Matematyka Finansowa – Wzory - Uniwersytet Ekonomiczny w
Transkrypt
Matematyka Finansowa – Wzory - Uniwersytet Ekonomiczny w
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Matematyka Finansowa – Wzory1 I Oprocentowanie 1. Okresowa stopa procentowa r= I Kt − K0 = K0 K0 (1) 2. Realna stopa procentowa rreal = r−i 1+i (2) 3. Faktyczna stopa procentowa rf = r · (1 − P D) (3) Kn − Kn−1 Kn−1 (4) 4. Efektywna stopa procentowa rnef = II Oprocentowanie proste 5. Oprocentowanie proste – wartość przyszła kapitału po n pełnych okresach Kn = K0 (1 + n · r) , n ∈ R+ (5) 6. Oprocentowanie proste – wartość przyszła kapitału po n okresach, gdy stopy procentowe są zmienne Kn = K0 (1 + n1 · r1 + n2 · r2 + . . . + nk · rk ) , ni ∈ R+ (6) 7. Oprocentowanie proste – przeciętna stopa procentowa k r̄ = 1X nj rj n j=1 (7) III Oprocentowanie składane 8. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n pełnych okresach n Kn = K0 (1 + r) , n∈N (8) 9. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n okresach, gdy stopy procentowe są zmienne n1 Kn = K0 (1 + r1 ) · (1 + r2 ) n2 nk · . . . · (1 + rk ) , ni ∈ N 10. Oprocentowanie składane – przeciętna stopa procentowa v u k uY n n r̄ = t (1 + rj ) j − 1 (9) (10) j=1 11. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n podokresach przy kapitalizacji w m podokresach r n Kn|m = K0 1 + , ni ∈ N (11) m IV Dyskontowanie 12. Dyskontowanie rzeczywiste proste – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach K0 = Kn (1 + nr)−1 , n ∈ R+ (12) 13. Dyskontowanie rzeczywiste składane – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach K0 = Kn (1 + r)−n , 1 n∈N Zestaw wzorów dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/wzorymatfin.pdf 1 (13) 14. Dyskontowanie handlowe (proste) – stopa dyskontowa d= Kn − K0 Kn (14) 15. Dyskontowanie handlowe (proste) – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach K0 = Kn (1 − nd), n ∈ R+ (15) 16. Jedna z możliwych formuł na równoważność stopy dyskontowej i procentowej (dla oprocentowania prostego) d 1 − nd r= (16) 17. Zasada równoważności weksli (stosowana przy odnowieniu weksla) Kn(1) (1 − n(1) d) = Kn(2) (1 − n(2) d) (17) V Wartość kapitału w czasie 18. Model z ciągłą kapitalizacją odsetek Kn = K0 er·n , K0 0, r 0, n ∈ R+ (18) 19. Równoważność stóp procentowych: oprocentowania złożonego z k–krotną kapitalizacją oraz oprocentowania ciągłego r k = e rc (19) 1+ k 20. Model wartości kapitału w czasie przy rocznej stopie procentowej r K(t) = K(t0 ) (1 + r) t−t0 t∈R , (20) 21. Model wartości kapitału w czasie z kapitalizacją ciągłą (przy rocznej stopie procentowej r) K(t) = K(t0 )erc ·(t−t0 ) , t∈R (21) 22. Zasada równoważności kapitałów – warunek formalny K1 (t1 ) (1 + r) −t1 = K2 (t2 ) (1 + r) −t2 (22) 23. Zasada równoważności kapitałów – warunek formalny z wykorzystaniem stopy oprocentowania ciągłego K1 (t1 )e−rc t1 = K2 (t2 )e−rc t2 (23) 24. Zasada równoważności kapitałów – wartość stopy procentowej, przy której dwa kapitały są równoważne 1 K1 (t1 ) t1 −t2 r= − 1, t1 = 6 t2 (24) K2 (t2 ) 25. Zasada równoważności kapitałów – wartość stopy procentowej oprocentowania ciągłego, przy której dwa kapitały są równoważne 1 K1 (t1 ) , ln t1 − t2 K2 (t2 ) t1 6= t2 (25) Kn(1) (1 − n(1) d) = Kn(2) (1 − n(2) d) (26) rc = 26. Zasada równoważności weksli VI Rachunek rent 27. Wartość początkowa renty PV = n X Rj (1 + r)−j (27) Rj (1 + r)n−j (28) j=1 28. Wartość końcowa renty FV = n X j=1 29. Wartość początkowa renty o stałych ratach PV = R n X 1 − (1 + r)−n = Ran r , (1 + r)−j = R r j=1 gdzie an r = 1 − (1 + r)−n r (29) 30. Wartość końcowa renty o stałych ratach F V = P V (1 + r)n = R 1 − (1 + r)−n (1 + r)n − 1 (1 + r)n = R = Rsn r , r r 2 gdzie sn r = (1 + r)n − 1 r (30) Matematyka Finansowa – Wzory c.d. 31. Wartość początkowa renty odroczonej o H okresów PV (−H) n X =R (1 + r)−H−j = R(1 + r)−H an r (31) j=1 32. Wartość końcowa renty odroczonej o H okresów F V (−H) = R n X (1 + r)n−j = Rsn r (32) 1 − (1 + r)−n R = r r (33) j=1 33. Wartość początkowa renty wieczystej P V ∞ = R lim R n→∞ 34. Względny błąd aproksymacji zastąpienia renty o nieznanej liczbie płatności rentą wieczystą PV ∞ − PV = PV R r − Ran r 1 1 = −1= Ran r ran r (1 + r)n − 1 (34) 35. Wartość początkowa renty o ratach seriami stałych, gdy wszystkie raty mają wspólny moment początkowy M X PV = Rm anm r (35) m=1 36. Wartość końcowa renty o ratach seriami stałych, gdy wszystkie raty mają wspólny moment końcowy M X FV = Rm snm r (36) m=1 37. Wartość początkowa renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny P V aryt = R1 an r + d an r − n(1 + r)−n r (37) 38. Wartość końcowa renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny d F V aryt = R1 sn r + (sn r − n) r (38) 39. Wartość początkowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny P V geom = R1 n X −j q j−1 (1 + r) R1 an p , q = j=1 gdzie p= 1+r −1 q (39) 40. Wartość końcowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny F V geom = R1 n X q j−1 (1 + r) n−j = R1 q n−1 sn p , gdzie j=1 p= 1+r −1 q (40) VII Spłaty długów 41. Warunek równoważności długu i rat przy aktualizacji na moment m m K0 (1 + r) = n X Rj (1 + r)m−j (41) j=1 42. Dług bieżący – ujęcie retrospektywne Dm = K0 (1 + r)m − m X j=1 3 Rj (1 + r)m−j (42) 43. Dług bieżący – ujęcie prospektywne Dm = n X Rj (1 + r)m−j (43) j=m+1 44. Część kapitałowa raty Rm (kapitał umorzony) ∆Dm = Dm−1 − Dm (44) Im = Dm−1 r (45) Rm = ∆Dm + Im (46) 45. Część odsetkowa raty Rm 46. Dekompozycja raty Rm 47. Wnioski z dekompozycji rat n X Dm = K0 − ∆Dj = K0 , j=1 m X ∆Dj , Dm = j=1 n X ∆Dj (47) j=m+1 48. Łączna wartość odsetek od długu na moment zerowy (wzór ogólny) I(0) = n X Ij (1 + r)−j (48) j=1 49. Rekurencyjny schemat obliczania wartości długu i dekompozycji rat [przy założonym priorytecie spłaty odsetek] Dla kolejnych okresów j = 1, 2, . . . , n obliczamy: Ij = Dj−1 r (49a) ∆Dj = Rj − Ij (49b) Dj = Dj−1 − ∆Dj (49c) 50. Schemat spłaty długu – tabelarycznie j 1 2 .. . Dj−1 ... ... .. . Rj ... ... .. . Ij ... ... .. . ∆Dj ... ... .. . Dj ... ... .. . n P ... — ... — ... — ... ... ... — R= K0 an r (50) 51. Spłaty w ratach o stałych wysokościach (51) 52. Łączna wartość wszystkich odsetek zaktualizowana na moment 0 dla planu spłaty w ratach o stałych wysokościach n I(0) = K0 − (R − K0 r) (52) 1+r 53. Spłaty w ratach o stałej części kapitałowej ∆Dj = ∆D = K0 n (53) 54. Łączna wartość wszystkich odsetek zaktualizowana na moment 0 dla planu spłaty w ratach o stałych częściach kapitałowych I(0) = (n − an r ) ∆D (54) 55. Równanie służące do wyznaczania RRSO (należy z równania wyznaczyć r mając dane pozostałe wielkości) m X −tα Aα (1 + r) = α=1 k X −t0β Bβ (1 + r) (55) β=1 56. Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV ) NPV = n X j=0 4 −tj Aj (1 + r) (56)