Matematyka - Nowodworek

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI
W opisie uwzględniono klasyfikację umiejętności na odpowiednie poziomy wymagań :
Konieczne ( K ) – ocena dopuszczająca,
Podstawowe ( P ) – ocena dostateczna,
Rozszerzone ( R ) – ocena dobra,
Dopełniające ( D ) – ocena bardzo dobra
Wykraczające ( W ) – ocena celująca
Klasyfikacja podwójna, np. K/P, oznacza, że prostsze zadania dotyczące danego zagadnienia należy traktować
jako wymagane na poziomie K, a trudniejsze – P.
Od uczniów realizujących program rozszerzony wymagana jest na poziomie D znajomość przynajmniej
niektórych dowodów twierdzeń z zakresu treści kanonu.
Za wymagania na poziomie W należy uznać spełnienie wszystkich wymagań z poziomów niższych oraz
umiejętność rozwiązywania zadań znacznie wykraczających poza wymagania na poziomie D stopniem trudności
lub tematyką.
Pogrubioną czcionką oznaczono wymagania dotyczące rozszerzenia.
WYMAGANIA
POZIOM KSZTAŁCENIA
PODSTAWOWY
ROZSZERZONY
0. LOGIKA I ZBIORY
Uczeń:
-
rozpoznaje zdania w sensie logiki i odróżnia je od form
zdaniowych
R
K
-
ocenia prawdziwość zdania zbudowanego za pomocą
jednego spójnika („i”, „lub”, „nie”)
R
K
-
buduje zdania w formie implikacji i równoważności oraz
ze zwrotem „dla każdego” i „istnieje”
R
K
-
buduje zdania złożone za pomocą spójników
R
K/P
R
K
D
P
odróżnia w praktyce zdanie typu
q⇒ p
-
p ⇒ q od zdania typu
rozumie, że zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa
zaprzeczeń zaś zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja
zaprzeczeń oraz że zaprzeczeniem dużego kwantyfikatora
jest mały i na odwrót oraz potrafi wykorzystać to w
praktyce
-
zna nazwy: koniunkcja, alternatywa, symbole spójników,
implikacji , równoważności oraz kwantyfikatorów
R
K
-
zapisuje prawa de Morgana dla zdań logicznych za
pomocą symboli
D
K
-
ocenia wartość logiczną zdań z kwantyfikatorem
R/D
P/R
-
zna pojęcie prawa logicznego
K
P/R
sprawdza, czy dane zdanie logiczne jest tautologią
buduje zaprzeczenie zdania z kwantyfikatorem i
potrafi je zapisać z użyciem symboli
zna pojęcia: zbiór, suma, część wspólna, różnica zbiorów
K
P/R/D
K
-
zapisuje przedziały i zaznacza je na osi liczbowej
K
K
znajduje sumę, iloczyn i różnicę danych przedziałów
i zaznacza je na osi liczbowej
K
K
-
zaznacza na osi liczbowej zbiory określone koniunkcją lub
alternatywą nierówności
P
K/P
-
wykonuje działania na różnych zbiorach liczbowych
R/D
P/R
zna i stosuje zasadę indukcji matematycznej:
• w najprostszych przypadkach, np. przy
dowodzeniu wzorów na sumę szeregów
• np. do dowodzenia twierdzeń o podzielności
liczb
• w trudniejszych przykładach np. przy
dowodzeniu nierówności
W
W
W
1. LICZBY RZECZYWISTE
Uczeń:
-
podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
wymiernych, niewymiernych; pierwszych i złożonych,
potrafi zakwalifikować liczbę do odpowiedniego zbioru
liczbowego
-
stosuje twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na
czynniki pierwsze
-
wyznacza największy wspólny dzielnik i najmniejszą
wspólną wielokrotność
K
K
-
zamienia skończone rozwinięcie dziesiętne na ułamek
zwykły i na odwrót
K
K
-
rozumie pojęcie rozwinięcia okresowego, znajduje
rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych, zamienia
ułamek okresowy na zwykły
P
K
-
wie, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych są
liczbami wymiernymi
P
K
-
umie pokazać na przykładach, że suma, różnica , iloczyn
i iloraz liczb niewymiernych może być zarówno liczbą
wymierną, jak i niewymierną
P
P
-
wykonuje działania na liczbach wymiernych: cztery
działania arytmetyczne, działania na potęgach o
wykładniku całkowitym i postaci m/n; także z użyciem
kalkulatora; oblicza pierwiastki nieparzystego stopnia z
liczb ujemnych
K/P
K/P
-
znajduje wartość bezwzględną liczby
K
K
K
K
P
K
zna interpretację geometryczną wartości bezwzględnej i
potrafi ją zastosować do rozwiązywania równań i
nierówności postaci:
x = b, x ≤ b, x ≥ b (b > 0) ,
x − a = b, x − a ≤ b, x − a ≥ b (b > 0)
-
potrafi zapisać wyrażenia postaci:
x ∈ (a, b),
x ∈(−∞, a) ∪ (b,+∞) przy pomocy nierówności z
K
K
K
K
wartością bezwzględną
-
zna własności wartości bezwzględnej
stosuje własności wartości bezwzględnej w zadaniach
P
R/D
K/P
-
zna pojęcie silni i symbolu Newtona i potrafi je
stosować w prostych zadaniach
-
zna rozwinięcie dwumianu Newtona i jego związek
z trójkątem Pascala
W
-
rozwiązuje zadania z zastosowaniem dwumianu
Newtona
W
-
upraszcza pierwiastki i znajduje ich przybliżone wartości
za pomocą kalkulatora
-
upraszcza wyrażenia zawierające potęgi o wykładniku
wymiernym i pierwiastki
-
usuwa niewymierności z mianownika
-
K
K
P/R
K/P
P/R
K/P/R
oblicza procent danej liczby
P
K
K
K
zwiększa i zmniejsza liczbę o dany procent, porównuje
liczby używając procentów
P
P
rozwiązuje zadania z procentami dotyczące m.in. płac, cen,
podatków, lokat i kredytów, także z użyciem równań i
układów równań liniowych
R/D
P/R
-
zaokrągla liczby z podaną dokładnością
K/P
K/P
P
P
-
D
P
zna definicję logarytmu i potrafi ją zastosować w
zadaniach
K
K
-
stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu,
ilorazu i potęgi o wykładniku naturalnym
P
K
-
stosuje wzór na logarytm potęgi
K
stosuje wzór na zmianę podstaw logarytmu
K
upraszcza wyrażenia algebraiczne zawierające
logarytmy
P
zapisuje i odczytuje liczby w notacji wykładniczej
szacuje wyniki działań
wykorzystuje umiejętność szacowania w bardziej
złożonych sytuacjach, oblicza błąd względny
2.
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Uczeń:
-
oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego
K
K
przekształca sumy i różnice wielomianów
K
K
zna i stosuje wzory skróconego mnożenia
K/P
K/P
posługuje się wzorem
(a − 1)(1 + a + ... + a
n −1
)= a
n
P
−1
rozpoznaje wielomiany, dodaje je, odejmuje i mnoży
K
dzieli wielomian przez dwumian
K
dzieli wielomiany
P
stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu
przez dwumian x − a
(
P
)
-
rozkłada wielomian na czynniki metodą grupowania
wyrazów, stosując wzory skróconego mnożenia oraz
wyłączając wspólny czynnik przed nawias
-
dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne
• o jednakowych mianownikach
K
K/P
K/P
K
K
•
o różnych mianownikach
-
wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego
-
sporządza wykres, odczytuje własności i rozwiązuje
zadania umieszczone w kontekście praktycznym związane
z proporcjonalnością odwrotną
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne
oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej
wartości zmiennej
3.
P/R
K/P/R
K/P/R/D
P/R
K/P/R
K/P/R
K
K
K/P
K
K/P/R
K/P/R
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Uczeń:
-
rozwiązuje równania i nierówności liniowe oraz układy
równań liniowych i zadania z treścią prowadzące do takich
równań, nierówności i układów
-
rozwiązuje równania i nierówności liniowe z wartością
bezwzględną
-
rozwiązuje równania kwadratowe
-
rozwiązuje układy równań prowadzące do równań
kwadratowych
-
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z
wartością bezwzględną
-
sprawdza w prostych przypadkach zależność liczby
rozwiązań równania kwadratowego z parametrem
od wartości parametru
-
rozwiązuje równania kwadratowe z parametrem
-
rozwiązuje zadania z parametrem z zastosowaniem
wzorów Viete’a
-
zna dowód wzorów Viete’a
znajduje pierwiastki wielomianu zapisanego w postaci
iloczynu czynników liniowych i kwadratowych
K
K
-
rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na
czynniki
P
P
-
zna pojęcie pierwiastka k-krotnego wielomianu
K
potrafi zastosować twierdzenie o pierwiastku
wymiernym wielomianu o współczynnikach
całkowitych do znajdowania pierwiastków wielomianu
P
-
stosuje twierdzenie Bezouta do znajdowania
pierwiastków wielomianu
-
rozwiązuje nierówności wielomianowe:
-
P/R/D
K
K
rozwiązuje zadania prowadzące do równań kwadratowych
P/R
K/P/R
rozwiązuje nierówności kwadratowe
K
R/D
K
P/R/D
R
P
rozwiązuje zadania prowadzące do nierówności
kwadratowych
P/R/D
K
P
R/D
rozwiązuje nierówności kwadratowe z parametrem
oblicza sumę i iloczyn pierwiastków równania
kwadratowego
K
P/R/D
R
P/R
•
typu (
ax 2 + bx + c)(dx + e) >0
K/P
•
•
stopnia 3 za pomocą rozkładu na czynniki
stopnia 4 i wyższego
P
P/R/D
rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe
z wartością bezwzględną
R/D
-
rozwiązuje równania z funkcją homograficzną i stosuje
je do rozwiązywania zadań
K/P
-
rozwiązuje nierówności z funkcją homograficzną i
stosuje je do rozwiązywania prostych zadań
-
rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do
równań liniowych lub kwadratowych
-
rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście
praktycznym) prowadzące do prostych równań
wymiernych
-
rozwiązuje równania wymierne (również z
parametrem)
-
rozwiązuje nierówności wymierne
rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze z
wartością bezwzględną i z parametrem
W
-
rozwiązuje równania i nierówności logarytmiczne
K/P/R
K/P/R
P/R
K/P
R
P
P/R
P/R/D
rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze
P/R
rozwiązuje równania i nierówności logarytmiczne z
wartością bezwzględną i z parametrem
W
4. FUNKCJE
Uwaga: Funkcje trygonometryczne oraz ciągi zostały ujęte w osobnych działach
Uczeń:
-
odczytuje z wykresu wartości funkcji, argumenty, dla
których funkcja przyjmuje daną wartość, miejsca zerowe,
przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie, ujemne
-
K
K
odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, wartość
najmniejszą i największą, przedziały monotoniczności
K/P
K
-
podaje przykłady funkcji
P
P/R
K/P
K/P
P/R
P/R
-
rozpoznaje funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe
na podstawie wykresów
W
-
uzupełnia wykres funkcji wiedząc, że jest ona parzysta,
nieparzysta, okresowa
W
-
rozpoznaje funkcje parzyste, nieparzyste,
różnowartościowe na podstawie wzoru
W
-
potrafi ograniczyć dziedzinę tak, aby funkcja była
różnowartościowa
W
-
dowodzi prostych własności (np. suma funkcji
parzystych jest parzysta), dowodzi
różnowartościowości funkcji na podstawie definicji,
rozwiązuje równania i nierówności korzystając z
własności funkcji
W
-
posługuje się różnymi sposobami opisu funkcji
znając własności zależności między wielkościami szkicuje
wykres funkcji opisującej daną zależność
rysuje wykres funkcji liniowej
K
rysuje wykres funkcji liniowej z wartością bezwzględną
wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia
dane warunki
K
P/R/D
P
K/P
-
rozwiązuje zadania dotyczące funkcji liniowej
i jej zastosowań
-
z wykresu funkcji f uzyskuje wykres funkcji:
• f(x) + b
• f(x - a)
• f(x – a) + b
-
z wykresu funkcji f uzyskuje wykres funkcji:
• af(x)
• f(ax)
• złożone z powyższych typów
•
-
P/R/D
K/P/R
K
K
K
K
K
K
P/R
R/D
P/R/D
f (x) dla dowolnego rodzaju funkcji f
rysuje wykres funkcji kwadratowej postaci:
*
*
*
y = ax 2 + q
y = a( x − p) 2 + q
y = ax 2 + bx + c
-
wyznacza wzór funkcji kwadratowej, jej miejsca zerowe
oraz jej wartość największą i najmniejszą w przedziale
domkniętym
-
rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście
praktycznym) prowadzące do badania funkcji
kwadratowej, w tym zadania z treścią prowadzące do
poszukiwania ekstremum funkcji kwadratowej
-
szkicuje wykres dowolnej funkcji wykładniczej
-
oblicza wartość wielkości zapisanej daną funkcją
wykładniczą
-
wykorzystuje własności funkcji wykładniczej do
rozwiązywania zadań opisywanych za pomocą takich
funkcji
-
szkicuje wykres dowolnej funkcji logarytmicznej i
odczytuje z niego jej własności
-
wyjaśnia w jaki sposób własności funkcji
K
K
P
K
P
K
P
P
R/D
P/R
K
K
P
P
K
K
P/R
P/R
x
wyjaśnia w jaki sposób własności funkcji y = a zależą
od liczby a; odczytuje własności funkcji wykładniczej z jej
wykresu
K/P
y = log a x
P
zależą od liczby a
-
wykorzystuje logarytmy w badaniu zjawisk
opisywanych za pomocą funkcji wykładniczej
-
rysuje wykres funkcji homograficznej postaci:
a
a
a
, y=
oraz y = + b
x−c
x
x
a
* y=
+b
x−c
ax + b
* y=
cx + d
*
y=
P/R
K
K
K
P
i odczytuje z niego własności funkcji i zjawisk
opisanych przez tę funkcję
-
zna pojęcie funkcji wymiernej
wyznacza dziedzinę takiej funkcji
K
K
K/P/R
K/P/R
5. CIĄGI LICZBOWE
Uczeń:
-
rozumie pojęcie ciągu, oblicza dany wyraz ciągu , także
zdefiniowanego rekurencyjnie
-
znajduje regułę, którą można opisać ciąg, którego kolejne
wyrazy zostały podane i w prostych przypadkach zapisuje
ją wzorem, także rekurencyjnym
-
zna i rozumie definicję ciągu liczbowego
-
zna definicję ciągu monotonicznego
-
rozumie pojęcie ciągu arytmetycznego, geometrycznego,
podaje i rozpoznaje przykłady
K
K
-
potrafi utworzyć kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
( geometrycznego), znając pierwszy wyraz i różnicę
(iloraz)
K
K
-
zna wzór ogólny ciągu arytmetycznego, geometrycznego
potrafi określić wzór ogólny takiego ciągu, mając dane
kolejne jego wyrazy
K/P
K
-
znajduje wzór ogólny ciągu arytmetycznego,
geometrycznego na podstawie podanych informacji
P/R/D
K/P/R
-
korzystając z własności ciągu arytmetycznego,
geometrycznego, bada zjawiska opisane przez taki ciąg
P/R/D
P/R/D
-
stosuje wzory na n-ty wyraz ciągu i sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego (także w
kontekście praktycznym)
P/R/D
P/R/D
-
oblicza odsetki lokat:
• rocznych według podanego oprocentowania
• w procencie składanym
• w różnych okresach kapitalizacji
K
P
R
K
P
P/R
-
porównuje oferty banków i instytucji finansowych
R
P/R
W
potrafi wykazać, że ciąg jest zbieżny, rozbieżny
stosując odpowiednią definicję
W
-
znajduje granicę ciągu korzystając z twierdzeń
o granicach ciągów
W
-
umie zbadać, czy dany szereg geometryczny jest
zbieżny i obliczyć jego sumę
W
-
wykorzystuje sumę szeregu geometrycznego w
rozwiązywaniu zadań
W
-
bada zależność zbieżności szeregu geometrycznego od
parametru
W
K
K
P/R
P/R
R
P
zapisuje wzór ogólny ciągu podanego w postaci
rekurencyjnej
R/D
K
P/R
potrafi zbadać monotoniczność ciągu
zna definicję ciągu ograniczonego
W
potrafi zastosować definicję do zbadania, czy ciąg jest
ograniczony
W
rozumie pojęcie właściwej i niewłaściwej granicy ciągu
6. TRYGONOMETRIA
FUNKCJE KĄTA OSTREGO
Uczeń :
-
zna definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
w trójkącie prostokątnym
K
K
-
zna wartości funkcji trygonometrycznych o miarach
K
K
K
K
30 0 ,45 0 ,60 0
-
znając długości boków trójkąta prostokątnego, potrafi
obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych jego kątów
-
wykonuje rachunki z zastosowaniem funkcji
trygonometrycznych, także z zastosowaniem kalkulatora
K/P
K/P
-
stosuje funkcje trygonometryczne kąta ostrego do:
• prostych zadań geometrycznych
• prostych sytuacji życia codziennego
• trudniejszych zadań
K
P
R/D
K
P
R/D
-
zna podstawowe związki między funkcjami
trygonometrycznymi tego samego kąta i stosuje je do
wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych
P
P
-
zna wzory
sin(900 − α ) = cosα ,
cos(90 0 − α ) = sin α i potrafi je zastosować
P
P
R/D
P/R
P
K
do
rozwiązywania zadań
-
wykorzystuje te wzory i tożsamości trygonometryczne
do rozwiązywania zadań
-
rozwiązuje równania typu:
sin x = a, cos x = a oraz
tg x = a dla x ∈ (0°,90°)
FUNKCJE DOWOLNEGO KĄTA
-
zamienia stopnie na miarę łukową i miarę łukową na
stopnie
K
-
zna definicje funkcji trygonometrycznych kąta
skierowanego w układzie współrzędnych
K
-
zna wzory redukcyjne
-
oblicza wartości funkcji trygonometrycznych:
• za pomocą kalkulatora
• stosując definicje
• kątów 120°, 135°, 150°
• sprowadzając dowolny kąt do pierwszej
ćwiartki stosując wzory redukcyjne
K
P
K
P
-
rozumie związek pomiędzy współczynnikiem
kierunkowym funkcji liniowej a kątem nachylenia jej
wykresu do osi OX
P
-
szkicuje wykres funkcji:
y = sinx, y = cosx , y = tgx, y = ctgx
K
-
odczytuje własności funkcji trygonometrycznych z ich
wykresów
-
rozwiązuje w przedziale
0,2π równania
sin x = k , lub cos x = k
* postaci
* dające się sprowadzić (np. za pomocą wzorów
redukcyjnych) do postaci sinx = k lub cosx = k
lub tgx = k lub ctgx = k
* inne równania trygonometryczne
-
rozwiązuje równania postaci np. sinax = k
K/P
K/P
K
P
R/D
P/R
-
rozwiązuje zadania z zastosowaniem równań
trygonometrycznych
-
rozwiązuje nierówności trygonometryczne zmiennej
rzeczywistej
-
zna twierdzenie sinusów i cosinusów i potrafi je
zastosować do rozwiązywania trójkątów
K/P/R/D
-
wykorzystuje twierdzenie sinusów i cosinusów do
rozwiązywania zadań
K/P/R/D
-
zna i stosuje wzory na funkcje trygonometryczne sumy
i różnicy kątów oraz wielokrotności kąta
-
zna i stosuje wzory na sumy i różnice tych samych
funkcji trygonometrycznych
R/D
P/R/D
P/R/D
W
7. PLANIMETRIA
Uczeń:
-
-
zna i rozumie pojęcia, zna własności figur:
• punkt, prosta, odcinek, półprosta
• równoległość prostych, prostopadłość prostych
• punkty współliniowe, symetralna odcinka
• kąty przyległe, wierzchołkowe,
naprzemianległe
• trójkąt równoboczny, równoramienny
• ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny
• kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb,
trapez
• promień, cięciwa, średnica, łuk
• kąt środkowy, wpisany
• okrąg opisany na wielokącie, okrąg wpisany
w wielokąt
• oś symetrii, środek symetrii figury
• figura symetryczna do danej
•
figura ograniczona, nieograniczona
• figura wypukła, niewypukła
• łamana, wielokąt
• środkowa trójkąta
• przystawanie trójkątów
wykonuje konstrukcje:
• symetralnej odcinka, dwusiecznej kąta
• okręgu wpisanego w dany trójkąt
• okręgu opisanego na danym trójkącie
• figury symetrycznej do danej
-
zna nierówność trójkąta i wykorzystuje ją do
rozwiązywania zadań
-
wie ile jest równa suma miar kątów wewnętrznych
trójkąta, czworokąta, n- kąta i wykorzystuje ten fakt do
rozwiązywania zadań
-
oblicza pola i obwody:
• trójkąta, równoległoboku, koła
• trapezu, rombu
• wycinka koła
-
nazywa wzajemne położenie prostej i okręgu,
K
K
K/P
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K/P
K
K
K
K
K
P
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
P/R
K/P
K/P
K
K/P
K
K/P
K/P
wykorzystuje te pojęcia do rozwiązywania zadań
-
-
rozwiązuje różne zadania wykorzystując:
• cechy przystawania trójkątów
• twierdzenie Pitagorasa
• twierdzenia o kącie wpisanym, środkowym i
dopisanym
• pola i obwody figur
• okręgi wpisane i opisane na wielokątach
• warunek wpisywalności okręgu w czworokąt
i opisywalności okręgu na czworokącie
• symetrię osiową i środkową
• cechy podobieństwa trójkątów
• jednokładność
wykorzystuje twierdzenie Talesa do rozwiązywania zadań
• prostych, korzystających z jednej proporcji
• bardziej skomplikowanych
K/P/R/D
K/P/R
P
K/P/R
K/P
K/P/R
P/R/D
K/P/R/D
K/P/R
K/P/R/D
P/R
K/P/R
P/R/D
P/R/D
P/R
K/P/R/D
P/R/D
K
P/R/D
K
P/R/D
-
stosuje twierdzenie o związkach miarowych między
odcinkami stycznych
-
zna i rozumie pojęcie podobieństwa
K
K
oblicza wymiary figury podobnej do danej w określonej
skali
K
K
-
bada, czy dane wielokąty są podobne
K/P
K
znajduje skalę podobieństwa dwóch figur podobnych
K/P
K/P
zna cechy podobieństwa trójkątów i sprawdza, czy dane
trójkąty są podobne
P/R
K/P
-
umie skonstruować obraz figury
w jednokładności
-
umie stwierdzić, czy figury są jednokładne
i wskazać środek i skalę jednokładności
P/R
-
dowodzi proste twierdzenia geometryczne
P/R
-
przesuwa figurę o dany wektor
K
zna i rozumie pojęcia: wektor zerowy, wektory
przeciwne, wektory równe
K
-
dodaje wektory i mnoży je przez liczbę, wykorzystuje te
umiejętności do rozwiązywania zadań
P
prowadzi bardziej skomplikowane dowody,
wykorzystując np. porównywanie kątów, kąty
środkowe i wpisane, porównywanie pól, cechy
przystawania i cechy podobieństwa; prowadzi proste
dowody „nie wprost”
P
D
P/R/D
8. GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ
Uczeń:
-
zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów
spełniających warunek typu:
x > 0, y ≤ 4
•
•
•
•
•
y < 2x + 3
x+ y ≥5
koniunkcja lub alternatywa nierówności
liniowych
nierówności stopnia I z dwiema
K
K
K
P
D/R
niewiadomymi z wartością bezwzględną
K
K
P/R
K/P
K/P/R
K/P/R
rozwiązuje graficznie układ dwóch równań liniowych
z dwiema niewiadomymi
K
K
-
wyjaśnia związek pomiędzy liczbą rozwiązań dwóch
równań liniowych z dwiema niewiadomymi a wzajemnym
położeniem prostych
P
K
-
rozwiązuje układy dwóch równań liniowych
z dwiema niewiadomymi z parametrem
-
oblicza odległość między punktami o danych
współrzędnych
-
rozwiązuje zadania związane z odległością punktów
w układzie współrzędnych
-
-
rozwiązuje zadania dotyczące symetrii w układzie
współrzędnych
-
rysuje okrąg o równaniu danym w postaci:
-
rysuje prostą o danym równaniu
-
zna warunek równoległości, prostopadłości prostych
danych równaniami ogólnymi i kierunkowymi i potrafi je
zastosować w zadaniach
-
wyznacza równanie prostej spełniającej podane warunki
w postaci ogólnej i kierunkowej
W
K
K
P/R/D
K/P/R
wyznacza współrzędne środka odcinka
K
K
znajduje na rysunku punkt symetryczny do danego:
• względem osi OX, OY
• względem początku układu współrzędnych
• względem danego punktu
• względem prostej równoległej do jednej osi
K
K
P
P
K
K
K
P
R/D
P/R/D
K
K
*
*
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
P
-
sprawdza analitycznie, np. czy dany punkt należy
do danego okręgu
-
rozwiązuje proste zadania dotyczące równania okręgu
jak np. znajdowanie punktów wspólnych prostej
i okręgu
-
rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące równania
okręgu, także z parametrem
R/D
-
rozwiązuje (algebraicznie i graficznie) równania i
układy równań stopnia II z dwiema niewiadomymi
(również z wartością bezwzględną)
P/R/D
-
rozwiązuje graficznie nierówności (i ich układy) stopnia
II z dwiema niewiadomymi (również z wartością
bezwzględną)
P/R/D
-
znajduje współrzędne narysowanego wektora
K
rysuje przykład wektora o danych współrzędnych
K
K
znajduje współrzędne wektora o danym początku
i końcu
K
-
określa współrzędne wektora przeciwnego do danego
K
oblicza długość wektora o danych współrzędnych
K
oblicza współrzędne sumy wektorów i iloczynu wektora
przez liczbę
K
przesuwa figurę o dany wektor
K/P
K
P
-
zna definicję iloczynu skalarnego wektorów w ujęciu
analitycznym i syntetycznym
W
-
zna własności iloczynu skalarnego wektorów i potrafi je
zastosować do rozwiązywania zadań
W
-
wykorzystuje działania na wektorach do
rozwiązywania zadań
W
9. STEREOMETRIA
Uczeń:
-
rozpoznaje następujące rodzaje brył:
• sześcian, prostopadłościan, graniastosłup,
ostrosłup
K
K
-
potrafi określić liczbę wierzchołków, krawędzi
i ścian
K
K
-
zna pojęcia: graniastosłup prosty, graniastosłup
prawidłowy, ostrosłup prosty, ostrosłup prawidłowy
K
K
-
wskazuje w graniastosłupie prostym kąty: pomiędzy
krawędziami, pomiędzy krawędziami a przekątnymi,
pomiędzy przekątnymi
K
K
-
wskazuje w ostrosłupie kąty pomiędzy krawędziami oraz
między wysokością a krawędzią
K
K
-
wskazuje kąty: pomiędzy wysokością a ścianą boczną,
pomiędzy ścianą boczną a podstawą, pomiędzy
wysokością ściany bocznej a wysokością bryły itp.
P
K/P
-
oblicza pola powierzchni i objętości:
• graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych
• graniastosłupów i ostrosłupów prostych
• walca, stożka i kuli
K
P
K/P
K
K/P
K/P
-
rysuje siatki graniastosłupów i ostrosłupów, odpowiada na
proste pytania dotyczące bryły na podstawie jej siatki
i wykorzystuje tę umiejętność o rozwiązywania zadań
dotyczących sytuacji rzeczywistych
P/R
P/R
P/R/D
P/R/D
R/D
R/D
-
stosuje pola i objętości brył do rozwiązywania zadań
-
rozumie pojęcie przekroju, szkicuje przekroje
graniastosłupów i ostrosłupów równoległe i prostopadłe
do podstawy
K
-
rozwiązuje zadania dotyczące tych przekrojów
P
rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące wielościanów
i brył obrotowych
szkicuje przekroje brył i rozwiązuje zadania dotyczące
tych przekrojów, także z zastosowaniem trygonometrii
P/R/D
-
stosuje twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
P
zna i rozumie pojęcie wielościanu foremnego
W
W
-
szkicuje ośmiościan foremny
W
rysuje siatkę ośmiościanu foremnego
W
rysuje siatki wielościanów foremnych i buduje ich
modele
W
wie, że wielościanów foremnych jest pięć, wymienia je
i rozpoznaje na ilustracji i modelu
10. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ.
TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
Uczeń:
-
odczytuje informacje z tabel, diagramów słupkowych
i wykresów
-
wyciąga z takich informacji wnioski, wykonując
odpowiednie obliczenia
-
oblicza:
•
•
•
•
•
średnią arytmetyczną danych liczb
odchylenie standardowe danych liczb
medianę danych liczb
średnią arytmetyczną danych zapisanych w
postaci tabeli lub histogramu
średnią ważoną danych liczb
-
rozumie sens intuicyjny wariancji i odchylenia
standardowego
-
wyciąga wnioski z informacji w postaci średnich,
odchylenia standardowego i mediany
-
rozumie różnice pomiędzy różnymi rodzajami średnich
i ograniczenia w ich stosowaniu
-
przedstawia dane w postaci tabel i diagramów
-
rozumie intuicyjnie pojecie prawdopodobieństwa
opracowuje statystycznie nieskomplikowany problem
K/P
K/P
P/R/D
P/R/D
K
K
P
P
K
K
P
P
R
R
K
K
P/R/D
P/R/D
D
D
K/P
K/P
R
R
D
K
K
K
K
K
K
P
P
R
P
K
K
P
P
stawia prosty problem i opracowuje go statystycznie
Uczeń:
zna klasyczną definicję prawdopodobieństwa
oblicza wprost z definicji prawdopodobieństwa zdarzeń:
• najprostszych np. otrzymanie parzystej liczby
oczek w rzucie kostką
• prostych, przy rzucie dwiema kostkami lub
dwiema monetami
• sumy zdarzeń i zdarzenia przeciwnego
-
zna pojęcia: zdarzenie pewne, zdarzenie niemożliwe,
zdarzenie przeciwne
-
znajduje liczbę możliwych wyników przy kilkakrotnym
rzucie kostką i w innych przypadkach o podobnej skali
trudności, wykorzystuje te rachunki do obliczania
prawdopodobieństw
-
oblicza liczbę możliwości z zasady mnożenia w bardziej
skomplikowanych przypadkach i wykorzystuje wyniki do
obliczania prawdopodobieństwa
R/D
P/R
-
zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych
K
K
rozwiązuje zadania z obliczeniami liczby permutacji
z zastosowaniem ich do obliczania
prawdopodobieństwa
K/P/R
-
rozwiązuje zadania z obliczeniami liczby wariacji
(z powtórzeniami i bez) i zastosowaniem ich do
obliczania prawdopodobieństwa
K/P/R
rozwiązuje zadania z obliczeniami liczby kombinacji
i zastosowaniem ich do obliczania
prawdopodobieństwa
K/P/R
-
-
rozwiązuje zadania wymagające jednoczesnego
korzystania z permutacji, kombinacji, wariacji i
stosowania ich do obliczania prawdopodobieństwa
-
rozumie pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego
W
rozwiązuje zadania z prawdopodobieństwem
warunkowym
W
-
rozwiązuje przykłady metodą drzew
-
zna definicję zdarzeń niezależnych i umie wskazać
przykłady takich zdarzeń
W
-
rozwiązuje zadania , korzystając z definicji zdarzeń
niezależnych
W
-
wie, w jakich sytuacjach można stosować schemat
Bernoulliego
W
-
korzysta ze schematu Bernoulliego do obliczania
prawdopodobieństwa
W
umie zapisać wzór na prawdopodobieństwo całkowite
wykorzystuje wzór na prawdopodobieństwo całkowite
do rozwiązywania zadań
R/D
P
P
W
W
* GRANICE I POCHODNE
Uwaga: Wszystkie umiejętności z tego działu są wymagane tylko na poziomie rozszerzonym na poziomie W
Uczeń:
-
rozumie intuicyjnie pojęcie granicy jedno- i
dwustronnej funkcji w punkcie
-
odczytuje wartości granic z wykresu funkcji
-
zna definicje Heinego granicy właściwej, niewłaściwej
funkcji w + ∞,−∞
-
oblicza granice jednostronne i dwustronne funkcji
w punkcie
-
oblicza granice funkcji w + ∞,−∞
-
zna definicję ciągłości funkcji w punkcie, w przedziale
-
bada ciągłość funkcji w punkcie w przedziale
-
zna definicję pochodnej funkcji w punkcie
-
oblicza pochodną:
• wielomianu dowolnego stopnia
• sumy i różnicy danych funkcji
• iloczynu i ilorazu funkcji
• dowolnej funkcji wymiernej
zna definicję Heinego granicy funkcji w punkcie
(właściwej i niewłaściwej)
bada istnienie asymptot wykresu funkcji i potrafi
napisać ich równania
potrafi podać przykłady funkcji ciągłych w punkcie,
w przedziale oraz przykłady funkcji nieciągłych
w punkcie
zna definicję ilorazu różnicowego funkcji
rozumie intuicyjny sens pochodnej funkcji w punkcie
jako szybkości zmiany lub jako nachylenia stycznej
na podstawie definicji oblicza pochodną funkcji
liniowej i kwadratowej
-
formułuje twierdzenia na temat związku pomiędzy
znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji
-
bada za pomocą pochodnej monotoniczność:
• wielomianu dowolnego stopnia
• funkcji wymiernej
-
znajduje ekstrema:
• wielomianu dowolnego stopnia
• funkcji wymiernej
-
rozwiązuje zadania prowadzące do znajdowania
ekstremów:
• wielomianów
• funkcji wymiernych
-
-
podaje przykłady: funkcji, której pochodna
w pewnym punkcie jest równa 0 i która nie ma
ekstremum w tym punkcie oraz funkcji, która ma
ekstremum w punkcie i nie ma w tym punkcie
pochodnej
szkicuje wykresy wielomianów, zaznaczając ekstrema