Arkusz 15

ARKUSZ 15
MATURA 2010
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 10 stron.
W zadaniach od 1. do 25. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
Rozwiàzania zadaƒ od 26. do 33. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
3
Matematyka. Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
2
Liczba a = b 4 + 7 - 4 - 7 l jest równa:
A. 2
B. 5
C. 8
D. 14
C. 48
D. 49
Zadanie 2. (1 pkt)
Do przedzia∏u c 23 , 24 m nale˝y liczba:
25 25
A. 46
50
B. 47
50
50
50
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba a = log 3 6 - log 3 15 + log 3 5 jest równa:
A. log 3 6
20
B. log 3 30
C. log 3 6
15
75
D. log 3 11
15
Zadanie 4. (1 pkt)
Odleg∏oÊç liczby x od liczby _ - 7 i na osi liczbowej jest równa:
B. x + 7
C. 7x
A. x - 7
D. x + 7
Zadanie 5. (1 pkt)
Cen´ kurtki zimowej obni˝ono wiosnà najpierw o 20%, a potem jeszcze o 15%. Po tych dwóch
obni˝kach kurtka kosztowa∏a 408 z∏. Wynika z tego, ˝e pierwotna cena kurtki to:
A. 530, 4
B. 550, 8
C. 600
D. 627,7
Zadanie 6. (1 pkt)
JeÊli x ! R[ # - 2, 2 -, to wyra˝enie W =
A. 3x2 - 6
x -4
B. 3x2 + 6
x -4
3 jest równowa˝ne wyra˝eniu:
x-2
C. 3x + 62
(x - 2)
D. 3x2 - 6
x +4
Zadanie 7. (1 pkt)
x+y
JeÊli x = 2 + 1, y = 2 - 2, to liczba x - y jest równa:
A.
6 2+3
7
B.
6 2-3
7
C.
6 2+3
8
D. - 3
Zadanie 8. (1 pkt)
Liczba rozwiàzaƒ równania a x + 25k _ x + 1i = 0 to:
2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 9. (1 pkt)
Jacek ma 16 lat, a jego tata ma o 32 lata wi´cej. Wynika stàd, ˝e tata ma od syna:
B. o 50% wi´cej lat
C. 3 razy wi´cej lat
D. o 100% wi´cej lat
A. 2 razy wi´cej lat
Zadanie 10. (1 pkt)
Dziedzinà funkcji f (x) = x + 3 x - 7 jest zbiór:
A. _ - 3, 7 i
B. _ - 3, - 3i , _ 7, + 3 i
C. _ - 3, + 3 i
D. 7, + 3 i
4
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 11. (1 pkt)
Liczba miejsc zerowych funkcji f (x) =
A. 0
_ x - 2i_ x - 1i_ x + 1i
2
x -4
C. 2
B. 1
jest równa:
D. 3
Zadanie 12. (1 pkt)
2
Funkcja f (x) = x - 4x + 1 jest rosnàca w przedziale:
A. _ - 3, 2i
B. _ - 3, - 3i
C. _ - 3, + 3 i
D. _ 2, + 3 i
Zadanie 13. (1 pkt)
Dane sà dwie funkcje liniowe okreÊlone wzorami f (x) = 3x + 5, g (x) = ax - 1, a ! 0. Funkcje te majà
wspólne miejsce zerowe. Wynika stàd, ˝e:
A. a = 5
B. a =- 5
C. a = 3
D. a =- 3
3
3
5
5
Zadanie 14. (1 pkt)
Wykres funkcji f (x) = 2 powstaje przez przesuni´cie wykresu funkcji y = 2
x o 5 jednostek:
x+5
A. w lewo
B. w prawo
C. w gór´
D. w dó∏
Zadanie 15. (1 pkt)
x
WartoÊcià funkcji f (x) = 2 jest liczba:
A. - 8
B. - 4
C. 0
D. 3
Zadanie 16. (1 pkt)
Do dziedziny funkcji f (x) = log a x - 9 k nie nale˝y liczba:
2
A. - 5
B. - 10
C. 5
D. 6
Zadanie 17. (1 pkt)
Dany jest ciàg _ a n i o wyrazie ogólnym a n = _ - 2i $ n. Ró˝nica wyrazu czwartego i piàtego tego ciàgu
jest równa:
B. 224
C. - 96
D. - 224
A. 96
n
Zadanie 18. (1 pkt)
JeÊli trzeci wyraz ciàgu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciàgu jest równy _ - 2i,
to drugi wyraz jest równy:
A. - 2
B. 2
C. - 8
D. 8
Zadanie 19. (1 pkt)
Ciàg arytmetyczny tworzà liczby:
A. 2, 4, 8
B. 1 , 1 , 1
2 3 4
C. 2, 5, 8
D. - 5, - 3, - 1
C. 45c < a < 60c
D. a > 60c
Zadanie 20. (1 pkt)
JeÊli a jest kàtem ostrym i sin a = 1 , to:
6
B. 30c < a < 45c
A. a < 30c
Zadanie 21. (1 pkt)
JeÊli a jest kàtem ostrym i sin a cos a = 1 , to suma sin a + cos a jest równa:
7
A. 9
7
B. 8
7
C.
3 7
7
D.
2 14
7
5
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 22. (1 pkt)
Dany jest czworokàt ABCD wpisany w okràg o Êrodku O. Wówczas, jeÊli EABC = 142c, to miara kàta
AOC jest równa:
A. 38c
B. 66c
C. 76c
D. 114c
Zadanie 23. (1 pkt)
Do trójkàta o bokach d∏ugoÊci 6, 9, 12 jest podobny trójkàt o bokach:
A. 9, 12, 15
B. 6, 9, 12
C. 6, 8, 4
D. 1 , 1 , 1
C. 6
D. 7
6 9 12
Zadanie 24. (1 pkt)
Medianà danych 2, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7 jest liczba:
A. 4
B. 5
Zadanie 25. (1 pkt)
Z talii 52 kart losujemy jednà. Prawdopodobieƒstwo tego, ˝e wylosujemy kart´ trefl lub asa lub dam´,
jest równe:
A. 17
52
B. 16
52
C. 19
52
D. 3
52
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 26. do 33. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Pierwszy wyraz ciàgu arytmetycznego jest równy _ - 5i, a suma dwudziestu poczàtkowych wyrazów
tego ciàgu jest równa 1230. Wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu.
6
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 27. (2 pkt)
Podstawà trójkàta równoramiennego ABC jest Êrednica AB okr´gu, którego Êrodkiem jest punkt O.
Punkty D, E sà punktami przeci´cia ramion AC, BC trójkàta z okr´giem. Miara kàta DOE jest równa
140c. Wyka˝, ˝e miara kàta ACB jest równa 20c.
Zadanie 28. (2 pkt)
2
Rozwià˝ nierównoÊç - 20x - x + 1 > 0.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Zadanie 29. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e reszta z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3 jest równa 2.
Zadanie 30. (2 pkt)
Dwa okr´gi sà styczne zewn´trznie, a odleg∏oÊç ich Êrodków jest równa 19. Gdyby te okr´gi by∏y
styczne wewn´trznie, to ta odleg∏oÊç wynosi∏aby 5. Wyznacz d∏ugoÊci promieni tych okr´gów.
8
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 31. (4 pkt)
3
2
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) = x - 4x - mx + 36. Wyznacz parametr m i pozosta∏e
pierwiastki tego wielomianu.
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
9
Okràg przechodzi przez punkty A = _0, 3i, B = _ 4, 5i, a jego Êrodek nale˝y do prostej o równaniu y = x - 2.
Wyznacz równanie tego okr´gu.
10
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 33. (6 pkt)
Podstawà ostros∏upa jest trójkàt równoboczny ABC , a wierzcho∏kiem punkt S. Spodek wysokoÊci S '
jest Êrodkiem kraw´dzi AC . Najd∏u˝sza kraw´dê boczna SB ma d∏ugoÊç 10 2 i tworzy z p∏aszczyznà
podstawy kàt 45c.
a) Oblicz obj´toÊç ostros∏upa.
b) Oblicz kàt nachylenia kraw´dzi SA do p∏aszczyzny podstawy ostros∏upa.