Lista 5

Modele systemów dynamicznych
Ćwiczenia – lista zadań nr 5
Zad. 1.
Sprawdź sterowalność obiektu dyskretnego opisanego modelem: xn+1 = Axn + Bun , gdzie:



0 0
1



A =  1 0 −2 


0 0
1



1



B= 0 


0
Zad. 2.
Dla obiektu opisanego równaniem: xn+1 = Axn + Bun , gdzie:

1 0 2





A =  −1 1 3 


0 0 1



2



B= 0 


1
wyznaczyć ciąg sterowań u0 , u1 , . . . , uN −1 przeprowadzający obiekt ze stanu x0 = [0 0 0]T do
stanu x∗ = [4 1 1]T w N = 3 krokach.
Zad. 3.
Sprawdzić obserwowalność obiektu:
xn+1 = Axn
yn = Cxn
gdzie:


0 0
1



A=
 1 0 −2 


0 0
0
C=
[
]
1 1 1
1
Zad. 4.
W obiekcie opisanym równaniem:
xn+1 = Axn
yn = Cxn
gdzie:


0
1
0
A= 0

0
1 





C=
[
]
1 0 0
1 −1 1
zaobserwowano wartości y0 = 3, y1 = 2, y2 = 1. Wyznacz stan x2 .
2
DODATEK
Podstawowe zadanie teorii sterowania jest następujące: dla danego opisu obiektu, stanu początkowego x0 i stanu zadanego x∗ należy wyznaczyć sterowanie, które w skończonym czasie przeprowadzi
obiekt ze stanu x0 do x∗ . Jeżeli da danego obiektu rozwiązanie tego zadania istnieje dla dowolnych
x0 i x∗ , to obiekt nazywamy sterowalnym.
Sterowalność obiektu dyskretnego:
Dla liniowego obiektu dyskretnego o wielu wejściach:
xn+1 = Axn + Bun
konieczny i wystarczający warunek sterowalności jest następujący:
rzM = k
gdzie: k jest rzędem obiektu (liczbą składowych wektora stanu), natomiast:
M = [Ak−1 B, Ak−2 B, . . . , AB, B],
gdzie macierz Ak−i B dla i = 1, 2, . . . , k jest odpowiednią częścią macierzy M .
Jeżeli obiekt jest sterowalny, to odpowiednie sterowanie ūk = [u0 , u1 , . . . , uk−1 ]T dla N kroków
wyznaczamy z zależności:
uk = M −1 (x∗ − Ak x0 )
Obiekt jest obserwowalny, jeżeli każdy jego stan można wyznaczyć na podstawie pomiarów wyjścia
dla skończonej liczby kroków N: yn , yn−1 , . . . , yn−N +1
Obserwowalność obiektu dyskretnego:
Dla liniowego obiektu dyskretnego o wielu wejściach:
xn+1 = Axn
yn = Cxn
konieczny i wystarczający warunek obserwowalności jest następujący:
rzD = k
3
gdzie: k jest rzędem obiektu (liczbą składowych wektora stanu), natomiast macierz D jest postaci:
D = [(Ak−1 )T C T , (Ak−2 )T C T , . . . , AT C T , C T ],
Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to wówczas:
xn = Ak−1 (DT )−1 ȳn
gdzie:
ȳn = [yn , yn−1 , . . . , yn−k+1 ]T .
4