Rachunek rent

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
Temat:
IiE, I rok SSL
Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach.
Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
1. Podstawowe pojęcia rachunku rent
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
Renta jest to ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu.
Raty to płatności, które składają się na rentę.
Okres bazowy to okres między dwiema kolejnymi ratami.
Momentem początkowym renty jest t = 0 .
Momentem końcowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata.
Renta czasowa to renta o skończonej liczbie rat.
Renta wieczysta to renta o nieskończonej liczbie rat.
Renta prosta to renta, dla której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek.
Renta uogólniona to renta, dla której okres bazowy i okres kapitalizacji odsetek są różne.
Renta płatna z dołu (renta zwykła) to renta, w której raty następują na koniec okresu.
Renta płatna z góry to renta, w której raty płacone są na początku okresu.
Wartość początkowa renty jest sumą wartości rat zaktualizowanych na moment początkowy renty.
Wartość końcowa renty jest sumą wartości rat zaktualizowanych na moment końcowy renty.
2. Wartość początkowa renty. Wartość końcowa renty.
Oznaczmy:
R j – rata płatna w momencie j , j = 1, 2,..., n ,
i – stopa procentowa okresu bazowego,
P – wartość początkowa renty,
F – wartość końcowa renty.
 Rn (1 + i ) − n

− ( n −1)
 Rn−1 (1 + i )
P = 
 R (1 + i ) −2
 2
 R1 (1 + i ) −1
0
R1
R2
…
1
2
…
R n −1
n −1
Rn
n
j
Rn

Rn−1 (1 + i ) 


=F
n−2 
R2 (1 + i )

R1 (1 + i ) n−1 
Mamy wtedy
=
P
n
∑ R (1 + i)
j =1
j
−j
=
F
,
n
∑ R (1 + i)
j =1
oraz
P(1 + i ) n =
F.
1
j
n− j
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
IiE, I rok SSL
3. Renta o stałych ratach
3.1.
Renta płatna z dołu (renta zwykła)
3.1.1.
Wartość początkowa renty zwykłej dana jest wzorem: =
P R
n
∑ (1 + i)
−j
j =1
Występująca w powyższym wzorze suma jest sumą skończonego ciągu geometrycznego o pierwszym
wyrazie a1= (1 + i ) −1 oraz ilorazie q= (1 + i ) −1 .
1 − qn
Korzystając ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego S n = a1
1− q
(rozpatrujemy przypadek, gdy q ≠ 1 , tzn. i ≠ 0 ), dostajemy
Dokonamy oznaczenia:
an i =
1 − (1 + i ) − n
−j
+
=
i
(1
)
.
∑
i
j =1
n
1 − (1 + i ) − n
.
i
Wtedy wartość początkową renty zwykłej zapiszemy w postaci:
3.1.2.
Wartość końcowa renty zwykłej dana jest wzorem:
(1 + i ) n − 1
Dokonamy oznaczenia: sn i =
.
i
Wtedy wartość końcową renty zwykłej zapiszemy w postaci:
3.1.3.
P = Ra n i
F = P(1 + i ) n = R
1 − (1 + i ) − n
(1 + i ) n
i
F = Rs n i
Uwagi
Sumę an i nazywamy czynnikiem dyskontowania renty. Interpretujemy ją jako wartość początkową renty
jednostkowej o n ratach, przy stopie i dla okresu bazowego.
Sumę sn i nazywamy czynnikiem oprocentowania renty. Interpretujemy ją jako wartość końcową renty
jednostkowej o n ratach, przy stopie i dla okresu bazowego.
3.2.
Renta płatna z góry
3.2.1.
Wartość początkowa renty płatnej z góry dana jest wzorem: =
P ( +1) R
n −1
∑ (1 + i)
−j
j =0
Dokonamy oznaczenia:
an =i (1 + i )
1 − (1 + i )
i
−n
.
 n i
Wtedy wartość początkową renty płatnej z góry zapiszemy w postaci: P ( +1) = Ra
3.2.2.
Wartość końcowa renty płatnej z góry dana jest wzorem:
n −1
F ( +1) =
R(1 + i ) n ∑ (1 + i ) − j
j =0
Dokonamy oznaczenia:

sn =i (1 + i )
(1 + i ) − 1
.
i
n
Wtedy wartość końcową renty płatnej z góry zapiszemy w postaci:
3.2.3.
F ( +1) = Rs n i
Uwagi
Zauważmy, że rentę płatną z góry możemy postrzegać jako rentę zwykłą przyspieszoną o jeden okres, tzn.:
P ( +1) =
R(1 + i )a n i
F ( +1) =
R(1 + i ) s n i
Oczywiste jest również, że:
a n i =
(1 + i )a n i
2

sni =
(1 + i ) s n i
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
3.3.
IiE, I rok SSL
Renta odroczona
Rentą odroczoną nazywamy rentę zwykłą z „opóźnionymi” płatnościami.
W rencie odroczonej o H okresów, gdzie H jest liczbą naturalną, płatności następują w momentach
t H + n.
H + 1, H + 2, , H + n. Momentem końcowym takiej renty jest =
3.3.1.
Wartość początkowa renty odroczonej o H okresów dana jest wzorem:
n
=
P ( − H ) R ∑ (1 + i ) − H − j , co możemy zapisać w postaci:
j =1
3.3.2.
Wartość końcowa renty odroczonej o H okresów dana jest wzorem:
n
(− H )
F
=
R ∑ (1 + i ) n− j , co możemy zapisać w postaci:
j =1
3.3.3.
F = Rs n i
Uwagi
Zauważmy, że dla renty odroczonej zachodzi zależność:
3.4.
H)
P ( −=
R (1 + i ) − H a n i
F ( − H )= (1 + i ) n+ H P ( − H )
Renta wieczysta
Rentą wieczystą nazywamy rentę o nieskończonej liczbie płatności. Zakładamy, że każda płatność następuje
na koniec okresu (oczywiście można rozważać również płatności na początek okresu).
3.4.1.
Wartość początkowa renty wieczystej dana jest wzorem:
1 − (1 + i ) − n
, czyli:
n →∞
i
P∞ = R lim
3.4.2.
P∞ =
R
.
i
Uwagi
3.4.2.1.
Oczywiste jest, że liczenie wartości końcowej renty wieczystej jest pozbawione sensu.
3.4.2.2.
Jeśli w wycenie renty o n ratach posługujemy się rentą wieczystą, to względny błąd
aproksymacji wyraża się jako:
Mamy zatem:
P∞ − P
=
P
P∞ − P
.
P
R
− Ran i
1
1
i
.
=
−=
1
Ran i
ian i
(1 + i ) n − 1
Oznacza to, że względny błąd aproksymacji nie zależy od wysokości raty, ale od liczby lat i
stopy procentowej.
Im większa liczba rat, przy ustalonej wartości i, lub im większa stopa procentowa, przy
ustalonym n, tym mniejszy jest względny błąd aproksymacji.
3
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
IiE, I rok SSL
4. Renta o zmiennych ratach
4.1.
Renta o ratach seriami stałych
Oznaczmy:
L – liczba serii rat,
tl – moment pierwszej płatności w serii l , l = 1, 2,..., L ,
nl – liczba rat w l -tej serii l = 1, 2,..., L ,
Rl – wysokość raty w serii l , l = 1, 2,..., L .
0
4.1.1.
R1
R1
…
t1
t1 + 1
…
R1
t1 + n1 − 1
…
RL
RL
…
tL
tL + 1 …
L
∑ (1 + i)
− ( tl −1)
l =1
t L + nL − 1
j
Rl an
l
i
Wartość końcowa renty o ratach seriami stałych dana jest wzorem:
F=
(1 + i )
L
n
∑ (1 + i)
l =1
4.1.3.
RL
Wartość początkowa renty o ratach seriami stałych dana jest wzorem:
P
=
4.1.2.
…
− ( nl +tl −1)
Rl sn
l
i
Uwagi
4.1.3.1.
Jeśli składowe renty mają wspólny moment początkowy, to wartość początkowa renty
upraszcza się do wzoru: P =
L
∑Ra
l =1
4.1.3.2.
l nl i
Jeśli składowe renty mają wspólny moment końcowy, to wartość końcowa renty upraszcza się
do wzoru: F =
L
∑R s
l =1
l nl i
4
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
4.2.
IiE, I rok SSL
Renta o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
d
Oznaczmy:
d – różnica między kolejnymi wyrazami ciągu,
R j – wartość j-tej raty j = 1, 2,..., n ,
+
d
d
+
+
d
d
d
+
+
+

.
.
.
.
.
.
.
.
.

d
d
d
+
+
+
Mamy wtedy zależność:
R j = R j −1 + d = R1 + ( j − 1)d
4.2.1.
Wartość początkowa renty o ratach tworzących
ciąg arytmetyczny dana jest wzorem:
Pa= R1an i +
4.2.2.
d
an i − n(1 + i ) − n 


i
Wartość końcowa renty o ratach tworzących
ciąg arytmetyczny dana jest wzorem:
d
d
Fa =R1sn i +  sn i − n 

i 
+
0
4.3.
d
+
d
+

d
+
d
+
d
+
R1
R1
R1

R1
R1
R1
1
2
3

n−2










 n −1










n −1 n
Renta o ratach tworzących ciąg geometryczny
Oznaczmy:
q – iloraz ciągu; przyjmujemy ponadto, że q > 0 ,
p=
1+ i
−1
q
R j – wartość j-tej raty j = 1, 2,..., n ,
Mamy wtedy zależność:
=
R j R=
R1q j −1
j −1q
4.3.1.
Wartość początkowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny dana jest wzorem:
Pg =
4.3.2.
R1
a
q np
Wartość końcowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny dana jest wzorem:
Fg = R1q n−1sn p
5
j
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 4
IiE, I rok SSL
Renta uogólniona (renta, dla której okres bazowy i okres kapitalizacji odsetek są różne)
4.4.
Dokonamy następujących założeń:
• długość okresu kapitalizacji oraz wysokość stopy procentowej są niezmienne przez cały czas trwania
renty,
• odsetki za podokresy naliczane są zgodnie z zasadą oprocentowania składanego przy zastosowaniu
stopy równoważnej.
Rozpatrzymy dwa podstawowe typy renty uogólnionej:
Typ I
Typ II
każdy okres bazowy składa się ze skończonej całkowitej liczby okresów kapitalizacji, przy czym
początek okresu bazowego pokrywa się z początkiem jednego z okresów kapitalizacji.
każdy okres kapitalizacji składa się ze skończonej całkowitej liczby okresów bazowych, przy czym
początek okresu kapitalizacji pokrywa się z początkiem jednego z okresów bazowych.
Wycenę renty uogólnionej będziemy przeprowadzać poprzez zamianę na równoważną rentę prostą.
Oznaczmy:
R0 – wysokość rat,
n0
mK
mB
p
– liczba rat,
– liczba okresów kapitalizacji w pojedynczym okresie bazowym,
– liczba okresów bazowych w pojedynczym okresie kapitalizacji,
– stopa procentowa w skali okresu kapitalizacji.
4.4.1.
Zamiana renty uogólnionej na równoważną rentę prostą przez zmianę stopy:
4.4.1.1.
Typ I:
R = R0 ,
n = n0 ,
i =+
(1 p ) mK − 1.
4.4.1.2.
Typ II:
R = R0 ,
n = n0 ,
i=
4.4.2.
mB
1 + p − 1.
Zamiana renty uogólnionej na równoważną rentę prostą przez zmianę raty:
4.4.2.1.
Typ I:
R=
R0
,
sm i
n = n0 mK ,
i = p.
K
4.4.2.2.
Typ II:
R = R0 sm i ,
B 0
gdzie i0 =
mB
n=
n0
,
mB
1 + p − 1.
6
i = p,