Lista zadań 1

Zadania z fizyki
Wydział Elektroniki
1
Wielkości i jednostki fizyczne; wektory
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). A jest pewną długością, a T – pewnym czasem. Które z poniższych wyrażeń mają
sens:
A + T, AT, A/T, A − T ?
A jeśli zarówno A, jak i T oznaczają pewne długości? Jaki będzie wymiar każdej z powyższych
wielkości w tym przypadku?
Zad. 2(c). Wyznacz stałą Plancka h̄ = 1,05 · 10−34 kg·m2 /s w jednostkach meV·ps (1 meV=
10−3 eV = 1,60 · 10−22 J; 1 J= 1 kg·m2 /s2 ).
Zad. 3. Wyraź anglosaską jednostkę ciśnienia PSI (ciężar 1 funta na cal kwadratowy) w jednostkach SI.
Zad. 4. Fundamentalnymi stałymi fizycznymi są: stała Plancka h̄ = 1,05 · 10−34 kg·m2 /s, prędkość
światła c = 3,00 · 108 m/s oraz stała grawitacji G = 6,67 · 10−11 m3 /(kg·s2 ). Wykorzystując te
stałe zbudować wielkości o wymiarze czasu, długości i masy (są to czas, długość i masa Plancka,
które powinny pojawić się w nieistniejącej jeszcze kwantowej teorii grawitacji).
Zad. 5(c). 22 października 1895 roku pociąg ekspresowy nr
56 relacji Granville - Paryż wjeżdżając (z opóźnieniem) na
Gare de Montparnasse przełamał kozioł oporowy i przebił
ścianę dworca, spadając na ulicę ok. 40 m za miejscem,
w którym winien był się zatrzymać (słynne zdjęcie obok).
Odległość Granville–Paryż wynosi 341 km. Jaki jest względny błąd długości trasy popełniony przez maszynistę? Czy
sensowne jest stwierdzenie, że pociąg przejechał 341,04 km?
http://pl.wikipedia.org/wiki/Katastrofa kolejowa na Gare Montparnasse
Zad. 6(c). Na rysunku poniżej przedstawiono zmiany odległości Ziemia–Księżyc w roku 2014
(ciemniejsza linia, skala po lewej). Zapisz wartość tej odległości w metrach, podając niepewność
1
jej wartości (przybliżoną – odczytaną z wykresu) w sposób jawny, a następnie poprzez zapisanie
właściwej liczby cyfr znaczących w notacji wykładniczej (naukowej)
Źródło: Wikipedia; „Moon-Earth distance, Moon phases” by Darekk2 - Own work, CC-BY-SA.
Zad. 7. Gęstość ołowiu wynosi 11,3 g/cm3 . Jaka jest wartość tej gęstości w kg/m3 ?
Zad. 8. W USA zużycie paliwa wyraża się w milach na galon. Pewien ekonomiczny samochód
hybrydowy wykazuje zużycie paliwa 55,0 mil na galon. Znajdź zużycie paliwa dla tego auta w
litrach na 100 km. 1 galon = 3,788 l; 1 mila = 1,609 km.
Zad. 9. Masa krytyczna neptunu-237 (237 Np) wynosi ok. 60 kg. Gęstość tego pierwiastka wynosi
19,5 g/cm3 . Jaki będzie promień sfery zawierającej masę krytyczną tego materiału?
Uwaga: Masa krytyczna materiału rozszczepialnego to najmniejsza masa, jaką należy zgromadzić, aby
zainicjować reakcję łańcuchową.
Zad. 10*. Dane są dwie niezerowe liczby: o n cyfrach znaczących i o m cyfrach znaczących, przy
czym n < m. Uzasadnij, że przy ich mnożeniu lub dzieleniu niepewność wyniku pojawi się na
n-tej pozycji dziesiętnej (tzn. wynik należy zapisywać z dokładnością do n cyfr znaczących).
Zad. 11. Sprawdź, że rok (365,24 dni) ma ok. π · 107 s. Jaki jest względny błąd tej wartości?
Zad. 13(c). Na wykresie obok przedstawiono zmiany temperatury w pewnym pomieszczeniu. W jakim
okresie temperatura była dodatnia, a w jakim ujemna?
W jakich okresach temperatura rosła, a w jakich malała? W których momentach wzrost temperatury był
najszybszy? Kiedy temperatura była najniższa, a kiedy najwyższa? W których momentach pomieszczenie
przestawało stygnąć, a zaczynało się ocieplać?
2
T [o C]
Zad. 12. Zwiększamy promień kuli dwukrotnie. Jak zwiększy się jej powierzchnia? A objętość?
Rozważmy dla odmiany bryłę o jakimś bardzo skomplikowanym kształcie. Zwiększamy jej wymiary
liniowe („skalujemy” ją) dwukrotnie. Co można powiedzieć o zmianie jej powierzchni i objętości?
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10
-5
0
t [s]
5
10
Zad. 14(c). Znajdź graficznie (wykonując rysunek w skali)
wartość, kierunek i zwrot sumy a+b i różnicy a−b wektorów
a i b na rysunku obok. Korzystając z tych wyników znajdź
wartości, kierunki i zwroty wektorów −a − b i b − a.
Zad. 15. Speleolog przemieszcza się w jaskini korytarzem o długości 180 m w kierunku zachodnim,
Następnie 210 m w kierunku SE, potem 280 m w kierunku o azymucie 330◦ (30◦ na wschód
od kierunku północnego). Po kolejnym, czwartym przemieszczeniu o nieokreślonej długości i w
nieokreślonym kierunku znajduje się w punkcie wyjścia. Określ graficznie długość i kierunek tego
przemieszczenia.
Zad. 16(c). Znajdź współrzędne x i y wszystkich wektorów z rysunku w zad. 14.
Zad. 17. Posługując się wynikami poprzedniego zadania znajdź wartości i kierunki wektorów
a + b i a − b.
Zad. 18(c). Zapisz wektory z rysunku do zad. 14 jako kombinacje wektorów jednostkowych
(wersorów ) ı̂ i ̂ związanych z osiami x i y.
Zad. 19(c). Znajdź iloczyny skalarne a · b, a · c i b · c dla wektorów a, b i c z rysunku do zad. 14.
Zad. 20(c). Znajdź kąt pomiędzy poniższymi parami wektorów
a = −2ı̂ + 6̂,
a = 3ı̂ + 5̂,
a = −4ı̂ + 2̂,
b = 2ı̂ − 3̂,
b = 10ı̂ + 6̂,
b = 7ı̂ + 14̂.
Zad. 21. Dane są wektory a = 3ı̂ + 4̂ + 5k̂ i b = −1ı̂ + 1k̂. Znajdź sumę tych wektorów, ich
iloczyn skalarny oraz kąt pomiędzy nimi.
Zad. 22. (Kąt między wiązaniami w metanie). W cząsteczce metanu, CH4 , każdy atom
wodoru znajduje się w wierzchołku regularnego czworościanu z atomem węgla w środku. W układzie współrzędnych, w którym jedno z wiązań C–H położone jest w kierunku ı̂ + ̂ + k̂, sąsiednie
wiązanie jest w kierunku ı̂ − ̂ − k̂. Oblicz kąt pomiędzy tymi wiązaniami.
Zad. 23. Posługując się iloczynem skalarnym wykaż, że przekątne rombu są zawsze prostopadłe.
Wskazówka: przekątne te są sumą i różnicą wektorów stanowiących boki.
Zad. 24. W pewnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są wektory a = 1ı̂ i b =
−1ı̂ + 1̂), gdzie ı̂ i ̂ są wzajemnie prostopadłymi wektorami jednostkowymi (wersorami ) zadającymi układ współrzędnych. Obracamy układ współrzędnych o 45◦ w kierunku dodatnim (czyli
3
przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara), definiując w ten sposób nowe (obrócone) wersory ı̂0 i ̂0 . Jak wyrażają się wektory a i b poprzez nowe wektory jednostkowe? Czy po tej operacji
zmieni się iloczyn skalarny tych wektorów? Sprawdź to bezpośrednim rachunkiem metodą „algebraiczną” (na współrzędnych). Oblicz ten sam iloczyn metodą „geometryczną”. Czy w tym drugim
przypadku wybór układu współrzędnych ma jakiekolwiek znaczenie?
Zad. 25*. W trójwymiarowej przestrzeni wektor r = xı̂+y ̂+z k̂, nazywany wektorem położenia,
wskazuje ze środka układu współrzędnych (0, 0, 0) do dowolnego punktu o współrzędnych (x, y, z).
Wykaż, że punkty spełniające równanie ax+by +cz = 0 leżą w płaszczypłaszczyźnie przechodzącej
przez początek układu i prostopadłej do wektora aı̂ + b̂ + ck̂.
4