-elementową próbę z rozkładu normalnego o znanym odchyleniu
standardowym σ=1 i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby znajdź 95procentowy przedział ufności dla wartości oczekiwanej.
Zad.2.
Arkusz zad.2. zawiera 61-elementową próbę z rozkładu normalnego o nieznanym odchyleniu
standardowym σ i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby znajdź 95procentowy przedział ufności dla wartości oczekiwanej.
Zad.3.
Arkusz zad.3. zawiera 100-elementową próbę z rozkładu normalnego o znanym odchyleniu
standardowym σ=1 i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby przeprowadź
parametryczne testy istotności, na poziomie istotności α=0,05, dla wartości średniej, przy
hipotezach:
a) H0: µ=7
H1: µ≠7
b) H0: µ=5
H1: µ>5
c) H0: µ=9
H1: µ<9