Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)

Przykład: budowa placu zabaw (metoda
ścieżki krytycznej)
Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla
dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania
zawiera poniższa tabelka
Czy możliwe jest ukończenie przedsięwzięcia w terminie? Jeśli tak, czy
ewentualne opóźnienia w wykonaniu poszczególnych czynności jednakowo
wpływają na ostateczny termin zakończenia budowy?
Diagram Gantta
Metoda ścieżki krytycznej.
Metoda CPM (critical path method) opracowana została z końcem lat 50-tych
równolegle dla celów wojskowych i gospodarczych. Celem CPM/PERT jest
optymalizacja organizacji dużych przedsięwzięć, na które składa się wiele
czynności o złożonej strukturze zależności.
Poszczególne czynności przedstawia się najczęściej jako krawędzie skierowanego
grafu. Chwila rozpoczęcia czynności kojarzona jest z węzłem, z którego krawędź
wychodzi, a chwila zakończenia z węzłem do którego krawędź wchodzi. Graf
konstruowany jest tak, by odzwierciedlał zależności kolejnościowe: każda
czynność może zostać rozpoczęta nie wcześniej nim zakończone zostaną wszystkie
czynności kończące się w węźle, w którym czynność ta się rozpoczyna.
Sam węzeł oznacza zdarzenie polegające na zakończeniu wszystkich czynności,
które maja w nim swój koniec co umożliwia rozpoczęcie wszystkich czynności,
które w tym węźle maja swój początek.
Celem algorytmu jest ustalenie:

czasów najwcześniejszego i najpóźniejszego wystąpienia (CNwW i CNpW)
dla wszystkich węzłów,

czasów najwcześniejszego rozpoczęcia (CNwR) i najpóźniejszego
zakończenia (CNpZ) dla wszystkich czynności,

rezerw czasowych dla wszystkich czynności oraz ścieżki krytycznej, t.j.
wszystkich czynności z zerowa rezerwa czasowa.
Algorytm ścieżki krytycznej.
Cześć A - czasy najwcześniejsze
1. Węzłowi początkowemu przypisujemy CNwW=0.
2. Rozważamy wszystkie czynności wychodzące z węzłów z już wyznaczonym CNwW.
Jeśli takich czynności nie ma, przechodzimy do części B. W przeciwnym razie każdej
czynności przypisujemy CNwR równy CNwW węzła z którego wychodzi, a CNwZ
równy sumie CNwR i czasu trwania czynności.
3. Każdemu węzłowi, dla którego ustalono CNwZ wszystkich czynności w nim się
kończących przypisujemy CNwW równy maksimum CNwZ czynności w nim się
kończących.
4. Wracamy do punktu 2.
Cześć B - czasy najpóźniejsze
1. Węzłowi końcowemu przypisujemy CNpW równy jego CNwW.
2. Rozważamy wszystkie czynności kończące się w węzłach z już wyznaczonym CNpW.
Jeśli takich czynności nie ma, przechodzimy do części C. W przeciwnym razie każdej
czynności przypisujemy CNpZ równy CNpW węzła w którym się kończy, a CNpR
równy różnicy CNpZ i czasu trwania czynności.
3. Każdemu węzłowi, dla którego ustalono CNpR wszystkich czynności w nim się
rozpoczynających przypisujemy CNpW równy minimum CNpR czynności w nim się
kończących.
4. Wracamy do punktu 2.
Cześć C - ścieżka krytyczna
1. Dla każdej czynności ustalamy jej rezerwę czasowa jako różnice pomiędzy jej CNpZ, a
CNwZ (lub różnicę miedzy CNpR, a CNwR).
2. Oznaczamy czynności, których rezerwy czasowe wynoszą zero, jako leżące na ścieżce
krytycznej.
PERT – Program Evaluation and Review Technique
PERT opiera się na 3 szacunkach czasu określonych dla każdej z
czynności:
Zmienna czasu
(o) czas optymistyczny
Opis
 Czas potrzebny na ukończenie zadania
w przypadku „idealnych” warunków”
(m) czas najbardziej
prawdopodobny
(p) czas pesymistyczny
 Czas potrzebny na skończenie zadania
w przypadku warunków „normalnych”
 Czas potrzebny na realizację zadania
w sytuacji „najgorszych oczekiwanych
warunków”
Czas oczekiwany E:
E = (o + 4m + p) / 6
PRZYKŁAD 2
Nazwa zadania
1. Przygotowanie
menu
2. Zakupy
3. Przygotowanie
zastawy
4. Przygotowanie
stołu
5. gotowanie
6. Podanie kolacji
0
A
1 / 22
min
Optymisty
czny
10
Najbardziej
prawdop.
30
Pesymist.
Oczek.
40
22
40
10
60
20
70
30
58
20
10
20
30
20
80
0
90
0
100
0
90
0
22
B
0
2 / 58
min
80
C
22
5 / 90
min
170
F
80
170
3 / 20
min
64
44
E
D
170
106
4 / 20
min
Szacowanie prawdopodobieństwa terminu ukończenia
 Odchylenie standardowe dla każdego z zadań
δ = (p – o) / 6
 Wariancja dla każdego z zadań
δ2 = [ (p – o) / 6] 2
6 / 0 min
Tabela. Wariancja i odchylenie standardowe dla zadań projektu
Nr
O
P
δ2
Δ
Odchylenie
Standardowe
1
10
40
25
5 min.
2
40
70
25
5 min.
2
3
10
30
(10/3)
~ 3 min. 20 s.
2
4
10
30
(10/3)
~ 3 min. 20 s.
2
5
80
100
(10/3)
~ 3 min. 20 s.
Szacowanie prawdopodobieństwa ukończenia projektu opiera się na
statystycznych relacjach dotyczących krzywej rozkładu normalnego:
 przedział ± δ – pokrywa 68 % obserwacji wartości rozkładu
normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 68 %,
 przedział ± 2δ – pokrywa 95 % obserwacji wartości rozkładu
normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 95 %,
 przedział ± 3δ - pokrywa 99,74 % obserwacji wartości rozkładu
normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 99,74 %,
68 %
95 %
99,74 %
-3δ
-2δ
-δ
ŚRED
+δ
+2δ
+3δ
Krzywa rozkładu normalnego
Określenie prawdopodobieństwa ukończenia projektu:
 obliczyć wariancję, lub odchylenie standardowe dla każdego zadania na
ścieżce krytycznej,
 sumować wyniki,
δ2CP = δ2CP1 + δ2CP2 + ... + δ2CPn,
gdzie:
δ2CP - wariancja ścieżki krytycznej,
δ2CP1... n - wariancje poszczególnych zadań
 oblicz odchylenie standardowe ścieżki krytycznej:
δCP = pierwiastek (δ2CP )
Dla projektu przyjęcia:
 odchylenie standardowe projektu = ok. 8 min.
 czas trwania projektu = 170 ± 8 min. (prawdopodobieństwo 68%)
 czas trwania projektu = 170 ± 24 min. (prawdopodobieństwo 99,74% - tj.
od 146 do 194)
Określenie prawdopodobieństwa ukończenia projektu w zadanym
czasie:
 zdefiniowanie żądanego czasu ukończenia projektu,
 obliczenie wartości funkcji prawdopodobieństwa P(z):
P (z) = (czas założony – czas oczekiwany) / δCP.
 argument “z” odpowiada prawdopodobieństwu ukończenia projektu
w żądanym czasie. Jego wartość odczytuje się z tablic statystycznych
(krzywa standaryzowana rozkładu normalnego).
Tabela. Wartości prawdopodobieństwa ukończenia projektu dla różnych
wartości czasu żądanego
Czas żądany
120
160
170
Wartość funkcji P(z)
Prawdopodobieństwo
ukończenia projektu
P(z) = (120-170) / 8 = (-50 / 8) ≈ 6,25
P(z) = (160-170) / 8 = (-10 / 8) ≈ 1,25
P(z) = (170-170) / 8 = (0 / 8) ≈ 0
0%
13 %
50 %
Zalety PERT
 Możliwość określenia prawdopodobieństwa ukończenia każdego
zadania i całego projektu,
 Możliwość określenia prawdopodobieństwa ukończenia projektu w
zadanym terminie,
 Wysoki poziom elastyczności w procesie szacowania czasów trwania
(szczególnie zadań obarczonych ryzykiem), – wykorzystanie trzech
wartości czasu do określenia czasu oczekiwanego
Metoda CPM jest specjalnym przypadkiem PERT, w którym czasy
najbardziej prawdopodobny, optymistyczny i pesymistyczny są takie same