FUNKCJA LINIOWA,RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA
Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi
określoną wzorem:
i
,
= ∙
Gdzie a jest liczbą różną od zera, zwaną współczynnikiem proporcjonalności.
Przykład 1: w ruchu ze stałą prędkością przebyta droga jest wprost proporcjonalna do czasu jazdy.
Przykład 2: wartość towaru zakupionego na wagę jest wprost proporcjonalna do jego wagi.
FUNKCJA LINIOWA
Funkcję określoną wzorem
=
+
dla , ∈ ℝ nazywamy
funkcją liniową. Liczbę
nazywamy współczynnikiem
kierunkowym,
wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest
linia prosta.
Łatwo zauważyć, że funkcja liniowa jest rosnąca gdy prosta będąca jej
wykresem idąc w prawo "wznosi się" a malejąca gdy w prawo
"opada". W przypadku gdy prosta biegnie poziomo, funkcja jest stała.
Pozostaje jeszcze zauważyć, że czym większa wartość bezwzględna
współczynnika kierunkowego a tym prosta jest bardziej pionowa. Z
kolei gdy wartość bezwzględna a dąży do zera, wykres funkcji
liniowej staje się coraz bardziej poziomy.
DZIEDZINA I ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI LINIOWEJ
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest również zbiór liczb
rzeczywistych lub, w przypadku funkcji stałej, zbiór jednoelementowy (zawierający tylko jedną liczbę).
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ
Za monotoniczność funkcji liniowej odpowiada współczynnik kierunkowy prostej. Gdy > 0 wówczas
funkcja jest rosnąca, gdy
< 0 funkcja jest malejąca. Dla
= 0 funkcja oczywiście jest stała. Z
wyjątkiem funkcji stałej funkcja liniowa jest zawsze różnowartościowa.
MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ
Funkcja liniowa posiada na ogół jedno miejsce zerowe. Jest to odcięta punktu, w którym wykres funkcji
przecina oś
(odciętych). Wyjątkiem jest funkcja stała, która nie posiada miejsca zerowego lub też
posiada same miejsca zerowe ( ( ) ≡ 0). Badanie miejsc zerowych funkcji liniowej to nic innego jak
rozwiązywanie równań (1 stopnia) z 1 niewiadomą. Badanie znaku funkcji liniowej to natomiast
rozwiązywanie tego samego typu nierówności.
1
WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ
Każda prosta (oprócz prostej prostopadłej do osi
) jest
wykresem pewnej funkcji liniowej. Zależność współrzędnych
punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych od
współczynników i pokazuje rysunek. Wyraz wolny b to po
prostu współrzędna igrekowa punktu przecięcia prostej z osią
.
Do sporządzenia wykresu funkcji liniowej (poprowadzenia prostej) wystarczą dwa punkty. Zatem jak
znaleźć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty ( , ) i ( , )? Należy do wzoru
ogólnego ( ) =
+ podstawić współrzędne punktu , a następnie punktu i rozwiązać układ
równań z dwoma niewiadomymi. Oczywiście w przypadku gdy oba punkty leżą na prostej prostopadłej
do osi
rozwiązania nie znajdziemy.
Przykład 1: narysować wykres funkcji = 2 + 3. Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, przez
które przechodzi wykres funkcji. Na przykład, dla = 0 = 3, a dla = −1, = 1, zatem jeden z
punktów, nazwijmy go , ma współrzędne (0, 3), zaś drugi B, ma współrzędne (−1, 1). Znajdujemy
punkty w układzie współrzędnych, prowadzimy przez nie prostą i gotowy wykres!
Przykład 2: znaleźć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt (0, 3) i B (−1, 1).
Ponieważ punkty mają leżeć na wykresie, ich współrzędne muszą spełniać wzór ogólny funkcji liniowej
=
+ . Podstawiając otrzymujemy:
3= ∙0+
1 = ∙ (−1) +
Rozwiązaniami powyższego układu są = 2, = 3, zatem szukany wzór funkcji to = 2 + 3
RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH
Dwa wykresy funkcji liniowych o równaniach:
=
+
i : =
+
są równoległe, gdy
= , zaś prostopadłe, gdy
∙
=−
Dwa wykresy funkcji liniowych o równaniach:
=
+
i : =
+
są prostopadłe, gdy
∙
=−
GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Z 1 NIEWIADOMĄ
Dzięki wykresom funkcji liniowych można spojrzeć inaczej na rozwiązywanie równań z 1 niewiadomą.
Przypuśćmy, że mamy do rozwiązania równanie:
2 +1= +2
Jak łatwo obliczyć, rozwiązaniem równania jest = 1. Ale zobaczmy, po lewej i po prawej stronie mamy
wzory pewnych funkcji liniowych. Ich wykresy to proste, które nie są równoległe gdyż mają różne
współczynniki kierunkowe. A proste nierównoległe mają punkt przecięcia, którego współrzędną
właśnie wyliczyliśmy. Zatem rozwiązywanie równań (1 stopnia) z 1 niewiadomą to w interpretacji
graficznej znajdowanie punktu przecięcia prostych! Jest jasne, że proste równoległe reprezentują
równanie sprzeczne (bez rozwiązania), zaś proste pokrywające się, równanie nieoznaczone (posiadające
nieskończenie wiele rozwiązań).
FUNKCJA LINIOWA A ŻYCIE CODZIENNE
Jakie zjawiska w życiu codziennym możemy opisać funkcją liniową? Na przykład droga przebyta przez
samochód jadący ze stałą prędkością jest funkcją liniową czasu. Funkcję tę można przedstawić wzorem:
2
( ) =
∙
+
, gdzie
- prędkość,
- początkowy odcinek drogi, – czas.
Podobnie, objętość wody znajdującej się w zbiorniku w danej chwili jest funkcja liniową czasu, jeśli
tylko uznamy, że kran doprowadzający wodę pracuje ze stałą wydajnością.
( ) =
∙
+
, gdzie w - wydajność kranu, v - objętość początkowa, t – czas
RÓWNANIA PIERWSZEGO STOPNIA Z 2 NIEWIADOMYMI
Równaniem pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi
+
gdzie
i
= ,
∈ℝ,
nazywamy współczynnikami równania i
i
i
nazywamy równanie postaci:
∈ℝ
nie są równocześnie zerami:
+
> 0.
WYKRES RÓWNANIA
Wykresem równania pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi i nazywamy zbiór wszystkich punktów
o współrzędnych ( , ), takich że współrzędne te spełniają te równanie. Wykresem jest linia prosta.
UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA Z 2 NIEWIADOMYMI
Układem dwóch równań pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi
+
+
gdzie
+
i
nazywamy układ postaci:
=
=
>0i
+
>0
Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi i nazywamy każdą
parę liczb ( , ), która spełnia jednocześnie oba równania. Jeśli nie ma takiej pary wówczas zbiór
rozwiązań układu jest pusty.
Układ dwóch równań liniowych można przedstawić za pomocą dwóch prostych. W zależności od
wzajemnego położenia tych prostych, układ nazywamy:
Oznaczonym (układem równań niezależnych), gdy
proste przecinają się w jednym punkcie.
Wówczas istnieje jedno rozwiązanie: para liczb będących
współrzędnymi punktu przecięcia.
Nieoznaczonym (układem równań zależnych), gdy
proste pokrywają się.
Wówczas rozwiązaniem układu jest para współrzędnych
każdego punktu należącego do tych prostych. Układ
równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
3
Sprzecznym, gdy proste są równoległe.
Nie istnieje punkt należący do obydwu prostych, zatem
nie istnieje para liczb spełniająca oba równania. Zbiór
rozwiązań układu jest pusty.
METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ
1. Metoda podstawiania. Polega na wyliczeniu
jednej z niewiadomych ( lub ) i podstawieniu jej
do równania drugiego.
Przykład:
−3 + 2 = 4
+3 =6
Z drugiego równania otrzymujemy:
= 6 − 3
Wstawiamy do pierwszego równania:
−3(6 − 3 ) + 2 = 4
−18 + 9 + 2 = 4
11 = 22
= 2
Wstawiamy = 2 do = 6 − 3
Otrzymujemy:
= 0
Rozwiązaniem układu równań jest zatem para
liczb:
=0
=2
2. Metoda przeciwnych współczynników.
Polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji
gdy przy tej samej niewiadomej w dwóch
równaniach stoją przeciwne współczynniki.
Przykład:
2 − =3
− +3 =6
mnożymy drugie równanie stronami przez 2 i
otrzymujemy:
2 − =3
−2 + 6 = 12
dodajemy równania stronami:
2 − − 2 + 6 = 3 + 12
5 = 15
= 3
Wstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego
równania z wyjściowego układu równań:
2 − 3 = 3
= 3
Rozwiązaniem układu równań jest zatem para
liczb:
=3
=3
3. Metoda wyznaczników. Polega ona na obliczeniu tak zwanych wyznaczników i zastosowaniu
odpowiednich wzorów. Przypuśćmy, że mamy układ równań:
+
+
gdzie
+
=
=
>0i
+
Obliczamy wyznaczniki:
Jeśli
4
=
=
−
=
=
−
=
=
−
≠ 0 układ posiada 1 rozwiązanie:
>0
=
=
= 0,
=0,
Jeśli
Jeśli
= 0,
= 0, układ jest nieoznaczony (posiada nieskończenie wiele rozwiązań).
≠ 0 lub
≠ 0, układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań).
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE
1.
Narysuj w układzie współrzędnych wykresy funkcji liniowych:
a)
2.
=2
b)
=3 +1
c)
= −2 + 3
d)
1
=2 −2
Uzupełnij tabelkę funkcji liniowej ( ):
( )
1
2
−4
−1
7
11
3.
Znajdź wzór funkcji liniowej ( ), której wykres przechodzi przez punkty (2√3, 8) i (−√3, −1)
4.
Dana jest funkcja liniowa ( ), której wykres jest równoległy do wykresu funkcji
przechodzi przez punkt (4,3). Podaj wzór funkcji ( ).
5.
Dana jest funkcja liniowa = 3 + 5. Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji. Dla jakiej wartości
argumentu funkcja przyjmuje wartość 8?
6.
Wyznacz punkt przeciecia wykresów funkcji
7.
Funkcja liniowa ( ) = 2
− 3
a) wykres funkcji przecina oś
=
+1i
=
+2i
= −3 + 2.
+ 4. Wyznacz liczbę b, dla której:
w punkcie (0,7)
b) miejscem zerowym jest liczba 8
8.
Podaj wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkt (1,2), której wykres jest prostopadły do
1
wykresu funkcji = 2 + 2.
9.
Dane są funkcje =
funkcji są równoległe?
+2i
10. Dane sa dwie funkcje : =
tych funkcji są prostopadłe?
= (1 −
+4i
) + 3. Dla jakich wartości parametru
wykresy tych
= (2 + ) = 5. Dla jakiej wartości parametru
wykresy
11. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do
prostej danej równaniem: 3 − 2 + 1 = 0.
12. Znajdź współrzędne punktu wspólnego prostej
punkt (1; 1).
13. Dla jakiej wartości parametru
= 2 − 1 z prostą prostopadłą przechodzącą przez
funkcja ( ) = (2
+ 1) +
jest funkcją rosnącą?
14. Dla jakich wartości parametrów i proste o równaniach:
3 +
−4 =0i
+ ( + 1) + 1 = 0 przecinają się w punkcie (2; −1)?
15. Dla jakich wartości parametru
mają punktów wspólnych?
+
proste dane równaniami:
16. Wyznacz punkt przecięcia wykresów funkcji liniowych
=
+1 =0 i
+5i
+
− 1 = 0 nie
= 2 − 1.
17. Wykaż, że czworokąt o wierzchołkach (−1; 1), (−2; −1), (4; 1), (2; 2) jest trapezem.
5
18. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą
1
= − 2 + 6.
19. Znajdź wzór funkcji liniowej spełniającej warunki (1) = 3 i ( ) = ( + 1) − 2.
20. Dla jakiej wartości parametru
prostej = 2 − 2?
punkt przecięcia prostych
=
+
i
=
− 4 należy do
21. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania
a)
+2 =9
−1 =3
−
b)
1
2
=2
1
−1 =4
c)
3 + =3
2 −3 =2
d)
22. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników
2 −
−
−3 + 2 = −7
2 − − 1 = −6
− 3 =1
2
a)
a)
b)
= +2
5 +2 =1
( − 4)( + 4) = ( + 2) −
23. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników
2 + = 16
a)
5 −6 =0
10 + 8 + 11 = 0
b)
2 + √2 = −3
=4 +7
c)
2 + 9 = 13
24. Rozwiąż układy równań
−
a)
+
=4
=4
( − 2) − 2( − 2 ) = 1 − (3 − )(3 + )
2 + =4
( − 5)( − 2) = ( + 2)( − 1)
c)
( − 4)( + 7) = ( − 3)( + 4)
25. Dopisz brakujące równanie układu tak, by powstały układ:
3 −2 =5
a)
był sprzeczny
……………..
+6 =3
b)
był nieoznaczony
……………..
5 − =6
c)
był oznaczony
……………..
b)
6
−3
2 +
− 4
2
+
=
−
8
+ 12 = 0