Określanie wzajemnego położenia prostej i okręgu

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 38
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
38.Określanie wzajemnego położenia prostej i okręgu.
I.
Przypomnij sobie:
1. Jak prosta może być położona względem okręgu?
Prosta jest zewnętrzną dla okręgu, gdy nie ma z nim
punktów wspólnych.
Odległość środka okręgu od prostej zewnętrznej jest
większa od promienia okręgu: d  O, k  r
Prostą, która z okręgiem zawartym w tej samej
płaszczyźnie ma jeden punkt wspólny nazywamy
styczną do tego okręgu.
Odległość środka okręgu od prostej stycznej jest
równa promieniowi okręgu: OA  O, k  r
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia
łączącego punkt styczności i środek okręgu.
Prostą, która z okręgiem ma dwa punkty wspólne
nazywamy sieczną.
Odległość siecznej od środka okręgu o promieniu r
jest mniejsza od r: OC  r
2. Inne ważne pojęcia związane z okręgiem:
a.
b.
c.
d.
II.
promień,
średnica,
cięciwa ,
łuk.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 38
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 1.
Z punktu A leżącego na okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe do siebie cięciwy
o długościach 5 cm i 12 cm. Oblicz pole P koła ograniczonego tym okręgiem.
Rozwiązanie:
AC  5 cm, AB  12 cm
Prostopadłe cięciwy AB i AC tworzą przyprostokątne trójkąta
prostokątnego ABC. Przeciwprostokątna BC jest jednocześnie
średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Stosując twierdzenie
Pitagorasa do trójkąta ABC otrzymujemy:
AB  AC  BC , czyli 122  52  d 2 , gdzie d jest średnicą okręgu. Zatem
2
2
2
144  25  d 2
d 2  169
A skoro d jako długość jest liczbą nieujemną, to d  169  13 cm.
Promień okręgu r jest, oczywiście, połową jego średnicy, więc r 
1
1
d  13  6,5 cm. Pole
2
2
koła ograniczonego okręgiem obliczamy ze wzoru Po  r 2 :
Po    6,52  42,25 cm2
Odpowiedź: Koło ograniczone tym okręgiem ma pole 42,25 cm2.
Przykład 2.
Dwa okręgi o promieniach 10 i środkach odpowiednio O1 i O2 są
styczne zewnętrznie (rysunek obok). Z punktu O1 poprowadzono
styczne do okręgu o środku O2. Oblicz pole P obszaru
wyróżnionego kolorem na rysunku.
Rozwiązanie:
Wyróżniony obszar składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych O1O2A i
O1O2B, w których O1O2  10  10  20, O2 A  O2 B  10, O1 A  O1B  d . Z twierdzenia
Pitagorasa mamy d 2  102  202 , czyli d 2  400  100  300 . Zatem d  300  10 3 .
1
Obliczamy pola trójkątów prostokątnych: PO1O2 A  PO1O2B  10 10 3  50 3 .
2
Natomiast pole wyróżnionego obszaru równe jest podwojonemu polu każdego z
wymienionych trójkątów, czyli P  2  50 3  100 3 .
Odpowiedź: Pole obszaru wyróżnionego kolorem na rysunku równe jest P  100 3 .
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 38
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 3.
Z punktu P leżącego na okręgu o promieniu 20 cm poprowadzono dwie
cięciwy, jedną w odległości 10 cm, a drugą 12 cm od środka okręgu
(rysunek obok). Oblicz długości cięciw.
Rozwiązanie:
Wprowadzając dodatkowe oznaczenia wyróżniamy dwa trójkąty
równoramienne OPK i OPM: oba z ramionami długości 20 – promienia
okręgu. Trójkąt OPK ma wysokość 10, więc z twierdzenia Pitagorasa
2
1
1

10   PK   202 , czyli PK  202  102  300  10 3 i
2
2

2
2
1

PK  20 3 . Natomiast w trójkącie OPM mamy 12   PM   202 ,
2

1
czyli PM  202  122  400  144  256  16 i PM  32 .
2
2
Odpowiedź: Cięciwy mają długości PK  20 3 i PM  32 .
Przykład 4.
Okręgi przedstawione na rysunku obok są współśrodkowe, a odcinek AB
mający długość 20 jest styczny do mniejszego z okręgów. Pole pierścienia
ograniczonego tymi okręgami jest równe:
A. 400 ,
B. 300 ,
C. 200 ,
D. 100 .
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
R  OB - promień większego okręgu, r  OP - promień mniejszego okręgu.
Rozważając trójkąt prostokątny OPB mamy z twierdzenia Pitagorasa: OP  PB  OB , a
2
ponieważ punkt P znajduje się w połowie cięciwy AB, to PB 
2
1
 20  10 . Zatem
2
r 2  102  R 2 , czyli R 2  r 2  100 .
Pole kolorowego pierścienia jest równe Pp  R 2  r 2   R 2  r 2   100  100 .

Odpowiedź D.

2
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 38
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Z punktu A leżącego na okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe do siebie cięciwy
o długościach 2 i 3. Pole koła ograniczonego tym okręgiem jest równe:
A. 3,25 ,
B. 5 ,
C. 10 ,
D. 13 .
Zadanie 2. (1 pkt)
Cięciwa okręgu o promieniu 10 cm ma długość 16 cm. Odległość środka okręgu od tej
cięciwy jest równa:
A. 2 cm,
B. 3 cm,
C. 4 cm,
D. 5 cm.
Zadanie 3. (3 pkt)
Z punktu C poprowadzono styczne do okręgu o środku O i promieniu 5 cm
(rysunek obok). Cięciwa AB, gdzie punkty A i B są punktami styczności, ma
długość 6 cm. Oblicz pole P trójkąta ABC.