docZapisz jako PDF
download 
Reklamacja Transkrypt
Zapisz jako PDF
Zadanie Znaleźć koło o promieniu zadanej wzorem i środku w początku układu współrzędnych w metryce “miejskiej” Warto wyjaśnić, skąd bierze się nazwa “metryka miejska”. Odległość między dwoma punktami i nie jest zwykłą długością odcinka łączącego te punkty, tylko długością krzywej łamanej złożonej z odcinków równoległych do jednej z osi układu współrzędnych. To odpowiada drodze, jaką musimy przebyć, jeśli możemy się poruszać tylko ulicami, z których każda ma kierunek wschód-zachód lub północ-południe. Suma długości odcinków poziomych jest równa różnicy współrzędnych długości odcinków pionowych jest równa różnicy współrzędnych . Szukane koło składa się z punktów obu punktów, a suma spełniających warunek Zacznijmy od okręgu o promieniu : Najłatwiej jest rozwiązać to równanie po kolej w każdej ćwiartce układu współrzędnych a) : b) : c) : d) : Rysujemy wykresy wszystkich czterech linii prostych zadanych równaniami nich zaznaczmy odcinek spełniający odpowiedni warunek na znaki i Koło o promieniu i na każdej z jest sumą okręgów o promieniach Zadanie Znaleźć koło o promieniu wzorem i środku w początku układu współrzędnych w metryce “max” zadanej Takie koło składa się z punktów spełniających warunek Zacznijmy od okręgu o promieniu : To równanie rozwiązujemy po kolej w każdej ćwiartce układu współrzędnych. Dodatkowa komplikacja polega na tym, że każdą ćwiartkę musimy podzielić na dwa obszary: a) : b) : c) : d) : e) : f) : g) : Koło o promieniu jest sumą okręgów o promieniach i . Zadanie Znaleźć koło o promieniu zadanej wzorem i środku w ustalonym punkcie w metryce “rzymskiej” Warunek w pierwszej linii powyższego wzoru opisuje przypadek, gdy punkty i leżą na jednej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych (“Rzym”). Dla takich punktów ich wzajemna odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej .W innych przypadkach (dolna linia powyższego wzoru) odległość punktów i jest sumą odległości każdego z tych punktów od początku układu współrzędnych. (Jeśli dwa punkty leżą na różnych “drogach prowadzących do Rzymu”, to aby się dostać z jednego z nich do drugiego musimy przejechać przez “Rzym”). Szukane koło składa się z punktów spełniających warunek Jak zwykle, zacznijmy od okręgu o promieniu . W tym przypadku musimy być jednak bardziej uważni, niż w zadaniach poprzednich. Powodem jest to, że w metryce “rzymskiej” kształt koła zależy od jego promienia. Dla małych , kołem (o środku różnym od początku układu współrzędnych) są dwa punkty leżące na półprostej łączącej dany punkt z początkiem układu współrzędnych, odległe od o : Podstawiając drugie z tych równań do pierwszego, podniesionego stronami do kwadratu, dostajemy Obliczamy stąd liczbę : Wstawiając do warunku łączącego współrzędne punktu ze współrzędnymi punktu (warunek opisujący fakt, że i leżą na jednej półprostej zaczynającej się w środku układu współrzędnych) otrzymujemy Kształt koła o promieniu jest inny dla . Punkty i nadal leżą na prostej ,z tym, że znajduje się “po drugiej stronie” początku układu współrzędnych, co odpowiada ujemnej wartości współczynnika : Okrąg o promieniu zawiera jednak nie tylko punkty i , ale także punkty niewspółliniowe z i . Położenie takich punktów znajdujemy korzystając ze wzoru na odległość punktów nie leżących na jednej “drodze” prowadzącej do “Rzymu”: Przyrównujemy te odległość do : Jest to zwykły okrąg o promieniu i środku w początku układu współrzędnych. Okrąg w metryce “rzymskiej” o środku w punkcie i promieniu jest sumą zwykłego okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu punktu leżącego na półprostej w odległości od punktu . Znając kształty okręgów, możemy wyznaczyć postać kół o środku w punkcie i . Jeśli promień koła jest nie większy niż “dwupunktowych” okręgów o , czyli , to kołem o tym promieniu jest suma Jeśli promień , koło jest sumą odcinka i zwykłego koła o środku w przekracza wartość początku układu współrzędnych i promieniu Na koniec pozostaje rozpatrzeć przypadek, gdy środek okręgu pokrywa się z początkiem układu współrzędnych . W takim przypadku odległość w metryce “rzymskiej” sprowadza się do odległości euklidesowej i koło o promieniu współrzędnych. jest zwykłym kołem o takim samym promieniu i środku w początku układu Zadanie Warto zrobić proste zadanie, które pokazuje, że mówienie o różnych metrykach nie jest tylko “akademicką zabawą”. Można np. zadać pytanie: jaka jest odległość z Gdyni do Kapsztadu. Przyjmujemy następujące dane: oba miasta mają taką samą długość geograficzną (około szerokości geograficzne odpowiednio Ni S, natomiast promień Ziemi wynosi km. E), a Odpowiedzi na pytanie od odległość między tymi dwoma miastami mogą być aż trzy: 1. Oba miasta leżą na jednym południku, który jest (w przybliżeniu) okręgiem o promieniu . Kąt między promieniami tego okręgu przechodzącymi przez te miasta wynosi . Odległość w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wynosi więc Taka odległość odpowiada długości prostoliniowego tunelu łączącego oba miasta (gdyby taki tunel istniał). 2. Odległość mierzona wzdłuż okręgu, czyli po powierzchni Ziemi wynosi gdzie kąt jest wyrażony w radianach Oczywiście odległość po okręgu (po powierzchni Ziemi) jest większa od odległości po cięciwie (wzdłuż tunelu) 3. Odległość między dwoma portami można też zdefiniować, jako długość drogi, jaką musi przebyć statek. Jest ona większa od obu poprzednich odległości i na dodatek dość skomplikowana (zależy od kształtu i położenia kontynentów). Odległości a) i b) można opisać dwiema metrykami na okręgu (wydaje się, że wprowadzanie metryki na sferze może być zbyt skomplikowane dla słuchaczy tych zajęć): gdzie są wartościami wspołrzędnej kątowej opisującej położenie danych punktów na okręgu.
