Renty okresowe i wieczyste

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa -2
Renty okresowe i wieczyste
1. Renty okresowe to strumienie płatności w
równych odstępach czasu przez skończony
okres (Annuities)
Zakładamy, Ŝe stopy procentowe są takie
same w kolejnych latach. Oznaczmy dla
t = n = 1, 2, 3, . . . :
stopa procentowa i n−1,n = i;
q = 1 + i - czynnik kumulujący na kaŜdy z
okresów n − 1, n;
1
v = 1q = 1+i
= 1 − d - czynnik dyskontujący
na kaŜdy z okresów n − 1, n;
d=
i ,
1+i
i=
d ,
1−d
1 − 1 = 1.
d
i
F P N - wartość przyszła tj.w momencie
t = N strumienia płatności P (Future
Value);
• Oprocentowanie - dyskontowanie rzeczywiste
proste (kapitalizacja w momencie t = N:
Wartość przyszła:
F P N = P 0 1 + Ni + P 1 1 + N − 1i + P 2 1 + N − 2i
+. . . +P N−1 1 + i + P N ,
Wartość aktualna przy dyskoncie prostym
rzeczywistym:
P N−1
F P 0 = P 0 + P 1 + P 2 +. . . +
+ PN
1+i
1 + 2i
1 + Ni
1 + N − 1i
• Oprocentowanie - dyskontowanie składane:
- kapitalizacja (zgodna) w momentach
t = n = 1, 2, . . . , N:
Płatności P 0 , P 1 , P 2 , . . . , P N w momentach
t = 0, 1, 2, . . . , N;
Strumień płatności: P = P 0 , P 1 , P 2 , . . . , P N  ,
F P 0 - wartość aktualna strumienia
płatności P , tj. w momencie t = 0
(Present Value);
F P t - wartość w momencie t strumienia
płatności P;
1
2
F P n = P 0 q
n−0
+ P1q
n−1
+. . . +P N−1 q
n−N−1
+ PNq
n−N
,
n = 0, 1, 2, . . . , N,
F P N = P 0 q + P 1 q
N
N−1
+. . . +P N−1 q + P N ,
k
dla k = 1, 2, . . . , mN.
Wartość (przyszła) w momencie n, gdy
0 < n < N:
F P n = P 0 q n−0 + P 1 q n−1 +. . . P n−1 q + P n
• Oprocentowanie - dyskontowanie ciągłe z siłą
oprocentowania δ (równowaŜna efektywna
stopa roczna: 1 + i ef = e δ  :
Ft = P 0 e δt−0 + P 1 e δt−1 + P 2 e δt−2 +. . . +P N e δt−N ,
Ft = P 0 1 + i ef  t−0 + P 1 1 + i ef  t−1 +. . . +P N 1 + i ef  t−N ,
+ P n+1 q −1 . . . +P N−1 q n−N−1 + P N q n−N
= P0q + P1q
k
k
Wartość aktualna:
F P 0 = P 0 + P 1 v + P 2 v 2 +. . . +P N−1 v N−1 + P N v N
n−1
F P  mk  = P 0 1 + i ef  m −0 + P 1 1 + i ef  m −1 +
. . . +P N 1 + i ef  m −N ,
F P 0 = F P Nv N .
Wartość przyszła:
F P N = P 0 q N−0 + P 1 q N−1 +. . . +P N−1 q + P N
n
F P  mk  = P 0 1 + i m1  k−m0 + P 1 1 + i m1  k−m1 +
. . . +P N 1 + i m1  k−mN ,
F P 0 = P 0 + P 1 v + P 2 v 2 +. . . +P N−1 v N−1 + P N v N .
F P N = F P 0q N ,
t = m1 , m2 , . . . , Nm
m (równowaŜna efektywna
stopa roczna: 1 + i ef = 1 + i m1  m  :
t ∈ 0, N.
+. . . +P n−1 q + P n +
P n+1 v +. . . +P N−1 v N−1−n + P N v N−n ,
- kapitalizacja (niezgodna) w momentach
3
4
1 + i ef  t 2 −t 1 = e δt 2 −t 1  - czynnik kumulujący na
okres t 1 , t 2 .
 1+i1 ef  t 2 −t 1 = e −δt 2 −t 1  - czynnik dyskontujący na
okres t 1 , t 2 .
Wartość przyszła przy oprocentowaniu
ciągłym:
FN = P 0 e δN + P 1 e δN−1 +. . . +P N−1 e δ + P N
Wartość aktualna przy oprocentowaniu
ciągłym:
F0 = P 0 + P 1 e −δ +. . . +P N−1 e −N−1δ + P N e −Nδ
2. Stałe renty okresowe (strumienie równych
płatności w równych odstępach czasu przez
skończony okres) (Standard Annuities)
• Renta okresowa z góry (Annuity-due): n
równych płatności
P 0 = P 1 = P 2 =. . . = P n−1 = 1 w momentach
t = 0, 1, 2, . . . , n − 1, P n = 0;
ä n⌉i - wartość obecna (w momencie
t = 0 renty z góry:
n
n
ä n⌉i = 1 + v + v 2 +. . . +v n−1 = 1 − v = 1 − v
1−v
d
1 + i n − 1
=
i1 + i n−1
5
s̈ n⌉i - wartość przyszła (w momencie
t = n renty z góry:
n
n
q
−
1
q
−1
n
n−1
s̈ n⌉i = q + q +. . . +q = q
=
q−1
d
1 + i n − 1
= 1 + i
i
• Renta okresowa z dołu (Immediate
Annuity): n równych płatności
P 1 = P 2 =. . . = P n−1 = P n = 1 w momentach
t = 1, 2, . . . , n − 1, n, P 0 = 0;
a n⌉i - wartość obecna (w momencie
t = 0 renty z dołu:
n
n
a n⌉i = v + v 2 +. . . +v n−1 + v n = v 1 − v = 1 − v
1−v
i
n
1 + i − 1
=
i1 + i n
•
•
s n⌉i
s n⌉i - wartość przyszła (w momencie
t = n renty z dołu:
qn − 1
qn − 1
n−1
n−2
= q + q +. . . +q + 1 =
=
q−1
i
1 + i n − 1
=
i
Zachodzą równości:
6
3. Stałe renty wieczyste to strumienie
równych płatności w równych odstępach czasu
przez nieskończony okres (Standard
Perpetuities):
• Renta wieczysta z góry (Perpetuity-due):
równe płatności P 0 = P 1 = P 2 =. . . = 1 w
momentach t = 0, 1, 2, . . . ;
ä ∞⌉i - wartość obecna (w momencie
t = 0 renty z góry:
ä ∞⌉i = 1 + v + v 2 +. . . = 1 = 1 + i = 1
1−v
i
d
• Renta wieczysta z dołu (Immediate
Perpetuity): równe płatności
P 1 = P 2 =. . . = 1 w momentach
t = 1, 2, . . . ; P 0 = 0;
a ∞⌉i - wartość obecna (w momencie
t = 0 renty z dołu:
a ∞⌉i = v + v 2 +. . . = v 1 = 1
1−v
i
ä n⌉i 1 + i n = s̈ n⌉i
a n⌉i 1 + i n = s n⌉i
ä n⌉i − 1 = a n⌉i 1 + i n −
1
1 + i n
s̈ n⌉i − 1 + i n = s n⌉i − 1
1
1
a n⌉i = s n⌉i + i.
7
8