Rachunek Prawdopodobieństwa 1B Lista zadań nr 2 1

Rachunek Prawdopodobieństwa 1B
Lista zadań nr 2
1. (Ω, F, P) jest przestrzenią probabilistyczną. Niech A, B, C ∈ F .
a) Załóżmy, że P(A ∪ B) = 1/2, P(A ∩ B) = 1/4, P(A \ B) = P(B \ A). Oblicz P(A) oraz P(B \ A).
b) Załóżmy, że A ∪ B ∪ C = Ω, P(B) = 2P(A), P(C) = 3P(A), P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C).
Pokaż, że 1/6 ≤ P(A) ≤ 1/4.
c) Załóżmy, że P(A) ≥ 2/3, P(B) ≥ 2/3, P(C) ≥ 2/3, P(A ∩ B ∩ C) = 0. Oblicz P (A).
d) Załóżmy, że P(A′ ) = 1/3, P(A ∩ B) = 1/4 i P(A ∪ B) = 2/3. Oblicz P(B ′ ), P(A ∩ B ′ ) i P (B \ A).
2. Dana jest przestrzeń probabilistyczna
(Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
i F = 2Ω . Pokaż,
∑
∑
że istnieją liczby pω ≥ 0 takie, że ω∈Ω pω = 1 oraz dla każdego A ∈ F, P(A) = ω∈A pω .
3.
Kij o długości 1 został złamany losowo w dwóch punktach. Oblicz prawdopodobieństwo, że z
otrzymanych kawałków można zbudować trójkąt.
4. Na odcinku [0,1] umieszczono losowo 2 punkty L i M oblicz prawdopodobieństwo, że środek odcinka
LM należy do [0, 1/3].
5. Na nieskończoną szachownicę o boku 1 rzucono monetę o średnicy 2/3. Oblicz prawdopodobieństwo,
że
a) moneta znajdzie się całkowicie wewnątrz jednego z pól;
b) moneta przetnie się z dwoma bokami szachownicy.
6. Igła Buffona. Igłę o długości l rzucono losowo na podłogę pokrytą deskami o szerokości d (l ≤ d).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie krawędź jednej z desek?
7. Rzucamy dwukrotnie kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa niż 7 jeżeli:
a) w pierwszym rzucie otrzymaliśmy 4;
b) w pierwszym rzucie otrzymaliśmy co najmniej 3?
8. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że
a) wylosowaliśmy pika, jeżeli wiemy, że karta jest czarna;
b) wylosowaliśmy co najmniej 10, jeżeli karta jest kierem;
c) wylosowaliśmy asa, jeżeli karta jest czerwona.
9. W urnie znajdują się trzy białe i cztery czarne kule. Losujemy kulę, wyrzucamy bez oglądania, a
następnie losujemy kolejną kulę z urny.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula jest biała?
b) Załóżmy, że za drugim razem wyciągnięto białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosowano czarną kulę?
10. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeżeli w teście diagnostycznym uczeń popełni 6 lub więcej błędów, to zostaje uznany za dyslektyka. Każdy dyslektyk na pewno popełni co najmniej 6 błędów. Również
nie-dyslektyk może popełnić co najmniej 6 błędów i dzieje sie to z prawdopodobieństwem 0,1. Jasiu popełnił 6 błędów. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest dyslektykiem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
w kolejnym teście też popełni co najmniej 6 błędów?
11. Uczestnikami turnieju szachowego są zawodnicy posiadający kategorię I (połowa zawodników),
II (1/4 zawodników) lub III (1/4 zawodników). Prawdopodobieństwo wygrania z graczem z I kategorią
wynosi 0, 3, z II kat. 0, 4, z III kat. 0, 5. Grasz z losowym graczem. Oblicz prawdopodobieństwo Twojej
wygranej. W przypadku wygranej, oblicz prawdopodobieństwo, że Twój rywal miał I kategorię.
12. Alicja co piątek uczęszcza na ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa. Może być albo przygotowana do zajęć, albo nieprzygotowana. Jeżeli w danym tygodniu jest przygotowana, to prawdopodobieństwo, że w kolejnym tygodniu będzie przygotowana/nieprzygotowana wynosi 0, 8/0, 2. Jeżeli w
danym tygodniu jest nieprzygotowana, to prawdopodobieństwo, że w kolejnym tygodniu będzie przygotowana/nieprzygotowana wynosi 0, 6/0, 4. W pierwszym tygodniu jest oczywiście przygotowana do zajęć.
Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie również przygotowana po 3 tygodniach.
13. Alicja i Bob grają w pokera. Bob ma silną rękę i zaczął od 5 dolarów. Prawdopodobieństwo, że
Alicja ma silniejsze karty wynosi 0,04. Gdyby Alicja miała mocniejsze (słabsze) karty podbiłaby stawkę
z prawdopodobieństwem 0,9 (0,1). Alicja podbiła stawkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że ma lepsze
karty?
14. Załóżmy, że zdarzenia A i B spełniają: P(A|B) = P(B|A), P(A ∪ B) = 1 i P(A ∩ B) > 0. Pokaż, że
P(A) > 1/2.
15. Pokaż, że jeżeli P(A|C) ≥ P(B|C) i P(A|C ′ ) ≥ P(B|C ′ ), to P(A) ≥ P(A).
16. Jest n monet, z których k jest asymetrycznych i wypada na nich orzeł z prawdopodobieństwem
2/3. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta
jest asymetryczna?
17. W Londynie przez połowę dni pada deszcz. Prognoza pogody jest prawdziwa z prawdopodobieństwem 2/3, tzn. prawdopodobieństwo, że będzie padać jeżeli przewidziano, że będzie padać oraz
prawdopodobieństwo, że nie będzie padać jeżeli przewidziano, że nie będzie padać, są równe i wynoszą
2/3. Jeżeli przewiduje się deszcz pan Pickwick zabiera ze sobą parasolkę. Jeżeli deszcz nie jest przewidywany, to bierze parasolkę z prawdopodobieństwem 1/3. Oblicz
a) prawdopodobieństwo, że pan Pickwick nie ma parasolki, wiedząc że pada;
b) prawdopodobieństwo, że ma parasolkę, wiedząc że nie pada;
18. Mamy dwie urny i 50 kul. Połowa z kul jest biała, a połowa czarna. Jak rozłożyć kule do urn, aby
zmaksymalizować prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana kula z losowej urny jest biała (tzn.
najpierw losujemy urnę, a potem z wybranej urny losujemy kulę)
19. (Zagadnienie ruiny) Dwóch graczy A i B gra w orła i reszkę, rzucając monetą (niekoniecznie
symetryczną). Gracz A zaczyna z kapitałem a zł, a gracz B z kapitałem b zł. W każdej kolejce stawką
jest 1 zł, gracz A wygrywa, gdy wypadnie orzeł, co zdarza się z prawdopodobieństwem p. Gra toczy się
dopóki jeden z graczy nie zbankrutuje. Oblicz prawdopodobieństwo ruiny gracza A.
20. Pijak (i to pijany!) znajduje się 3 kroki od przepaści. W prawdopodobieństwem 1/3 zrobi krok w
kierunku przepaści, a z prawdopodobieństwem 2/3 w przeciwnym. Jakie ma szanse ocalenia? Zakładamy,
że gdy znajdzie się na krawędzi przepaści, to spadnie.
21. Król Artur urządza turniej rycerski, w którym rycerze spotykają się (jakże by inaczej?) systemem
turniejowym. W każdym pojedynku obaj rycerze mają takie same szanse na zwycięstwo. Wśród 2n
rycerzy jest dwóch braci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą walczyć ze sobą?