tytułpl

Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
1/11
Ćwiczenie 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy
sygnałów stacjonarnych
2.1. WSTĘP
Celem tego ćwiczenia jest zapoznanie studenta z podstawowymi problemami analizy
częstotliwościowej sygnałów stacjonarnych metodami nieparametrycznymi, a ściślej
periodogramowymi. Zadaniem ćwiczącego jest zatem zbadanie między innymi takich cech
periodografów jak rozdzielczość, czułość, obciąŜenie i wariancja. W ramach tego ćwiczenia student
powinien poznać róŜnice pomiędzy surowym periodografem, periodografem zmodyfikowanym
oraz periodografami Bartletta oraz Welcha.
2.2. WPROWADZENIE TEORETYCZNE
Najprostszą estymatę widma gęstości mocy Sx(ejω) procesu stacjonarnego {x[n]}, którego
realizacją jest ciąg x[n] o długości L próbek zwany obserwacją, jest periodogram definicyjny
(surowy, ang. raw periodogram) otrzymujemy korzystając z zaleŜności
S K [k ] =
∆
2
1 L−1
∑ x[n ] exp(− j 2πkn K )
L n=0
(1)
gdzie k = -K/2, ..., 0, ..., K/2-1 (K – parzyste). MoŜna zauwaŜyć, Ŝe do wyznaczania periodogramu
moŜna zastosować K-punktowe DFT.
Podstawowe parametry periodografu to rozdzielczość i czułość. Rozdzielczość periodografu
definiujemy jako najmniejszą róŜnicę częstotliwości dwóch składowych sinusoidalnych sygnału,
przy której te składowe są jeszcze rozróŜnialne niezaleŜnie od róŜnicy ich faz początkowych. Z
kolei czułość periodografu definiujemy jako najmniejszy stosunek amplitud dwóch, odległych w
częstotliwości, składowych sinusoidalnych sygnału, przy której składowa o mniejszej energii
jeszcze wyróŜnia się na tle listków bocznych składowej o większej energii niezaleŜnie od róŜnicy
faz początkowych tych składowych. Czułość periodografu moŜna poprawić kosztem jego
rozdzielczości, w tym celu wprowadza się periodograf zmodyfikowany.
Koncepcję surowego periodografu łatwo rozwinąć do przedstawionego na rys. 2.1 periodografu
zmodyfikowanego. Wprowadzona tutaj modyfikacja polega na wstępnym okienkowaniu
obserwacji. Jednak gdy energia okna nie jest równa jedności konieczne jest dodatkowe
przeskalowanie periodogramu przez czynnik 1/LU, gdzie U jest dane wzorem
∆
U=
1 L−1
2
∑ wL [n]
L n=0
(2)
gdzie wL[n] jest oknem temperującym o długości L.
(lin.)
x[n]
y L [n]
EK
w L [n]
YK[k]
y K[n]
FK
K = 2 i > L; i naturalne
|Y K[k]|
| |
2
SK[k]
2
10log( )
[dB]
1/(LU)
Rys. 2.1. Schemat blokowy periodografu zmodyfikowanego. EK –uzupełnianie ciągu wejściowego zerami do długości
K, FK – K–punktowe DFT.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
2/11
Kolejnym usprawnieniem jakie moŜna wprowadzić w periodografie jest dołączenia detrendera
(rys. 2.2), który usuwa z L-próbkowej obserwacji xL[n] jej trend (liniowy) wraz ze składową stałą
(DC).
x[n]
~
x L[n]
xL[n]
yL[n]
detrender
okno prostokątne
okno temperujące
Rys. 2.2. Modyfikacja periodografu uzupełniająca okienkowanie usuwaniem trendu.
JeŜeli obserwacja stacjonarnego procesu stochastycznego jest długa, to moŜna poprawić jakość
estymaty widma gęstości mocy wykorzystując metody z uśrednianiem periodogramów (rys. 2.3). W
takiej metodzie nasza długa obserwacja jest dzielona na kilka podobserwacji, zwanych teŜ
segmentami. Dla kaŜdej z nich wyznacza się periodogram. Następnie na podstawie wyznaczonych
w ten sposób periodogramów oblicza się średni arytmetyczny periodogram.
Dla naszych potrzeb rozróŜnimy tutaj dwie metody wyznaczania uśrednianych periodogramów:
metodę Bartletta oraz metodę Welcha. W metodzie Bartletta obserwacja jest dzielona na rozłączne
podobserwacje i przy wyznaczaniu periodogramów dla poszczególnych segmentów stosuje się
okno prostokątne. W metodzie Welcha segmentacja obserwacji jest realizowana z nakładkowaniem
(33% i więcej), a przy wyznaczaniu periodogramów poszczególnych segmentów stosuje się okna
temperujące.
x[n]
Segmentacja i
nakładkowanie
x M [n]
y L[n]
EK
w M [n]
M
długość segmentó w
|YK[k]| 2
YK[k]
y K[n]
FK
S K[k]
| |2
K >M
uśrednianie po
N segmentach
1/(LU)
S w,K [k]
N
% nakładkowania
Rys. 2.3. Schemat blokowy periodografu z uśrednianiem periodogramów.
Wybór odpowiedniego periodografu i jego parametrów zaleŜy od właściwości analizowanego
sygnału. Stąd teŜ w przypadku niektórych sygnałów, zwłaszcza jeŜeli ich właściwości nie są nam
znane, periodograf i jego parametry dobiera się rekurencyjnie, testując kolejne ustawienia
następująco
1. Usuwanie trendu [opcjonalnie]
- decyzja o usuwaniu trendu
2. Dobór wielkości segmentu oraz wielkości nakładkowania
- wygładzanie kosztem rozdzielczości
3. Dobór okna czasowego
- czułość kosztem rozdzielczości
4. Wyznaczenie i ocena periodogramu
5. JeŜeli uzyskany periodogram nie jest satysfakcjonujący to powrót do p. 1, 2 albo 3.
Warto zauwaŜyć, Ŝe niekiedy pomiar róŜnych parametrów sygnału moŜe wymagać róŜnych nastaw
periodografu.
2.3. OPIS NARZĘDZIA PERGRAF
Interfejs graficzny oprogramowania o nazwie PERgraf wykorzystywanego w tym ćwiczeniu
prezentuje rys. 2.4. Program ten umoŜliwia porównanie periodogramów wyznaczonych na
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
3/11
podstawie róŜnych sygnałów stacjonarnych lub teŜ za pomocą róŜnych periodografów. Narzędzie to
umoŜliwia przebadanie dowolnego z pokrótce omówionych wyŜej periodografów poprzez
odpowiedzi dobór parametrów. Przykładowo surowy periodogram uzyskamy jeŜeli sygnał nie
będzie dzielony na segmenty (czyli liczba segmentów równa 1), okno temperujące będzie oknem
prostokątnym oraz nie będziemy stosować detrendera.
Zadawana w odpowiednich polach programu obserwacja oraz parametry periodografu mogą
być określone jako ciąg poprawnych wyraŜeń MATLABa, np. “[cos(pi/2) sinc(1.5) ones(1,3)]”,
przy czym zewnętrzne nawiasy kwadratowe nie są konieczne. Stąd teŜ moŜliwe jest definiowanie
sygnału lub parametrów za pomocą dowolnych wyraŜeń matematycznych.
Badaną obserwację wprowadza się w polu „x=”. Zadany tutaj wektor jest uwzględniany po
wyjściu z okienka edycyjnego, np. przy pomocy klawisza tabulacji. Długość obserwacji określa się
w polu „L”. MoŜna teŜ wybrać czy badamy sygnał zespolony czy sygnał rzeczywisty (wybrane pole
„real”). W tym drugim przypadku wyświetlana jest tylko połowa periodogramu (dla nieujemnych
częstotliwości unormowanych). Dodatkowo w polu „Noise” podajemy moc addytywnego
gaussowskiego szumu (nie stosunek mocy sygnału do mocy szumu!), jeŜeli pole „real” jest
zaznaczone to dodawany jest szum rzeczywisty, w przeciwnym przypadku jest dodawany szum
zespolony. JeŜeli nie chcemy by szum był dodawany naleŜy w tym polu wpisać „-inf”. Przy
wprowadzaniu wyraŜenia określającego badany sygnał moŜna dodatkowo wykorzystać symbole
„L” (długość obserwacji) oraz „n” (czas dyskretny n = 0, ..., L-1), np. moŜe to być ciąg
„linspace(0,100,L)+2*cos(pi/5*n)” – cosinus o amplitudzie 2 i pulsacji π/5 wraz z trendem
liniowym zmieniającym się od zera do 100. Obserwacja ta jest wyświetlana jest po prawej stronie
okna od góry składowa rzeczywista i urojona. W kaŜdej chwili jest dostępna funkcja powiększenia
wybranego fragmentu sygnału, wystarczy go tylko zaznaczyć za pomocą myszki.
Rys. 2.4. Przykładowy ekran programu PERgraf – badanie widma gęstości szumu białego i sinusoidy w szumie.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
4/11
Parametry periodografu podajemy w polach: „K” – określa wielkość zeropaddingu / liczbę
punktów, w których wyznaczamy wartości periodogramu, „M” – określa wielkość segmentu w
próbkach, „O” – wielkość nakładkowania w procentach, „w[n]” – okno temperujące oraz „detrend”
– określa czy realizowane jest usuwanie trendu. W polu „N” moŜna odczytać liczbę segmentów
określoną na podstawie wartości z pól „L”, „M” oraz „O”.
Liczba segmentów N jest wyznaczana, na podstawie długości pełnego ciągu L, długości
segmentu M oraz wielkości nakładkowania O w procentach, ze wzoru

O

N = floor  L −
M
100 

 
O  
 M 1 −
 
  100  
Przekształcając powyŜszy wzór moŜna wyprowadzić wzór szacunkowy na maksymalną długość
segmentu M, dla której przy zadanej wielkości nakładkowania O i długości pełnego ciągu L
zapewnia wyznaczanie periodogramu w oparciu o zadaną liczę segmentów N
M≈
L
O
N−
( N − 1)
100
W polu określającym okno temperujące naleŜy posłuŜyć się nazwą funkcji generującej
konkretne okno. Okno to powinno być o długości równej wartości wpisanej w polu „M” stąd
przykładowo w polu „w[n]” moŜemy wpisać:
a) “boxcar(M)”
- okno prostokątne,
b) “triang(M)”
- okno trójkątne,
c) “hamming(M)” - okno Hamminga,
d) “hanning(M)”
- okno von Hanna,
e) “blackman(M)” - okno Blackmana,
f) “hamming(M)”
- okno Hamminga,
g) “chebwin(M,60)” - okno Czebyszewa, okno jest dostępne jedynie jako okno o nieparzystej
długości oraz naleŜy podać dodatkowy parametr określający tłumienie listków bocznych w dB,
np. tutaj 60dB.
Wyznaczony periodogram jest wykreślany w prawym dolnym rogu okna. MoŜe on być
wykreślony w skali liniowej lub decybelowej w zaleŜności od wyboru w polu „dB” znajdującym się
po prawej stronie nad wykresem”. Dodatkowo w znajdującym się na dole po lewej polu „dY [dB]”
moŜna określić rozpiętość wykresu przy prezentacji w skali decybelowej. Podobnie jak w
przypadku badanego sygnału i tutaj moŜna przy pomocy myszki powiększyć wybrany fragment
periodogramu.
Jak widać to na rys. 2.4, narzędzie PERgraf umoŜliwia porównanie periodogramów z róŜnych
obserwacji lub uzyskanych róŜnymi metodami. Umieszczone w lewym górnym rogu okna menu
rozwijane pozwala na przełączanie się pomiędzy poszczególnymi projektami – jedynie parametry
wybranego projektu są wyświetlane. Znajdujące się poniŜej pole edycyjne pozwala zmienić nazwę
przypisaną wybranemu projektowi. Znajdujące na dole okna przyciski pola wyboru z opisami “r”,
“g”, “b” pozwalają na przypisanie odrębnego koloru wykresom wybranego projektu (dopuszczona
jest dowolna kombinacja). Do usuwania i dołączania nowego projektu słuŜą odpowiednio przyciski
“New” i “Delete”.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
5/11
2.4. OPIS SKRYPTÓW
Skrypty MATLABa do wykorzystania w ćwiczeniu:
a) zad_1(nr) gdzie nr = 1, 2, 3. Skrypt generujący ciągi o długości 500 próbek i przy załoŜeniu
szybkości próbkowania Fp = 8000 Sa/s.
b) zad_2(Fo, dF, Fs, L, phi) – skrypt generujący sygnał dyskretny o długości L złoŜony z
dwóch zespolonych składowych sinusoidalnych o tej samej amplitudzie, o częstotliwościach Fo
oraz Fo+dF róŜniących się fazami początkowymi o phi. Sygnał jest generowany przy załoŜeniu
szybkości próbkowania równej Fs.
UWAGA:
1) przy pomiarze warto skorzystać z opcji „lock” blokującej skalowanie wyświetlanego periodogramu
dla ustalonego powiększenia
2) przy doborze róŜnicy faz początkowych moŜna skorzystać z parametru A:
• w polu ‘x=’ wpisać „zad_2(1000, 70, Fs, L, A)”
• w polu A: „0” w polu dA: „pi/16”, w polu min: ”-pi”, w polu max: „+pi”
• strzałeczkami przy polu A moŜna zmieniać róŜnicę faz początkowych z jednoczesnym
odświeŜaniem periodogramu
zad_3(Fo, F1, dA_dB, Fs, L, phi) – skrypt generujący sygnał dyskretny o długości L
c)
złoŜony z dwóch zespolonych składowych sinusoidalnych o amplitudach róŜniących się o dA_dB
decybeli, o częstotliwościach Fo oraz F1 róŜniących się fazami początkowymi o phi. Sygnał jest
generowany przy załoŜeniu szybkości próbkowania równej Fs.
d) zad_7(nr) gdzie nr = 1, 2, 3. Skrypt generujący ciągi o długości 500 próbek i przy załoŜeniu
szybkości próbkowania Fp = 8000 Sa/s.
e) zad_13 – skrypt generujący sygnał testowy do zadania 2.6.13 przy załoŜeniu szybkości
próbkowania 9600 Sa/s.
f) zad_14 – skrypt generujący sygnał testowy do zadania 2.6.14.
2.5. ZADANIA DO WSTĘPNEGO PRZYGOTOWANIA
a) Zapisz wzorem periodogram zmodyfikowany SK[k], dla K > L i z oknem temperującym.
b) Naszkicuj charakterystykę amplitudową okna prostokątnego oraz podaj (zaznaczając na rysunku)
jak i od jakich parametrów tej charakterystyki zaleŜy czułość i rozdzielczość periodografu.
c) Podaj jak korzystając z twierdzenia Parsevala wyznaczyć moc sygnału w oparciu o jego
periodogram.
2.6. Zadania laboratoryjne
Surowy periodograf
2.6.1. Pomierz w oparciu o periodogram wyznaczony za pomocą surowego periodografu parametry
zadanych sygnałów (zad_1(nr), gdzie nr = 1, 2 i 3). Zestaw uzyskane wyniki z rzeczywistymi
wartościami (odczytanymi ze skryptu). Jakie dostrzegasz ograniczenia surowego periodografu?
Kiedy korzystniej korzystać ze skali liniowej a kiedy ze skali decybelowej?
2.6.2. Korzystając z sygnału generowanego skryptem zad_2 pomierz rozdzielczość surowego
periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału przy załoŜeniu szybkości próbkowania równej
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
6/11
8000 Sa/s. Określ zaleŜność pomiędzy rozdzielczością periodografu a długością obserwacji. Zbadaj
czy wielkość zeropaddingu ma wpływ na rozdzielczość periodografu? Czy pomiar rozdzielczości
lepiej realizować w skali liniowej czy w skali decybelowej?
2.6.3. Pomierz czułość surowego periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału korzystając
ze skryptu zad_3 przy załoŜeniu szybkości próbkowania równej 8000 Sa/s. Określ zaleŜność
pomiędzy czułością periodografu a długością obserwacji. Czy pomiar czułości lepiej realizować w
skali liniowej czy w skali decybelowej?
2.6.4. Korzystając z szumu białego o rozkładzie gaussowskim (randn(1,L)), pomierz wariancję
surowego periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału. Określ zaleŜność pomiędzy
wariancją periodogramu a długością obserwacji. Dla wybranej długości obserwacji zbadaj
zaleŜność wariancji periodogramu od mocy sygnału testowego.
Periodograf zmodyfikowany
2.6.5. Pomierz rozdzielczość periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana w funkcji
długości obserwacji sygnału. Określ zaleŜność pomiędzy rozdzielczością periodografu a długością
obserwacji. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla surowego periodografu.
2.6.6. Pomierz czułość periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana w funkcji długości
obserwacji sygnału. Określ zaleŜność pomiędzy czułością periodografu a długością obserwacji.
Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla surowego periodografu. Jakich wyników
naleŜy się spodziewać jeŜeli okno Blackmana zastąpić oknem Czebyszewa o poziomie listków
bocznych niezaleŜnym od częstotliwości.
Detrender
2.6.7. Zbadaj zadane sygnały (skrypt zad_7(nr) gdzie nr = 1, 2 i 3) za pomocą surowego
periodografu oraz periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana
a) bez zastosowania detrendera,
b) z zastosowaniem detrendera.
Przedyskutuj konieczność stosowania detrendera.
Periodograf Bartletta
2.6.8. Pomierz rozdzielczość periodografu Bartletta z oknem prostokątnym dla sygnału o długości
10000 próbek w funkcji długości segmentu. Określ zaleŜność pomiędzy rozdzielczością
periodografu a długością segmentu. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla
periodografu zmodyfikowanego.
2.6.9. Pomierz czułość periodografu Bartletta z oknem prostokątnym dla sygnału o długości 10000
próbek w funkcji długości segmentu. Określ zaleŜność pomiędzy czułością periodografu a
długością segmentu. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla periodografu
zmodyfikowanego.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
7/11
2.6.10. Korzystając z szumu białego o rozkładzie gaussowskim (randn(1,L)), pomierz wariancję
periodografu Bartletta w funkcji długości obserwacji sygnału dla stałej długości segmentu. Odnieś
wyniki pomiarów do wyników uzyskanych dla surowego periodografu.
Periodograf Welcha
2.6.11. Pomierz rozdzielczość periodografu Welcha z oknem prostokątnym o długości segmentu
równej 1000 dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji wielkości nakładkowania. Określ
zaleŜność pomiędzy rozdzielczością periodografu a wielkością nakładkowania. Odnieś wyniki do
wyników uzyskanych dla periodografu Bartletta.
2.6.12. Pomierz czułość periodografu Welcha z oknem prostokątnym o długości segmentu równej
1000 dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji wielkości nakładkowania. Określ zaleŜność
pomiędzy czułością periodografu a wielkością nakładkowania. Odnieś wyniki pomiarów do
wyników uzyskanych dla periodografu Bartletta.
Praktyczne zastosowanie periodografu
2.6.13. Posługując się periodografem dla zadanego sygnału (skrypt zad_13) określić liczbę
podkanałów podaj ich szerokości, częstotliwości środkowe oraz dla kaŜdego z podkanałów określ
stosunek średniej energii symbolu (przy załoŜeniu, Ŝe okres symbolowy jest odwrotnością
szerokości pasma sygnału) do widmowej gęstości mocy szumu.
2.6.14. Dla sygnału generowanego skryptem (skrypt zad_14), którego widmo gęstości mocy
przedstawiono schematycznie na poniŜszym rysunku, jak najdokładniej pomierz jego parametry.
−π
0
π/2
π
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
8/11
Nazwisko i imię..............................................................................
nr indeksu .....................
Nr komputera ..................................
Dzień tygodnia ......................... Godz. ..............
Surowy periodograf
Ad 2.6.1.
Ad 2.6.2.
Ad 2.6.3.
Ad 2.6.4.
Data ........................
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
9/11
Periodograf zmodyfikowany
Ad 2.6.5.
Ad 2.6.6.
Kiedy korzystniej jest stosować periodograf zmodyfikowany zamiast surowego a kiedy odwrotnie?
Detrender
Ad 2.6.7.
Periodograf Bartletta
Ad 2.6.8.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
 M. Blok 2008-10-20
10/11
Ad 2.6.9.
Ad 2.6.10.
Kiedy korzystniej jest stosować perdiodograf zmodyfikowany zamiast periodografu Bartletta a
kiedy odwrotnie?
Periodograf Welcha
Ad 2.6.11.
Ad 2.6.12.
Laboratorium KAS
Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy ...
Praktyczne zastosowanie periodografu
Ad 2.6.13.
Ad 2.6.14.
 M. Blok 2008-10-20
11/11