Programowanie wielokryterialne

Programowanie wielokryterialne
1. Matematyczny model sytuacji decyzyjnej
1. Podstawowe definicje i oznaczenia
Załóżmy, że decydent dokonując wyboru decyzji dopuszczalnej x = [ x1 ,..., xn ]T ∈ D kieruje się
szeregiem kryteriów f1 ,..., f K .
Zakładamy, że kryteria te są mierzalne, tj., że mogą być one wyrażone przez funkcje liczbowe.
Przy tych założeniach ocena decyzji dana
f ( x) = [ f1 ( x),..., f K ( x)]T ∈ S , gdzie S – zbiór ocen.
jest
przez
wektor
ocen
cząstkowych
2. Sformułowanie problemu
Dany jest zbiór decyzji D oraz zbiór mierzalnych kryteriów K. Wyznaczyć w zbiorze D „najlepszą”
decyzję ze względu na rozpatrywany zbiór kryteriów.
Rozważmy przypadek, gdy wyznaczenie najlepszej decyzji jest tożsame z maksymalizacją kryterium
optymalności.
Sytuacją wyjątkową będzie przypadek istnienia takiego x* ∈ D dla którego wszystkie kryteria
cząstkowe jednocześnie osiągają swe maksima (w ogólnym przepadku optima).
Decyzja lepsza ze względu na jedno kryterium będzie zazwyczaj gorsza ze względu na inne kryteria.
Kryterium optymalności znane z analizy jednokryterialnej zastępujemy tzw. optymalnością w sensie
Pareto.
2. Optymalność w sensie Pareto
Zakładając, że ze względu na każdą funkcję kryterium f1 ,..., f K decyzja x1 jest lepsza od x 2 jeżeli
f i ( x1 ) > f i ( x 2 ), i = 1,..., K , powiemy, że decyzja x1 jest lepsza od x 2
ze względu na rozpatrywany zbiór kryteriów, jeżeli
f i ( x1 ) ≥ f i ( x 2 ) dla wszystkich i = 1,..., K ,
(1)
f i ( x1 ) > f i ( x 2 ) dla co najmniej jednego i.
Powiemy, że decyzja x * jest optymalna w sensie Pareto jeżeli spełniony jest następujący warunek :
w zbirze D nie istnieje taka decyzja x, że
f i ( x1 ) ≥ f i ( x 2 ) dla wszystkich i = 1,..., K ,
(2)
f i 0 ( x1 ) > f i 0 ( x 2 ) dla co najmniej jednego i 0 .
Warunek (2) nosi nazwę warunku Pareto.
Innymi słowy decyzja jest Pareto – optymalna, gdy nie istnieje decyzja gorsza od niej pod każdym
względem, a pod jednym względem lepsza. Każda decyzja lepsza od niej ze względu na pewne
kryterium, musi być od niej gorsza ze względu na inne.
Zbiór decyzji optymalnych w sensie Pareto nazywa się zbiorem decyzji niezdominowanych lub
sprawnych. Zbiór ten jest podzbiorem zbioru D. W szczególności może być identyczny ze zbiorem D.
Rzadko bywa zbiorem jednoelementowym.
1
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
Wynika stąd, że w ogólnym przypadku zbiór decyzji optymalnych w sensie Pareto nie pozwala na
jednoznaczny wybór decyzji „najlepszej”.
Zbiór ten można zawęzić (w szczególności do zbioru jednoelementowego) przyjmując dodatkowe
założenia odnośnie relacji ważności między kryteriami.
Przykład
W tabeli podano zyski (mln zł) i udział w rynku (%), jaki firma spodziewa się osiągnąć stosując
wybrane strategie marketingowe. Wyznaczmy strategie Pareto – optymalne.
Strategie marketingowe
Kryteria
A
B
C
D
E
4
3
4
2
3.5
Zysk (mln zł) ( f 1 )
Udział w rynku (%) ( f 2 )
30
30
40
30
50
f 2 (x )
()
50
● E
40
30
●C
● D
● B
● A
2
3
4
f1 (x )
Współrzędne każdego z punktów dane są przez wartości kryteriów cząstkowych charakteryzujących
poszczególne strategie (przy sporządzaniu rysunku wykorzystano przestrzeń kryterialną). Oba kryteria
są maksymalizowane. Strategiami Pareto - optymalnymi są C i E
Dla strategii C i E nie można wskazać strategii lepszych ze względu na jedno kryterium, a nie
gorszych ze względu na drugie. Są one Pareto - optymalne. Pozostałe strategie to strategie
zdominowane. Dla każdej ze strategii zdominowanych można wskazać lepszą od niej strategię ze
zbioru strategii Pareto - optymalnych. Na przykład strategie C i E są lepsze od strategii B . Nie każda
ze strategii Pareto - optymalnych musi dominować strategię zdominowaną. Strategia A jest
dominowana przez C , ale już nie przez E .
●
A
●
●
D
●
●
C
E
Alternatywnym sposobem prezentacji relacji preferencji jest diagram Hassego. Jest to graf, którego
wierzchołki reprezentują decyzje. Jeżeli decyzja X dominuje decyzję Y , od wierzchołka
reprezentującego pierwszą z nich kreślimy łuk prowadzący do wierzchołka reprezentującego drugą
decyzję. Jeżeli decyzje są nieporównywalne, odpowiadające im wierzchołki nie są połączone łukiem.
Z decyzjami Pareto - optymalnymi korespondują wierzchołki, do których nie dochodzą żadne łuki.
Opisana wyżej reprezentacja relacji preferencji jest niezbędna w przypadku, gdy wektory ocen decyzji
zawierają więcej niż dwie składowe.
2
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
3. Postępowanie w przypadku nieporównywalności decyzji
Decyzje Pareto – optymalne nie są porównywalne: nie można powiedzieć, że jedna z nich jest lepsza
od drugiej. W sensie warunku (2). Wprowadzając dodatkowe warunki ograniczamy zbiór decyzji
Pareto optymalnych do jednego punktu.
W praktyce zadanie programowania wielokryterialnego staramy się sprowadzić do zadania
jednokryterialnego.
1. Maksymalizacja celu głównego
Jedno z kryteriów cząstkowych traktujemy jako cel główny postulując jego maksymalizację. Chcąc
uwzględnić pozostałe kryteria cząstkowe, żądamy, aby każde z nich zostało zrealizowane w
minimalnym satysfakcjonującym stopniu. Przyjmując, że f1 jest celem głównym, f 2 ,..., f K celami
pobocznymi zadanie optymalizacyjne przybiera postać :
f i ( x) → max
(3)
x∈D
f i ( x) ≥ bi i = 2,..., K ,
gdzie b2 ,..., bK – minimalne wymagane poziomy realizacji celów cząstkowych.
2. Metakryterium
Zakłada się że decydent – pomimo że kieruje się w swym postępowaniu wieloma kryteriami – jest
zdolny do przypisania układowi wartości osiąganych przez te kryteria dla każdej decyzji
dopuszczalnej – jednej wartości liczbowej nazywanej użytecznością.
Zakłada się więc, że decydent jest zdolny do wskazania funkcji
(4)
u ( x) = u[ f1 ( x), f 2 ( x),..., f K ( x)]T
której maksymalizacja jest równoważna ze znalezieniem rozwiązania najlepszego ze względu na
wszystkie kryteria. Funkcja ta nosi nazwę metakryterium.
a) Ważona suma kryteriów
Postać
(5)
u ( x) =
K
∑ w f ( x), w ≥ 0 i = 1,..., K ,
i i
i
i =1
gdzie wi nazywane są wagami, określając względne znaczenie przypisywane przez decydenta i – temu
kryterium. Są one w sposób subiektywny określane przez decydenta.
Ponieważ istotne są tylko ich stosunki, a nie wartości absolutne, najczęściej poddaje się je zabiegowi
normalizacji, przyjmując że
K
(6)
∑w
i
= 1.
i =1
Warunkiem sensowności tego podejścia jest wyrażenie wartości kryteriów cząstkowych
- w tych samych jednostkach pomiaru,
- na tej samej skali liczbowej.
b) Ważona suma stopni realizacji kryteriów cząstkowych
Próbą ominięcia problemów nieporównywalności skal liczbowych i jednostek jest maksymalizacja
ważonej sumy realizacji celów cząstkowych
3
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
Załóżmy, że wszystkie kryteria cząstkowe są maksymalizowane, a zbiór D jest niepusty. Oznaczmy
przez f i* maksymalną wartość i-tego kryterium osiąganą w zbiorze D :
f i* = max f i ( x), i = 1,..., K .
(7)
x∈D
Zakładamy, że f i* > 0, f i ( x) ≥ 0, i = 1,...K , x ∈ D.
Zdefiniujmy wielkość
fi ( x )
fi*
nazywaną stopniem realizacji i –tego celu cząstkowego przez decyzję x.
Jest ona wielkością bezwymiarową.
Przy przyjętych założeniach iloraz f i ( x ) f * > 0
i
i = 1,...K , x ∈ D .
Metakryterium przyjmuje następującą postać :
(8)
m( x ) =
K
∑w
i
i =1
Ponieważ
fi ( x )
fi*
fi ( x )
f i*
K
,
∑w
i
= 1, wi ≥ 0 i = 1,..., K , x ∈ D.
i =1
nie mają miana, metakryterium można stosować w przypadku kryteriów wyrażonych
w różnych jednostkach lub/i skalach liczbowych.
Stanowi ono syntetyczny miernik satysfakcji, osiągając wartość równą 1 w tym punkcie (o ile taki
punkt istnieje), w którym wszystkie kryteria cząstkowe osiągają swe maksima cząstkowe,
0 ≤ m( x ) ≤ 1 .
3. Minimalizacja odległości od punktu idealnego
Niech f1* ,..., f K* będą maksymalnymi wartościami funkcji f1 ,..., f K osiąganymi w zbiorze D.
Oznacza to, że istnieją takie x1 ,..., xK ∈ D , że
(9)
f 1 ( x1 ) = f 1* , f 2 ( x 2 ) = f 2* ,..., f K ( x K ) = f K*
Z tego nie wynika, że w zbiorze D istnieje takie x o dla którego
(10)
f1 ( x o ) = f1* , f 2 ( x o ) = f 2* ,..., f K ( x o ) = f K* ,
tj. taka decyzja która maksymalizuje wszystkie kryteria cząstkowe.
Może ona w ogóle nie istnieć, lub też istnieć, ale znajdować się poza zbiorem D.
Można jednak postulować wybór takiej decyzji x*∈ D która leży „najbliżej” punktu idealnego
M ( f1* ,..., f K* ) .Taką decyzję można uznać za optymalną.
Punkt M należy do D jeżeli istnieje taki punkt w którym wszystkie kryteria osiągają swoje maksima.
W przeciwnym razie punkt ten leży poza zbiorem D.
4. Problem wyznaczania rankingu banków
Każdy z banków oceniany jest ze względu na następujące kryteria :
- wysokość oprocentowania depozytów rocznych o zmiennej stopie procentowej,
- liczbę placówek,
- stosunek kapitałów własnych do aktywów ogółem.
Pierwsze kryterium ocenia zyskowność inwestycji, drugie – dostępność usług, trzecie – poziom
bezpieczeństwa inwestycji.
W tabeli podano oceny banków ze względu na rozpatrywane kryteria.
4
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
Kryterium
A
4.5
1000
8
f1 (%)
f2
f3 (%)
Banki
C
4.75
500
10
B
5
200
6
D
5
400
7
E
5
100
5
Przeprowadziwszy badania marketingowe w grupie potencjalnych klientów poszczególnym kryteriom
przypisano następujące wagi : 0.6, 0.2, 0.2.
Sporządzić ranking banków. W rankingu uwzględnić tylko te banki dla których stopnie
realizacji celów cząstkowych są nie mniejsze od 0.7, 0.2, 0.5.
Cele cząstkowe są wyrażone w różnych jednostkach, dlatego w celu dokonania ranking banków
korzystamy z metakryterium (8) wyznaczając wartość m(x) dla każdego z banków i porządkując je na
skali preferencji od najlepszego do najgorszego.
Wyznaczamy w tym celu, korzystając z (7), maksymalne wartości
f i* , i = 1,...,3 osiągane w zbiorze D: f1* = 5, f 2* = 1000, f 3* = 10.
kryteriów cząstkowych
Konstruujemy macierz względnych poziomów realizacji celów cząstkowych :
Stopnie
realizacji
f1(x)/ f1*
f2(x)/ f2*
f3(x)/ f3*
m(x)
A
0.9
1
0.8
0.9
B
1
0.2
0.6
0.76
Banki
C
0.95
0.5
1
0.87
D
1
0.4
0.7
0.82
E
1
0.1
0.5
X
wi
0.6
0.2
0.2
X
Ze zbioru banków eliminujemy bank E z uwagi na niespełnienie warunku realizacji drugiego
kryterium w minimalnym stopniu.
Bank
Wartość m(x)
A
0.9
B
0.76
C
0.87
D
0.82
Ranking : A – C – D – B.
Stopień realizacji celu cząstkowego można wyznaczać wykorzystując wiele formuł. Niech
f i** oznacza minimalną wartość i –tego kryterium osiąganą w zbiorze D:
(11)
f i** = min f i ( x), i = 1,..., K .
x∈D
Niekiedy stopień realizacji celu cząstkowego ri(x) wyznacza się według wzoru :
f ( x) − f i**
(12)
ri ( x) = i *
, i = 1,..., K , x ∈ D .
f i − f i**
Z
(12) wynika, że 0 ≤ ri ( x) ≤ 1, i = 1,..., K , x ∈ D :
ri ( x) = 0
dla
f i ( x) = f i** , ri ( x) = 1 dla
f i ( x ) = f i* .
Oznacza to, że tak zdefiniowany stopień realizacji jest wielkością unormowaną na przedziale [0,1].
Wielkości f i ( x), f i* , f i** mogą przyjmować dowolne wartości.
Wyznaczamy, korzystając z (11), minimalne wartości kryteriów cząstkowych f i** , i = 1,...,3 osiągane
w zbiorze D (pomijamy bank E): f 1* = 4.5, f 2* = 2000, f 3* = 6.
5
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
f1* − f1** = 0.5, f 2* − f 2** = 800, f 3* − f 3** = 4 .
Macierz względnych poziomów realizacji celów cząstkowych przybiera postać :
Stopnie
realizacji
ri(x)
ri(x)
ri(x)
m(x)
Banki
A
0
1
1/2
0.3
Bank
Wartość m(x)
B
1
0
0
0.6
C
1/2
3/8
1
0.59375
A
0.3
B
0.6
D
1
1/4
1/4
0.7
C
0.59375
wi
0.6
0.2
0.2
X
D
0.7
Ranking : D – B – C – A.
Taki sposób wyznaczania wartości ri(x) może zbytnio faworyzować względne różnice kosztem
wartości absolutnych, co może w sposób niepożądany zniekształcać ranking, w szczególności gdy
różnice względne osiągają niewielkie wartości dla kryterium któremu przypisano dużą wagę :
powoduje to przecenianie małych różnic.
W przypadku minimalizacji kryterium ri(x) proponuje się wyznaczać według wzoru :
f * − f ( x)
(13)
ri ( x) = i * i **
fi − fi
Z (13) wynika, że 0 ≤ ri ( x) ≤ 1 : ri ( x) = 0 dla f i ( x) = f i* , ri ( x) = 1 dla f i ( x) = f i** .
f i**
ri ( x) = 1
f i*
ri ( x) = 0
6