STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I

Transkrypt

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA
POMIARÓW I
B. Kamys 2014/15
B. Kamys
(Instytut Fizyki UJ)
SMOP I
2014/15
1 / 80
Podstawy teorii prawdopodobie«stwa
DEFINICJA: Zbiór zdarze« elementarnych - zbiór takich zdarze«, które
sie
wzajemnie wykluczaja
oraz wyczerpuja
wszystkie
mo»liwo±ci (tzn. w ka»dym mo»liwym przypadku
przynajmniej jedno z nich musi zachodzi¢).
DEFINICJA: Zdarzeniem jest dowolny podzbiór zdarze« elementarnych E .
DEFINICJA: Zdarzeniem pewnym jest zdarzenie zawieraja
ce wszystkie
elementy zbioru E (zachodzi zawsze).
DEFINICJA: Zdarzeniem niemo»liwym jest zdarzenie nie zawieraja
ce
»adnego elementu zbioru E tj. zbiór pusty ∅.
A
B je»eli ka»de
A nale»y do B :
DEFINICJA: Zdarzenie
zawiera sie
w zdarzeniu
zdarzenie elementarne nale»a
ce do zbioru
A⊂B
B. Kamys
SMOP I
2014/15
2 / 80
A B
A B B A
Suma zdarze« A + B
DEFINICJA: Zdarzenia
i
sa
równe
gdy
⊂ i ⊂ .
DEFINICJA:
to zdarzenie zawieraja
ce te i tylko te zdarzenia elementarne,
które nale»a
do któregokolwiek ze zdarze« ,
(suma
S
logiczna zbiorów zdarze« elementarnych
).
A B
A B
A B
DEFINICJA: Ró»nica zdarze«
−
to zdarzenie zawieraja
ce te i tylko te zdarzenia elementarne,
które nale»a
do zdarzenia
a nie nale»a
do zdarzenia .
A B
A
B
DEFINICJA: Iloczyn zdarze«
· to zdarzenie zawierajace te i tylko te
zdarzenia elementarne, które nale»a
do wszystkich zdarze« ,
T
(tzn. w je
zyku zbiorów
).
B
DEFINICJA:
B. Kamys
A B
Zdarzeniem przeciwnym do A: A nazywamy ró»nice
E −A.
SMOP I
2014/15
A
3 / 80
INTUICYJNE OKRELENIE: Zdarzenie losowe to takie, o którym zwykle
nie mo»emy powiedzie¢ czy zajdzie w danych warunkach czy
te» nie zajdzie.
DEFINICJA: Zdarzeniem losowym - nazywamy zdarzenie speªniaja
ce
poni»sze warunki:
1 W zbiorze zdarze« losowych znajduje sie
zdarzenie
pewne oraz zdarzenie niemo»liwe.
A1 , A2 , ... w ilo±ci sko«czonej lub
przeliczalnej sa
zdarzeniami losowymi to ich iloczyn i ich
suma sa równie» zdarzeniami losowymi.
Je»eli A1 i A2 sa
zdarzeniami losowymi to ich ró»nica
2 Je»eli zdarzenia
3
jest równie» zdarzeniem losowym.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
4 / 80
DEFINICJA: Zmienna
losowa
nazywamy jednoznaczna funkcje
rzeczywista
( ) okre±lona
na zbiorze E zdarze«
elementarnych taka
, »e ka»demu przedziaªowi warto±ci funkcji
typu (−∞, ) odpowiada zdarzenie losowe.
Xe
X
x
DEFINICJA: Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego) to taka,
która przyjmuje tylko co najwy»ej przeliczalny zbiór warto±ci.
DEFINICJA: Zmienna losowa typu cia
gªego - mo»e przyjmowa¢ dowolne
warto±ci od minus do plus niesko«czono±ci.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
5 / 80
DEFINICJA: Denicja prawdopodobie«stwa
Aksjomat 1: Ka»demu zdarzeniu losowemu przyporza
dkowana jest
jednoznacznie nieujemna liczba rzeczywista zwana
prawdopodobie«stwem.
Aksjomat 2: Prawdopodobie«stwo zdarzenia pewnego jest równe jedno±ci.
Z
Aksjomat 3: Je»eli zdarzenie losowe
jest suma
sko«czonej lub
przeliczalnej liczby rozªa
cznych zdarze« losowych 1 , 2 ,..
to prawdopodobie«stwo zrealizowania sie
zdarzenia
jest
równe sumie prawdopodobie«stw zdarze« 1 , 2 , ..
Z Z
Z Z
Z
A
Aksjomat 4: Prawdopodobie«stwo warunkowe zdarzenia
pod
warunkiem, »e zachodzi zdarzenie ; ( | ) wyra»a sie
wzorem:
B PA B
P (A | B ) = PP(A(B·B) )
Prawdopodobie«stwo to jest nieokre±lone, gdy
prawdopodobie«stwo zdarzenia
wynosi zero.
B
B. Kamys
SMOP I
2014/15
6 / 80
Zdarzenie przeciwne do
A
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa
:
P (A) = 1 − P (A)
Dowód:
A + A = E a wiec P (A + A) = P (E) = 1,
sie
wie
c
z drugiej strony A i A wykluczaja
P (A + A) = P (A) + P (A).
Sta
d P (A) = P (E) − P (A) czyli P (A) = 1 − P (A) c.b.d.o.
Zdarzenie niemo»liwe :
P (∅) = 0
Dowód:
E i ∅ wykluczaja sie wiec (E + ∅) = (E) + (∅) oraz
E + ∅ = E a wiec (E + ∅) = (E), czyli (∅) = 0
P
P
P
P
P
P
c.b.d.o.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
7 / 80
Zdarzenie
A zawiera sie w B
Dowód:
:
P (A) ≤ P (B )
P (B ) = P (A + (A · B )) = P (A) + P (A · B ) ≥ P (A)
c.b.d.o.
Dowolne zdarzenie losowe :
0≤
P (A) ≤ 1
Dowód: Dla ka»dego zdarzenia jest prawdziwe:
∅⊂
A+∅=A=A·E ⊂E
a wiec prawdopodobie«stwa zdarze« ∅,
0 ≤ P (A) ≤ 1
A i E speªniaja:
c.b.d.o.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
8 / 80
A+B :
P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (A · B )
Suma dowolnych zdarze«
Dowód:
Zarówno +
jak i
mo»emy zapisa¢ jako sumy rozªa
cznych
(wykluczaja
cych sie
) zdarze«:
A B
A+B
B
B
=
=
A + (B − A · B ) oraz
A · B + (B − A · B ),
stosujemy aksjomat nr 3 denicji prawdopodobie«stwa,
P (A + B )
P (B )
odejmujemy stronami:
=
=
P (A) + P (B − A · B ),
P (A · B ) + P (B − A · B )
P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (A · B )
c.b.d.o.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
9 / 80
Iloczyn zdarze«
A·B :
P (A · B ) = P (B ) · P (A | B ) = P (A) · P (B | A)
Dowód:
Wynika to automatycznie z 4 aksjomatu denicji
prawdopodobie«stwa.
DEFINICJA: Zdarzenie A jest niezale»ne od B gdy
TWIERDZENIE: Je»eli
P (A | B ) = P (A).
A nie zale»y od B to B nie zale»y od A.
Dowód:
Korzystamy z dwu wzorów na prawdopodobie«stwo ·
podanych wy»ej, przy czym w pierwszym z nich uwzgle
dniamy, »e
jest niezale»ne od . Wówczas z porównania obu wzorów
dostajemy ( | ) = ( ).
A B
A
PB A
B
PB
c.b.d.o.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
10 / 80
WKW niezale»no±ci:
P (A · B ) = P (A) · P (B )
Dowód:
Wynika to automatycznie ze wzoru na prawdopodobie«stwo
iloczynu zdarze«.
c.b.d.o
Formuªa caªkowitego prawdopodobie«stwa: Je»eli istnieje zbiór zdarze«
cych sie wzajemnie i wyczerpuja
cych
2 , ... wykluczaja
wszystkie mo»liwo±ci wówczas prawdopodobie«stwo
dowolnego zdarzenia
mo»e by¢ zapisane naste
puja
co:
A
B
P (B ) =
P
i
A1 ,
P (Ai ) · P (B | Ai )
Dowód:
B = B · A (suma rozªacznych zdarze«) a wiec
P
P (B ) = P (B · A ) a ka»dy skªadnik mo»na zapisa¢ jako
P (A ) · P (B | A ). c.b.d.o.
P
i
i
i
i
i
B. Kamys
i
SMOP I
2014/15
11 / 80
Ilo±ciowy opis zmiennych losowych
Ilo±ciowy opis zmiennych losowych uzyskujemy stosuja
c
• Dystrybuante
(Zwana czesto przez statystyków funkcja
rozkªadu)
• Rozkªad prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych dyskretnych)
• Funkcje
ge
sto±ci prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych
cia
gªych) oraz wielko±ci charakteryzuja
ce te powy»ej wymienione twory.
DEFINICJA: Dystrybuanta
F(x) nazywamy prawdopodobie«stwo tego, »e
zmienna losowa
przyjmie warto±¢ mniejsza
od .
( - to symbol zmiennej losowej a to jej konkretna
warto±¢). Oczywi±cie dystrybuanta jest funkcja
.
X
X
x
F (x ) ≡ P (X
B. Kamys
SMOP I
x
x
< x)
2014/15
12 / 80
Wªasno±ci dystrybuanty:
1
2
3
4
5
Przykªad:
0 ≤ F (x ) ≤ 1
F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
F (x ) jest niemalejaca funkcja
F (x ) nie posiada wymiaru
Dla rzutu kostka
do gry, gdzie jako zmienna
losowa
przyje
to
liczbe
wyrzuconych punktów:
F (x )
= 0 dla
=
=
=
=
x ≤ 2,
2/6 dla 2 < x ≤ 3,
3/6 dla 3 < x ≤ 4,
4/6 dla 4 < x ≤ 5,
5/6 dla 5 < x ≤ 6,
1 dla x > 6
= 1/6 dla 1 <
=
B. Kamys
x ≤ 1,
SMOP I
2014/15
13 / 80
x i
DEFINICJA: Rozkªad prawdopodobie«stwa : Je»eli i ( = 1, 2, ...) sa
warto±ciami dyskretnej zmiennej losowej to rozkªadem
prawdopodobie«stwa nazywamy zespóª prawdopodobie«stw:
PP(X = xi ) = pi
pi = 1
i
Przykªad: Rozkªad prawdopodobie«stwa dla rzutu kostka
do gry
omawianego powy»ej: i = 1/6 dla = 1, 2..6.
p
B. Kamys
SMOP I
i
2014/15
14 / 80
DEFINICJA: Funkcja ge
sto±ci prawdopodobie«stwa f(x):
f (x )dx ≡ P (x ≤ X
≤
x + dx )
Wªasno±ci funkcji ge
sto±ci prawdopodobie«stwa:
f (x ) ≥ 0,
f (Rx +∞
) jest unormowana
tj. −∞ f (x )dx = 1
dF (x )
3 f (x ) = dx
4 wymiar f (x ) = wymiar (1/x )
Rozkªad jednostajny na odcinku [a , b ]:
1
2
Przykªad:


f (x ) = 
B. Kamys
0
1/(b − a )
0
SMOP I
dla x < a
dla a ≤ x ≤ b
dla x > b
2014/15
15 / 80
Funkcje zmiennej losowej
Funkcja Y zmiennej losowej X:
Y
=
Y (X )
jest równie» zmienna
losowa
. Dlatego te» mo»na dla niej
okre±li¢ dystrybuante
, rozkªad prawdopodobie«stwa lub
funkcje ge
sto±ci prawdopodobie«stwa. Sa
one prosto
zwia
zane z odpowiednimi wielko±ciami dla zmiennej .
Nale»y rozpatrzy¢ niezale»nie przypadek, gdy funkcja ( )
jest monotoniczna oraz gdy nie posiada tej wªasnosci. W
pierwszym wypadku mo»na jednoznacznie okre±li¢ funkcje
odwrotna
= ( ) a w drugim caªy przedziaª warto±ci
trzeba podzieli¢ na rozªa
czne podprzedziaªy, w których
funkcja bedzie monotoniczna a wyniki doda¢
(prawdopodobie«stwa rozªa
cznych zdarze« sumuja
sie).
X
Y X
X
B. Kamys
XY
X
SMOP I
2014/15
16 / 80
Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):
Dystrybuanta G(y) rosna
cej funkcji Y(X) wynosi:
G (y ) = F (x (y ))
Dowód:
Wychodza
c z denicji dla Y(X) rosna
cej:
G (y )
=
=
=
B. Kamys
SMOP I
P (Y < y )
P (X (Y ) < x )
F (x (y ))
2014/15
17 / 80
Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):
Dystrybuanta G(y) maleja
cej funkcji Y(X) wynosi:
G (y ) = 1 − F (x (y )) − P (x ; y = y (x ))
Dowód: Wychodza
c z denicji dystrybuanty
G (y )
=
=
=
=
=
B. Kamys
P (Y < y )
P (X (Y ) > x )
1 − P (X (Y ) ≤ x )
1 − P (X (Y ) < x ) − P (X (Y ) = x )
1 − F (x (y )) − P (x ; Y = y (x )) c .b .d .o .
SMOP I
2014/15
18 / 80
P (yi ) = P (xi ; yi = Y (xi )) bo dla
funkcji monotonicznej warto±ci xi sa
jednoznacznie zwia
zane
z wartosciami yi .
Rozkªad prawdopodobie«stwa P(y):
g (y ) = f (x (y )) | dxdy(y ) |
gdzie X (Y ) jest funkcja
odwrotna
do Y (X ). Z denicji:
f (x )dx = P (x ≤ X < x + dx ) a to prawdopodobie«stwo
przy jednoznacznym zwia
zku miedzy X i Y wynosi
P (y ≤ Y < y + dy ) = g (y )dy .
Iloraz niesko«czenie maªych przyrostów dy /dx równy jest
Funkcja ge
sto±ci prawdopodobie«stwa g(y):
pochodnej z dokªadno±cia
do znaku. A wie
c moduª przy
pochodnej pojawia sie
sta
d, »e przy maleja
cej funkcji ( )
pochodna be
dzie ujemna a iloraz niesko«czenie maªych
przyrostów jest zawsze dodatni.
Y X
B. Kamys
SMOP I
2014/15
19 / 80
Przykªad dla funkcji monotonicznej:
rzeczywiste staªe.
Y (X ) = aX + b ; a i b to
Rozkªad prawdopodobie«stwa:
P (Y
Dystrybuanta:
= yi ) =
P (axi + b = yi ) = P (xi
i
a > 0 G (y ) = F x = y −a b
y −b − P x = y −b
dla a < 0 G (y ) = 1 − F x = a
a
dla
Ge
sto±¢ prawdopodobie«stwa:
B. Kamys
b
= y−
a ).
g (y ) = |a1| f (x = y −a b ) .
SMOP I
2014/15
20 / 80
Przykªad dla funkcji niemonotonicznej:
Y (X ) = X 2
1.) Rozkªad prawdopodobie«stwa wynosi:
P (yi ) = P (X 2 = yi ) = P (X
2.) Dystrybuanta wynosi:
G (y )
G (y )
G (y )
=
=
=
=
√
√
= − y i ) + P (X = + y i )
P (Y < y ) = P (X 2 < y )
P (−√y < X < +√y )
0 dla y ≤ 0
F (√y ) − F (−√y ) dla y ≥ 0
3.) Rozkªad ge
sto±ci prawdopodobie«stwa wynosi:
g (y )
g (y )
=
=
B. Kamys
dla y < 0
−1
1
√
√
| √ | f ( y ) + √ f (− y )
2 y
2 y
1
√
√
√ (f ( y ) + f (− y )) dla y ≥ 0
2 y
= 0
SMOP I
2014/15
21 / 80
Charakterystyki opisowe
W praktycznych zastosowaniach cze
sto wystarcza poznanie warto±ci
pewnych wielko±ci, które charakteryzuja
rozkªad prawdopodobie«stwa
zamiast peªnej informacji o rozkªadzie.
Oto najcze±ciej stosowane:
x
DEFINICJA: fraktyl q (zwany równie» kwantylem) jest to taka warto±¢
zmiennej losowej, »e prawdopodobie«stwo znalezienia
mniejszych od niej warto±ci wynosi :
P (X
< xq ) ≡
q
F (xq ) = q
Najwa»niejsze fraktyle to dolny kwartyl: x0.25 , górny kwartyl: x0.75
oraz mediana: x0.5 .
B. Kamys
SMOP I
2014/15
22 / 80
DEFINICJA: Moda (zwana równie» warto±cia
modalna
) jest to taka
warto±¢ zmiennej losowej, dla której rozkªad
prawdopodobie«stwa (lub funkcja ge
sto±ci
prawdopodobie«stwa) przyjmuje maksimum.
DEFINICJA: Rozkªady prawdopodobie«stwa posiadaja
ce jedna
mode
zwane sa
jednomodalnymi a te, które maja
wiecej ni» jedna
- wielomodalnymi.
DEFINICJA: Warto±¢ oczekiwana, warto±¢ ±rednia lub nadzieja
matematyczna. Bedziemy go oznaczali przez E(X)
^ ).
(stosuje sie
równie» oznaczenie M(X) lub X
P
E(X ) ≡ R i xi · pi
E(X ) ≡ x · f (x )
B. Kamys
dx
SMOP I
dla zmiennych dyskretnych,
dla zmiennych cia
gªych
2014/15
23 / 80
E (X ) jest wspóªrzedna punktu, który
INTERPRETACJA E(X):
byªby ±rodkiem masy rozkªadu prawdopodobie«stwa (lub pola pod funkcja
ge
sto±ci prawdopodobie«stwa) gdyby
prawdopodobie«stwa poszczególnych
warto±ci i traktowa¢ jako masy
(lub odpowiednio ge
sto±¢ prawdodobie«stwa jako zwykªa
gesto±¢).
x
B. Kamys
SMOP I
2014/15
24 / 80
E (X ) jest operatorem liniowym a wiec:
P
P
E ( i Ci · Xi ) = i Ci · E (Xi )
WASNOCI E(X) :
1
co w szczególnych przypadkach daje:
• E (C ) = C
• E (C · X ) = C · E (X )
• E (X1 + X2 ) = E (X1 ) + E (X2 )
niezale»nych
Q
= E {Xi }
2 Dla zmiennych
E
Q
i
Xi
X1 , ..., Xn
i
UWAGA: Warunkiem koniecznym i wystarczaja
cym by zmienne byªy
niezale»ne jest aby wspólny rozkªad prawdopodobie«stwa
faktoryzowaª sie:
( 1 , 2 , .., n ) = 1 ( 1 ) · 2 ( 2 )... n ( n ).
f X X
B. Kamys
X
f X
SMOP I
f X
f X
2014/15
25 / 80
Y
Y X
Dla funkcji zmiennej X;
= ( ) warto±¢ oczekiwana
znaleziona przy pomocy rozkªadu zmiennej
konieczno±ci szukania rozkªadu ( ):
E (Y ) =
i y (xi ) · pi ,
P
E (Y ) mo»e by¢
X bez
gy R
E (Y ) = y (x ) · f (x ) · dx
odpowiednio dla zmiennej dyskretnej i dla zmiennej cia
gªej.
k
x
DEFINICJA: Momentem rozkªadu rze
du wzgle
dem punktu 0 ,
nazywamy naste
puja
ca
wielko±¢:
mk (x0 ) ≡ E {(x − x0 )k }
czyli
R
mk (x0 ) ≡ (x − x0 )k · f (x ) · dx
P
mk (x0 ) ≡ i (xi − x0 )k p (xi )
odpowiednio dla zmiennych cia
gªych i dyskretnych.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
26 / 80
Najwa»niejszymi momentami sa
te, które
liczone sa
wzgle
dem pocza
tku ukªadu wspóªrze
dnych tj. 0 = 0
(oznacza sie je zwykle przez k )
oraz
momenty liczone wzgle
dem 0 = 1 tj. wzgle
dem pierwszego momentu
liczonego od pocza
tku ukªadu wspóªrze
dnych. Te ostatnie momenty
nazywa sie
momentami centralnymi (zwykle oznaczane sa
przez µk ).
x
m
x
UWAGA:
B. Kamys
m
m1 ≡ E (x );
SMOP I
µ1 ≡ 0
2014/15
27 / 80
DEFINICJA: µ2 , zwany wariancja
lub dyspersja
. Bedziemy go oznacza¢
przez σ 2 ( ) lub
( ) (stosuje sie równie» oznaczenie
( )).
DX
X
var X
DEFINICJA: Pierwiastek z wariancji nazywany jest odchyleniem
standardowym i oznaczany σ( ) ale czasami u»ywa sie
równie» nazwy dyspersja.
X
P
σ 2 (X ) ≡ R i (xi − E (x ))2 · pi
zmienna dyskretna
2
2
σ (X ) ≡ (x − E (x )) · f (x ) · dx
zmienna cia
gªa
B. Kamys
SMOP I
2014/15
28 / 80
WASNOCI WARIANCJI: Wariancja mo»e by¢ wyra»ona przez momenty
liczone wzgledem pocza
tku ukªadu wspóªrzednych:
σ 2 (X ) =
σ 2 (X ) =
m2 − m12
E (X 2 ) − E 2 (X )
DOWÓD: Korzystamy z trzeciej wªasno±ci warto±ci oczekiwanej tj.
m2 (E (X ))
≡
=
=
=
E ((X − E (X ))2 )
E (X 2 − 2X · E (X ) + E 2 (X ))
E (X 2 ) − 2E (X ) · E (X ) + E 2 (X )
E (X 2 ) − E 2 (X )
c.b.d.o.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
29 / 80
•
var (C ) = 0
•
var (C · X ) = C 2 · var (X )
bo
E (C 2 ) − E 2 (C ) = C 2 − C 2 = 0 c.b.d.o.
jest to nastepstwo liniowo±ci E(X), przez która
deniowali±my var(X).
•
var (C1 · X + C2 ) = C12 · var (X )
Przesuni¦cie skali o C2 nie zmienia wariancji a pomno»enie zmiennej
przez C1 wprowadza czynnik C12 j.w.
• Dla zmiennych niezale»nych
B. Kamys
var (
SMOP I
i Ci · Xi ) =
P
2
i Ci · var (X )
P
2014/15
30 / 80
DOWÓD: Wzór ten ªatwo wyprowadzi¢ przypominaja
c denicje
wariancji i korzystaja
c z trzeciej wªasno±ciwarto±ci
oczekiwanej:
var (y =
2
i Ci · Xi ) ≡ E (y − E (Y ))
P
.
Po wstawieniu do wzoru oraz podniesieniu do kwadratu
otrzymamy sume
kwadratów wyra»e« i · ( i − ( i ))
oraz iloczyny mieszane tych wyra»e«.
C
X
EX
Iloczyny mieszane znikna
w chwili gdy podziaªa na nie
zewne
trzny operator warto±ci oczekiwanej (bo
( − ( )) = ( ) − ( ) = 0).
E X
EX
EX
EX
Zaªo»enie niezale»no±ci jest potrzebne przy liczeniu warto±ci
oczekiwanej z iloczynów mieszanych (wówczas warto±¢
oczekiwana iloczynu równa jest iloczynowi warto±ci
oczekiwanych). Suma warto±ci oczekiwanych z kwadratów
wyra»e« i · ( i − ( i )) jest wªa±nie poszukiwanym przez
nas wyra»eniem.
C
B. Kamys
X
EX
SMOP I
2014/15
31 / 80
Interpretacja wariancji wynika z nierówno±ci Czebyszewa, która
mo»na
zapisa¢ naste
puja
co:
P (| X − E (X ) |≥ a · σ(X )) ≤ a−2
TWIERDZENIE:
Prawdopodobie«stwo odchylenia warto±ci zmiennej losowej od warto±ci
oczekiwanej E(X) o -krotna
warto±¢ odchylenia standardowego jest
1
mniejsze lub równe od a 2 .
a
Twierdzenie to jest sªuszne dla wszystkich rozkªadów, które posiadaja
wariancje
(a wiec, co za tym idzie i warto±¢ oczekiwana
). Liczba jest
dowolna
dodatnia
liczba
.
a
B. Kamys
SMOP I
2014/15
32 / 80
INTERPRETACJA WARIANCJI: Korzystaja
c z nierówno±ci Czebyszewa
dochodzimy do wniosku, »e
wariancja (lub odchylenie standardowe) jest miara
rozrzutu
zmiennej losowej dokoªa warto±ci oczekiwanej .
Jest to bardzo wa»ny wniosek bo w analizie danych
do±wiadczalnych uto»samiamy warto±¢ oczekiwana
pomiarów
wykonanych w obecno±ci przypadkowych niepewno±ci
pomiarowych z warto±cia
prawdziwa
mierzonej wielko±ci.
Wtedy miara
przypadkowej niepewno±ci pomiarowej jest
odchylenie standardowe bo ono okre±la rozrzut wyników
dokoªa warto±ci prawdziwej.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
33 / 80
Podstawowe poje
cia teorii estymacji
DEFINICJA: W statystyce sko«czony zespóª do±wiadcze« nazywamy próba
a wnioskowanie na podstawie próby o wªasno±ciach
niesko«czonego (zwykle) zespoªu wszystkich mo»liwych
do±wiadcze« zwanego populacja
generalna
, nazywamy
estymacja
.
DEFINICJA: Przez próbe
prosta
rozumiemy ciag niezale»nych
do±wiadcze« odnosza
cych sie
do tej samej populacji
generalnej.
DEFINICJA: Statystyka
nazywamy taka funkcje zmiennych losowych
obserwowanych w próbie, która sama jest zmienna
losowa
.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
34 / 80
Podstawowe poje
T x x
x
DEFINICJA: Estymatorem n ( 1 , 2 , .. n ; θ) parametru θ lub w skrócie
n (θ) nazywamy statystyke o rozkªadzie
prawdopodobie«stwa zale»nym od θ . Tu ' 1 , 2 , ..' oznaczaja
wyniki pomiarów próby.
T
x x
DEFINICJA: Estymacja punktowa to taka estymacja, która polega na
oszacowaniu warto±ci danego parametru θ przez warto±¢ jego
estymatora n (θ).
T
DEFINICJA: Estymacja przedziaªowa polega na szukaniu przedziaªu
liczbowego, wewna
trz którego z zaªo»onym
prawdopodobie«stwem le»y prawdziwa warto±¢ parametru.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
35 / 80
Podstawowe poje
T
DEFINICJA: Estymator n (θ), jest zgodny je»eli dla ka»dego > 0 jest
speªniony warunek:
limn→∞ P (| Tn (θ) − θ |< ) = 1
W takim przypadku u»ywa sie cze
sto okre±lenia, »e
estymator speªnia prawo wielkich liczb .
PRZYKAD: TWIERDZENIE (Bernoulli): Wzgledna cze
sto±¢
pojawiania sie
zdarzenia
w cia
gu do±wiadcze« speªnia
prawo wielkich liczb czyli jest zgodnym estymatorem
prawdopodobie«stwa zdarzenia : ( ).
A
n
A PA
limn→∞ P (| nA /n − P (A) |< ) = 1
B. Kamys
SMOP I
2014/15
36 / 80
Podstawowe poje
DEFINICJA: Estymator speªniaja
cy mocne prawo wielkich liczb to
taki, który jest zbie»ny do estymowanego parametru z
prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:
P (limn→∞ Tn (θ) = θ) = 1
PRZYKAD: TWIERDZENIE: F.P.Cantelli udowodniª w 1917 roku, »e
wzgle
dna cze
sto±¢ pozytywnego zako«czenia do±wiadczenia;
A / jest zbie»na do prawdopodobie«stwa zdarzenia ;
( ) z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:
n n
PA
A
P (limn→∞ (nA /n ) = P (A)) = 1
czyli wzgledna cze
sto±¢ speªnia mocne prawo wielkich liczb.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
37 / 80
Podstawowe poje
T
DEFINICJA: Estymatorem nieobcia
»onym n (θ) parametru θ
nazywamy taki estymator, którego warto±¢ oczekiwana równa
jest warto±ci estymowanego parametru niezale»nie od
rozmiarów próby:
E (Tn (θ)) = θ
B
DEFINICJA: Obcia
»eniem estymatora ' n ' nazywamy ró»nice jego
warto±ci oczekiwanej i warto±ci estymowanego parametru:
Bn = E (Tn (θ)) − θ
DEFINICJA: Estymatorem obcia
»onym nazywamy taki estymator,
którego obcia
»enie jest ró»ne od zera.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
38 / 80
Podstawowe poje
DEFINICJA: Estymatorem asymptotycznie nieobcia
»onym nazywamy
taki estymator obcia
»ony, którego obcia
»enie zmierza do zera
gdy rozmiary próby niesko«czenie rosna
:
limn→∞ Bn = 0
TWIERDZENIE: Je»eli wariancja estymatora nieobcia
»onego lub
asymptotycznie nieobcia
»onego da
»y do zera gdy rozmiary
próby rosna
nieograniczenie wówczas estymator ten jest
zgodny.
T
h
TWIERDZENIE: Je»eli n (θ) jest zgodnym estymatorem θ i je»eli (θ)
jest wielomianem lub ilorazem wielomianów to estymator
( n (θ)) jest estymatorem zgodnym dla (θ).
hT
B. Kamys
h
SMOP I
2014/15
39 / 80
Rozkªad normalny (Gaussa)
DEFINICJA: Cia
gªa zmienna losowa X, której funkcja ge
sto±ci
prawdopodobie«stwa ma naste
puja
ca
posta¢:
f (X ) = √21π B exp
−(X −A)2
2B 2
nazywa sie
zmienna
o rozkªadzie normalnym
Warto±¢ oczekiwana:
N (A, B ).
E (X ) = A
Odchylenie standardowe:
σ(X ) =
Sta
d ªatwo wida¢, »e
B
N (A, B ) ≡ N (E (X ), σ(X ))
Dystrybuanta: rozkªadu normalnego nie wyra»a sie
przez funkcje
elementarne.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
40 / 80
Warto zapamie
ta¢ nastepuja
ce warto±ci prawdopodobie«stwa znalezienia
zmiennej X w danym przedziale:
P (E (X ) − σ(X ) < X < E (X ) + σ(X ))
P (E (X ) − 2σ(X ) < X < E (X ) + 2σ(X ))
P (E (X ) − 3σ(X ) < X < E (X ) + 3σ(X ))
B. Kamys
SMOP I
= 0.6827
= 0.9545
= 0.9973
2014/15
41 / 80
Y
UWAGA: Dowolna
zmienna
o rozkªadzie normalnym mo»na
standaryzowa¢ tworzac wielko±¢ o rozkªadzie
standardowym normalnym (0, 1):
Z
N
Z = (Y − E (Y ))/σ(Y ).
Standaryzacja jest wa»na ze wzgle
du na mo»liwo±¢
tablicowania zarówno funkcji gesto±ci prawdopodobie«stwa,
jak i dystrybuanty rozkªadu (0, 1) a potem wykorzystania
faktu, »e maja
c zmienna
o rozkªadzie (0, 1) mo»emy
stworzy¢ zmienna
o rozkªadzie ( , ) przez prosta
transformacje:
= ∗ + .
Y
B. Kamys
Y
X
B X
SMOP I
N
A
N
NAB
2014/15
42 / 80
Centralne Twierdzenie Graniczne (intuicyjne sformuªowanie)
Z
Zmienna
be
da
ca standaryzowana
suma
niezale»nych zmiennych losowych bedzie miaªa standardowy rozkªad normalny gdy liczba skªadników w
sumie da
»y do niesko«czono±ci oraz w sumie nie
wyste
puja
zmienne o wariancjach dominuja
cych w
stosunku do reszty skªadników.
Wªa±nie to twierdzenie powoduje, »e rozkªad normalny jest
wyró»nionym rozkªadem - bardzo cze
sto stosowanym w
statystyce.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
43 / 80
Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych
Motto:
Wynik pomiaru bez podania dokªadno±ci do±wiadczenia (podania niepewno±ci pomiaru) jest bezwarto±ciowy.
DEFINICJA: Pomiarem bezpo±rednim nazywamy do±wiadczenie, w
którym przy pomocy odpowiednich przyrza
dow mierzymy
(porównujemy z jednostka
) interesuja
ca
nas wielko±¢ zyczna
.
Przykªad:
B. Kamys
• Pomiar dªugo±ci przedmiotu przy pomocy linijki
• Pomiar dªugo±ci odcinka czasu przy pomocy zegara
SMOP I
2014/15
44 / 80
DEFINICJA: Pomiarem po±rednim nazywamy do±wiadczenie, w którym
wyznaczamy warto±¢ interesuja
cej nas wielko±ci zycznej
przez pomiar innych wielko±ci zycznych zwia
zanych z dana
wielko±cia
znanym zwia
zkiem funkcyjnym.
Przykªad:
• Pomiar oporu elektrycznego przewodnika: mierzymy
spadek napie
cia
na przewodniku i pra
d przez niego
pªyna
cy a opór
wyznaczamy z prawa Ohma:
= / .
• Pomiar gesto±ci stopu, z którego zbudowany jest
prostopadªo±cian: mierzymy bezpo±rednio dªugo±¢
krawedzi , i prostopadªo±cianu i jego mase
a
ge
sto±¢ wyznaczamy ze wzoru: ρ =
/( · · ).
R
U I
U
R
ab c
B. Kamys
SMOP I
I
m
m a b c
2014/15
45 / 80
e
x
x
DEFINICJA: Bªe
dem pomiaru nazywano (tradycyjnie) ró»nice
pomie
dzy warto±cia
uzyskana
w do±wiadczeniu a prawdziwa
(nieznana
) warto±cia
0 danej wielko±ci:
e = x − x0
UWAGA: Zgodnie z Mi¦dzynarodow¡ Norm¡ ISO okre±lenie bª¡d
zast¦puje si¦ okre±leniem niepewno±¢ pomiarowa .
Niepewno±¢ pomiaru wielko±ci
x oznacza si¦ u (x ) .
Podziaª niepewno±ci pomiarowych: Niepewno±ci pomiarowe dzielimy na
• grube
• systematyczne
• przypadkowe
B. Kamys
SMOP I
2014/15
46 / 80
DEFINICJA: Niepewno±ci grube to takie, które pojawiaja
sie w wyniku
pomyªki eksperymentatora (np. odczyt na niewªa±ciwej skali
przyrza
du) lub w wyniku niesprawno±ci aparatury pomiarowej.
Zwykle sa
one na tyle du»e, »e mo»na je ªatwo zauwa»y¢.
Dla uniknie
cia takich niepewno±ci pomiarowych nale»y
starannie zorganizowa¢ proces pomiaru i u»ywa¢ do
do±wiadcze« tylko wªa±ciwie wytestowanych przyrza
dów.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
47 / 80
DEFINICJA: Niepewno±ci systematyczne to takie, które podczas
wykonywania pomiaru systematycznie przesuwaja
wyniki
pomiarów w jedna
strone w stosunku do prawdziwej warto±ci.
Moga
mie¢ one ró»ne przyczyny. Najcze±ciej to:
• Niewªa±ciwy sposób przeprowadzania pomiaru
(np. Bªa
d paralaksy)
• Stosowanie zªych przyrza
dów
(np. waga szalkowa o ró»nej dªugo±ci ramion)
• Stosowanie nieprzemy±lanej metody (patrz poni»ej)
B. Kamys
SMOP I
2014/15
48 / 80
Przykªad: Przy pomiarze oporu mo»emy zastosowa¢ dwa ró»ne
schematy podªa
czenia woltomierza i amperomierza:
A
V
Rysunek: Schemat pierwszy: Woltomierz podªa
czony równolegle
do opornika a szeregowo do nich amperomierz. Systematycznie
zawy»amy warto±¢ pra
du a wiec zani»amy opór.
I
A
V
Rysunek: Schemat drugi: Woltomierz podªa
czony równolegle do
ukªadu szeregowo poªa
czonych opornika i amperomierza.
Systematycznie zawy»amy warto±¢ napiecia a wiec zawy»amy
opór.
U
B. Kamys
SMOP I
2014/15
49 / 80
Niepewno±ci systematyczne sa
trudne do zauwa»enia i oszacowania.
Dla ich uniknie
cia stosuje sie
:
• staranne przemy±lenie metody pomiaru w poszukiwaniu mo»liwych
¹ródeª niepewno±ci systematycznych i wybór metody, która nie jest
nimi obarczona, np. opór w powy»szym przykªadzie mo»na mierzy¢
metoda
mostka.
• zmiane metody pomiaru , aby wyeliminowa¢ ukryte, niekontrolowane
¹ródªa niepewno±ci systematycznych. Na przykªad, wa»ne staªe
zyczne takie jak pre
dko±¢ ±wiatªa byªy wielokrotnie mierzone
ró»nymi metodami, gªównie po to aby upewni¢ sie
, »e uniknieto
niepewno±ci systematycznych,
c
• pomiary wzgledne polegaja
ce na tym, »e mierzymy równocze±nie, ta
sama
metoda
dwie wielko±ci - jedna
dobrze znana
a druga
- te
, która
chcemy zmierzy¢.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
50 / 80
DEFINICJA: Niepewno±ci przypadkowe to takie, które zmieniaja
sie od
pomiaru do pomiaru, powoduja
c odchylenia od warto±ci
prawdziwej zarówno w dóª jak i w gór¦.
Zakªada sie, »e spowodowane sa
one przez wiele
niezale»nych przyczyn o porównywalnym znaczeniu.
Metody statystyki pozwalaja
na oszacowanie tego typu
efektów zarowno jako±ciowo jak i ilo±ciowo. Nie mówia
jednak nic o niepewno±ciach systematycznych czy grubych.
Dlatego dalsze rozwa»ania be
da
dotyczyªy
tylko niepewno±ci przypadkowych .
B. Kamys
SMOP I
2014/15
51 / 80
Rozkªad niepewno±ci przypadkowych
Rozkªad niepewno±ci przypadkowej u
f (u ) =
√
to
N (0, σ(u )) czyli
−u 2
exp 2σ
2 (u)
2π σ(u)
1
bo gdy mamy do czynienia tylko z niepewno±ciami
przypadkowymi wówczas:
• Sa
speªnione zaªo»enia centralnego twierdzenia
granicznego a wiec rozkªad niepewno±ci pomiarowych
jest rozkªadem normalnym.
• Warto±¢ oczekiwana niepewno±ci przypadkowej znika
(z zaªo»enia równe prawdopodobie«stwo odchylenia w
góre i w dóª w stosunku do prawdziwej warto±ci
mierzonej wielko±ci).
• Miara
wielko±ci niepewno±ci przypadkowej jest
odchylenie standardowe rozkªadu niepewno±ci: σ( ).
u
u
B. Kamys
SMOP I
2014/15
52 / 80
Rozkªad pomiarów obarczonych niepewno±ciami
Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych przypadkowymi
Rozkªad pomiarów: Pomiary przeprowadzane w obecno±ci jedynie
niepewno±ci przypadkowych maja
rozkªad
( 0 , σ( )) bo
wynik pomiaru jest przesunie
ty od prawdziwej warto±ci 0 o
niepewno±¢ przypadkow¡ :
N x
x
u
u
x = x0 + u
a transformacja rozkªadu f (u ) do g (x ) daje wzór:
2
g (x ) = √2π1σ(u ) exp −(2σx −2 (xu0)) .
B. Kamys
SMOP I
2014/15
x
53 / 80
Rozkªad pomiarów obarczonych niepewno±ciami
Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych przypadkowymi
WNIOSKI: Z poni»szych faktów wynika, »e:
szukanie prawdziwej warto±ci mierzonej wielko±ci i
jej niepewno±ci to estymacja warto±ci oczekiwanej
i odchylenia standardowego pomiarów
• Warto±¢ prawdziwa mierzonej wielko±ci jest równa
warto±ci oczekiwanej pomiarów (je»eli sa
tylko
niepewno±ci przypadkowe).
• Rozrzut pomiarów dokoªa warto±ci prawdziwej jest
okre±lony przez odchylenie standardowe σ (u) rozkªadu
niepewno±ci przypadkowych.
• Miara
niepewno±ci pojedynczego pomiaru jest
odchylenie standardowe pomiarów.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
54 / 80
Estymator
Estymator warto±ci oczekiwanej
E (x ) to ±rednia arytmetyczna niezale»nych pomiarów wielko±ci
x . Bedziemy ja oznacza¢ przez x :
P
Tn (E (x )) ≡ x = n1 ni=1 xi
x
• Koªmogorow pokazaª, »e speªnia mocne prawo
wielkich liczb a wiec oczywi±cie jest zgodny,
x
• Estymator jest nieobcia
»ony.
P
P
E ( 1 x ) = 1 E (x ) = 1 (n · E (x )) =
n
i
i
i
i
n
n
E (x ) c.b.d.o.
Tu wykorzystano fakt, »e wszystkie warto±ci oczekiwane sa
sobie równe
E (x ) = E (x ).
i
• Mo»na pokaza¢, »e
estymatorem ( ).
Ex
B. Kamys
x jest najbardziej efektywnym
SMOP I
2014/15
55 / 80
Estymator warto±ci oczekiwanej
x warto±ci oczekiwanej E (x ) ma rozkªad
σ(x )
normalny N E (x ), √n gdzie n jest liczba
pomiarów w
TWIERDZENIE: Estymator
próbie.
WNIOSKI:
x
• Odchylenie standardowe ±redniej arytmetycznej jest
√
- krotnie mniejsze od odchylenia standardowego
pojedynczego pomiaru.
n
x
• Odchylenie standardowe σ( ) czyli niepewno±¢
pomiarowa ±redniej arytmetycznej u (x̄ )
charakteryzuje dokªadno±¢ wyznaczenia prawdziwej
warto±ci x w danym konkretnym pomiarze
skªadaja
cym sie z
n niezale»nych do±wiadcze«.
• Aby opisa¢ dokªadno±¢ metody pomiarowej
podajemy niepewno±¢ pomiarow¡ pojedynczego
pomiaru tj. ( ) ≡ σ( ) .
ux
B. Kamys
SMOP I
x
2014/15
56 / 80
Estymator S(x):
S (x ) ≡
q
1
n −1
Estymator odchylenia standardowego
Pn
2
i =1 (xi − x )
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobcia
»ony estymator.
ZALECA SI STOSOWANIE TEGO ESTYMATORA
Estymator s(x):
s (x ) ≡
q P
n
1
2
i =1 (xi − x )
n
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobcia
»ony i najbardziej
efektywny estymator
Estymator S(x):
S (x ) ≡
q
n −1 Γ(
2
n
−1
2 )
n
Γ( 2 )
· S (x )
Jest to zgodny i nieobcia
»ony estymator
B. Kamys
SMOP I
2014/15
57 / 80
Estymator odchylenia standardowego
k
Sx
Sx
UWAGA: Wspóªczynnik n o który ró»ni sie
( ) od ( ) jest
znacza
co ró»ny od 1.0 tylko dla maªych prób i mo»e by¢ w
przybli»eniu zasta
piony przez wstawienie do wzoru na ( )
zamiast 1/( − 1) czynnika 1/( − 1.45).
n
B. Kamys
SX
n
n
kn
3
4
5
6
7
10
15
20
25
50
1.1284
1.0853
1.0640
1.0506
1.0423
1.0280
1.0181
1.0134
1.0104
1.0051
SMOP I
q
n −1
n −1.45
1.1359
1.0847
1.0615
1.0482
1.0397
1.0260
1.0165
1.0121
1.0095
1.0046
2014/15
58 / 80
Zapis wyników pomiarów
KONWENCJA: Stosuje sie naste
puja
ca
konwencje
zapisu wyników,
gdzie jako miar¦ niepewno±ci pomiaru podaje si¦ niepewno±¢
standardow¡ ( ) ≡
).
ux
S (x̄
• Pozostawia sie tylko dwie cyfry znacza
ce
standardowej niepewno±ci pomiarowej, np. 0,023.
• Wynik pomiaru obliczamy tak aby wyznaczy¢ jedno
miejsce dziesie
tne dalej ni» miejsce dziesietne, na
którym zaokra
glono niepewno±¢ pomiarow¡, a
naste
pnie zaokra
glamy do tego samego miejsca
dziesie
tnego, do którego wyznaczono niepewno±¢
pomiarow¡, np. zamiast 1,9024 bierzemy 1,902.
• Wynik wraz z niepewno±ci¡ pomiarow¡ podajemy w
ten sposób, »e po wypisaniu wyniku dopisujemy
w nawiasie dwie cyfry znacz¡ce reprezentuj¡ce
niepewno±¢ pomiaru i podajemy jednostk¦, np.
m = 1,902(23) kg lub m = 1,902(0,023) kg
B. Kamys
SMOP I
2014/15
59 / 80
KONWENCJA (c.d.):
•
Stosuje si¦ równie» zapis:
x = (wynik (x ) ± U (x )) jednostka(x ), gdzie
U (x ) ≡ k · u (x )
tzw. niepewno±¢ rozszerzona.
przyjmuje warto±ci 2 ≤ ≤ 3 przy czym
domy±lnie, tzn. je»eli nie podaje si¦ tego jawnie,
przyjmuje si¦ = 2.
k
k
k
• UWAGA: ten zapis jest identyczny jak zapis stosowany
dawniej (przed przyj¦ciem aktualnej konwencji zapisu)
ale wtedy podawaªo si¦ standardow¡ niepewno±¢ ( )
zamiast rozszerzonej niepewno±ci ( ) ≡ · ( ).
Ux
•
B. Kamys
ux
k ux
Zapis przykªadowy przytaczanego powy»ej wyniku:
masa = (1,902 ± 0.046) kg .
SMOP I
2014/15
60 / 80
UWAGA: Zastosowanie konwencji, w której zapisujemy wynik i jego
niepewno±¢ w formie: (wynik ± niepewno±¢ pomiaru)
mo»e prowadzi¢ do nieporozumienia, gdy nie napiszemy
wyra¹nie, »e stosujemy now¡ konwencj¦ i »e jako
wspóªczynnik rozszerzenia niepewno±ci bierzemy = 2.
k
Zaleca si¦ wi¦c stosowanie zapisu, w którym podaje si¦
w nawiasie 2 cyfry znacz¡ce standardowej niepewno±ci
pomiarowej. W przeciwnym wypadku nale»y wyra¹nie
zaznaczy¢, »e podajemy rozszerzon¡ niepewno±¢
standardow¡ oraz wypisa¢ warto±¢ .
k
B. Kamys
SMOP I
2014/15
61 / 80
UWAGA: Poniewa» omawiana metoda szacowania niepewno±ci opiera
si¦ o statystyczny rozrzut pomiarów rz¡dzony rozkªadem
Gaussa, to
• Niepewno±¢ standardowa pomiaru okre±la przedziaª
warto±ci mierzonej wielko±ci gdzie z
prawdopodobie«stwem ≈ 0.68 znajduje si¦ prawdziwa
warto±¢ mierzonej wielko±ci.
• Rozszerzona niepewno±¢ z czynnikiem rozszerzenia
k=2 okre±la przedziaª, gdzie z
prawdopodobie«stwem ≈ 0.95 znajduje si¦ prawdziwa
warto±¢.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
62 / 80
Metoda A szacowania niepewno±ci pomiarowych to wg normy ISO
opisane powy»ej wnioskowanie o niepewno±ci pomiaru
z rozrzutu statystycznego wyników pomiaru
Metoda B stosuje si¦, gdy nie mo»emy takiego rozrzutu zaobserwowa¢ ,
np. gdy
• Dziaªka skali przyrz¡du pomiarowego jest wi¦ksza od
obserwowanego rozrzutu,
• Pomiar mo»na wykona¢ tylko jednokrotnie bo, np.
towarzyszy mu zniszczenie badanego obiektu,
• itp.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
63 / 80
W metodzie B:
ab
x
• Szukamy takiego przedziaªu [ , ] warto±ci mierzonej
wielko±ci , »e wszystkie warto±ci ∈ [ , ] (np.
dªugo±¢ [ , ] to wielko±¢ dziaªki skali przyrz¡du).
• Zakªadamy funkcj¦ g¦sto±ci prawdopodobie«stwa
zmiennej ; najcz¦±ciej zakªada si¦ jednostajny rozkªad:
( ) = 1/( − ).
• Odchylenie standardowe tej wielko±ci bierzemy jako
warto±¢ niepewno±ci standardowej, np. dla rozkªadu
jednostajnego
x
ab
f x
x
ab
b a
√
UWAGA:
u (x ) ≡ σ(x ) = (b − a)/(2 3).
Poniewa» (b − a )/2 ≡ ∆x , gdzie ∆x to (tradycyjnie) tzw.
bª¡d maksymalny wi¦c wtedy standardowa niepewno±¢
√
u (x ) = ∆x / 3.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
64 / 80
Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«
TWIERDZENIE: Je»eli prawdopodobie«stwo zrealizowania sie
danego
zdarzenia losowego w pojedynczym do±wiadczeniu jest
równe to liczba zrealizowanych zdarze« w N
niezale»nych do±wiadczeniach rzadzona jest rozkªadem
Bernoulliego (dwumianowym, binomialnym):
p
k
P (k ) = k !(NN−! k )! pk (1 − p)N −k ; k = 0, 1, ..N
atwo mo»na pokaza¢, »e
E (k ) = p
N ·p
σ(k ) = N · p · (1 − p )
B. Kamys
SMOP I
2014/15
65 / 80
Graniczny przypadek: cze
sto realizowany w zyce atomowej, ja
der
atomowych i cza
stek elementarnych to sytuacja gdy
jest
bardzo du»e, bardzo maªe a warto±¢ oczekiwana
rejestrowanych zdarze« ( ) ≡
· jest staªa.
p
Przykªad:
•
•
N
Ek
N p
N - liczba radioaktywnych jader w badanej próbce,
p - prawdopodobie«stwo rozpadu pojedynczego
radioaktywnego ja
dra w jednostce czasu,
•
- liczba rejestrowanych rozpadów w jednostce czasu
k
Rozkªad Poissona jest wtedy graniczna
postacia
rozkªadu Bernoulliego:
P (k ) = λk ! exp(−λ)
k
Warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe wyra»aja
sie
wzorem:
E (k ) = √
λ
σ(k ) = λ
B. Kamys
SMOP I
2014/15
66 / 80
Niepewno±¢ statystyczna
k
Liczba rejestrowanych w danym okresie czasu zdarze« rza
dzonych
powy»szymi prawami jest zmienna
losowa
a wiec prawdziwa liczba
zdarze« to E(k) a jej niepewno±¢ to σ (k). Nazywana jest ona
niepewno±ci¡ statystyczn¡ (tradycyjnie bª¦dem statystycznym).
k
ESTYMATOR prawdziwej liczby zdarze« to liczba zarejestrowanych
zdarze« podczas pojedynczego pomiaru:
Tn (E (k )) = k
ESTYMATOR niepewno±ci statystycznej: to
√
u (k ) ≡ Tn (σ(k )) = k
B. Kamys
SMOP I
2014/15
67 / 80
POZORNY PARADOKS: Im dªu»ej mierzymy tym niepewno±¢ liczby
zarejestrowanych zdarze« jest wie
ksza.
WYTUMACZENIE: Istotna jest statystyczna niepewno±¢ wzgle
dna
(
)
a
nie
bezwzgle
dna
(
)
:
r
u k
uk
ur (k ) ≡ u (k )/k = √1k
NOMENKLATURA: Pomiar z maª¡ wzgledn¡ niepewno±ci¡ statystyczn¡
to pomiar z dobra
statystyka
a z du»¡ wzgledn¡
niepewno±ci¡ statystyczn¡ to pomiar ze zªa
statystyka
.
UWAGA: Nale»y zwraca¢ uwage
, »e niepewno±¢ statystyczna ma
identyczny wymiar jak liczba zdarze«, tj. wymiar
odwrotny do czasu mimo, »e ilo±ciowo jest pierwiastkiem z
liczby zdarze«.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
68 / 80
W praktyce interesuje nas obok odpowiedzi na pytanie:
Ile zdarze« zachodzi w okre±lonym czasie ?
równie» odpowied¹ na pytanie:
Ile zachodzi zdarze« DANEGO TYPU ?
PRZYKAD: Rejestrujemy produkty reakcji ja
drowej. Chcemy wiedzie¢
nie tylko ile reakcji zachodzi ale tak»e ile jest produktów
posiadaja
cych okre±lona
energie.
PYTANIA:
1 Jakim rozkªadem rza
dzona jest liczba zdarze« w ka»dym
przedziale ('kanale') energii?
2 Co by sie
staªo gdyby±my dodali liczby zdarze« z kilku
sa
siednich kanaªów (dla poprawienia 'statystyki' liczby
zdarze«) ?
B. Kamys
SMOP I
2014/15
69 / 80
Korzystamy z twierdzenia:
TWIERDZENIE: Rozkªad prawdopodobie«stwa sumy sko«czonej liczby
niezale»nych skªadników, z których ka»dy rza
dzony jest
rozkªadem Poissona o parametrze λi jest równie» rozkªadem
P
λi .
Poissona ale o nowym parametrze λ =
i
ODPOWIED na 1 pytanie: Liczba zdarze« w ka»dym kanale jest rza
dzona
rozkªadem Poissona ale ka»dy z tych rozkªadów ma zwykle
ró»ny parametr λi .
ODPOWIED na 2 pytanie: Liczba zdarze« w kilku wysumowanych
P
kanaªach =
i i bedzie rzadzona rozkªadem Poissona z
parametrem λ, którego estymator jest równy
P
n (λ ≡ ( )) =
i.
k
T
B. Kamys
Ek
k
i
k
SMOP I
2014/15
70 / 80
Pomiary po±rednie
X X
X X
DEFINICJA: Je»eli w do±wiadczeniu mierzymy wielko±ci 1 , 2 , ..,
naste
pnie wyliczamy warto±¢ funkcji Y = Y( 1 , 2 , ..,
to taka
procedure
nazywamy pomiarem po±rednim.
XN a
XN )
ESTYMATOR: Estymatorem E(Y) pomiaru po±redniego jest warto±¢
funkcji Y wyliczona dla argumentów, które sa
estymatorami
prawdziwych warto±ci 1 , 2 , .. N tzn. dla ±rednich
arytmetycznych X1 , X2 , ..., XN :
X X
X
Tn (E (Y (X1 , X2 , ..XN ))) = Y (X 1 , X 2 , ..., X N )
lub inaczej
E (Y (X1 , X2 , ..XN )) ≈ Y (X 1 , X 2 , ..., X N )
B. Kamys
SMOP I
2014/15
71 / 80
Pomiary po±rednie
Niepewno±¢ pomiaru po±redniego
ESTYMATOR: niepewno±ci pomiaru po±redniego, tzw. zªo»ona
niepewno±¢ standardowa (tradycyjnie: bªad ±redni
kwadratowy ) liczy sie naste
puja
co (UWAGA: wzory s¡
sªuszne przy zaªo»eniu, »e pomiary 1 , 2 , .., N byªy
wykonywane niezale»nie odpowiednio 1 , 2 , .., N razy):
X X X
n n n
σ(Y ) ≈
UWAGA:
•
s
N ∂ Y 2
P
i =1
X1 , X2 , ..XN to ró»ne
wielko±ci "X ",
∂X
i
X =X
i
i
· σ 2 (X i )
wielko±ci a nie kolejne pomiary
X
• Pochodne liczone wzgledem ' i ' to pochodne
cza
stkowe tzn. liczone przy zaªo»eniu, »e pozostaªe
zmienne ' j 6=i ' sa
ustalone,
• Zamiast wariancji zmiennej σ 2 ( i ) u»ywa sie jej
X
S X i ) (ni
estymatora S Xi )).
estymatora tzn.
2(
X
- krotnie mniejszego od
2(
B. Kamys
SMOP I
2014/15
72 / 80
Pomiary po±rednie
Bª¡d maksymalny
Bªa
d maksymalny pomiaru po±redniego to tradycyjne poj¦cie, które
stosowano, gdy nie mo»na byªo oszacowa¢ niepewno±ci
pomiaru bezpo±redniego z rozrzutu wyników. Liczono go wg
poni»szego wzoru, tzn. metoda
ró»niczki zupeªnej.
∆(Y ) ≈
N
P
i =1
| ∂∂XY | · ∆(Xi )
i
Tu moduªy pochodnych sa
wyliczane dla jednokrotnie
zmierzonych wielko±ci i a symbol ∆( i ) oznacza
maksymalny bªa
d tej wielko±ci mierzonej bezpo±rednio.
X
B. Kamys
SMOP I
X
2014/15
73 / 80
Pomiary po±rednie
Bª¡d maksymalny
Zgodnie z now¡ NORM:
Nie nale»y u»ywa¢ poj¦cia bª¦du maksymalnego lecz liczy¢
niepewno±¢ pomiaru po±redniego jako zªo»on¡ niepewno±¢
pomiarow¡ wstawiaj¡c zamiast niepewno±ci pomiarów
bezpo±rednich otrzymanych "metod¡ A"(tzn. z rozrzutu
pomiarów) niepewno±ci oszacowane "metod¡ B".
Nale»y tak post¦powa¢ bo:
• W odró»nieniu od zªo»onej niepewno±ci standardowej
bªa
d maksymalny nie ma interpretacji statystycznej.
• atwo mo»na pokaza¢ , »e bª¡d maksymalny obliczony
metoda
ró»niczki zupeªnej jest zawsze wie
kszy od
zªo»onej niepewno±ci standardowej.
B. Kamys
SMOP I
2014/15
74 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
DEFINICJA: Regresja liniowa zmiennej Y wzgle
dem zmiennej X to
linia prosta
= · + z parametrami i dobranymi
tak aby minimalizowa¢ sume
kwadratów odchyle«
wspóªrze
dnych ( i , = 1, 2, .. ) zespoªu punktów o
wspóªrze
dnych ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ),... ( n , n ) od tej linii:
Y
a X
b
a b
y i
n
n
x y x y
x y
n
P
Q 2 = (yi − a · xi − b)2
i =1
Zmienna Y nazywana jest zmienna
obja±niana
a
zmienna X zmienna
obja±niaja
ca
.
X
Y
Y
X c Y
X
d
UWAGA: Regresja liniowa
wzgle
dem
tj. prosta
= · +
pokrywa sie
z regresja
liniowa
wzgle
dem
tj. prosta
= · + znaleziona dla tego samego zespoªu punktów
do±wiadczalnych tylko wtedy gdy zwia
zek pomiedzy
i
jest funkcyjnym zwia
zkiem liniowym (a nie zale»no±cia
statystyczna
).
Y
B. Kamys
a X
b
X Y
SMOP I
2014/15
75 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
Specyczna sytuacja: polegaja
ca
na tym, »e:
X
• zmienna obja±niaja
ca
ma zaniedbywalnie maªe
niepewno±ci i jest traktowana jako nielosowa zmienna.
• zmienna obja±niana
jest zmienna
losowa
o znanej
niepewno±ci standardowej σ( i ) dla punktu o
wspóªrz¦dnych ( i , i ).
Y
y
x y
Wtedy dostajemy takie estymatory parametrów regresji:
n
P
1
Tn (a) = i =P
n
Tn (b)
gdzie
wi
B. Kamys
≡
1/σ 2 (
yi ), x̄w
=
≡
wi yi (xi − x̄w )
wi (xi − x̄w )2
i =1
ȳw − Tn (a) · x̄w
n
X
i =1
wi xi /
SMOP I
n
X
i =1
wi , ȳw
≡
n
X
i =1
wi yi /
2014/15
n
X
i =1
wi
76 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b równie» wyra»aja
sie
analitycznymi wzorami:
v
u n
uX
σ (Tn (a )) = 1/t
wi (xi − x̄w )2
i =1
v
u 1
u
σ (Tn (b )) = u n
tP
i =1
wi
+ n
P
i =1
x̄w2
wi (xi − x̄w )2
Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez linie
regresji
(zale»na od x):
v
u
u 1
(x − x̄w )2
σ (y (x )) = u
+
uP
n
P
t n w
wi (xi − x̄w )2
i
i =1
B. Kamys
SMOP I
i =1
2014/15
77 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
Jeszcze prostsza sytuacja: polegaja
ca
na tym, »e:
Y
• zmienna obja±niana
jest zmienna
losowa
o identycznej
niepewno±ci standardowej σ( ) dla wszystkich
punktów.
Y
Wtedy dostajemy proste, analityczne wzory na estymatory
parametrów regresji:
Tn (b)
Tn (a)
W
=
P
P
P
P
( i xi 2 ) · ( i yi ) − ( i xi ) · ( i x i · yi )
=
n·(
≡
n·
X
i
Wska¹nik sumowania
B. Kamys
W
P
i x i · yi ) − ( i xi ) · ( i y i )
P
i
xi
2
−(
P
XW
i
xi )2
przebiega warto±ci od 1 do
SMOP I
n.
2014/15
78 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b równie» wyra»aja
sie
analitycznymi wzorami:
Tn (σ(b))
Tn (σ(a))
= σ(Y ) ·
= σ(Y ) ·
i xi
sP
r
2
W
n
W
Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez linie
regresji
(zale»na od x):
Tn (σ(Y (x )))
B. Kamys
= σ(Y ) ·
SMOP I
s
1
n
(x − x )2
+P
2
i (x i − x )
2014/15
79 / 80
Pomiary po±rednie
Regresja liniowa
UWAGA: W praktyce opuszcza sie
symbol estymatora, zarówno dla
parametrów regresji , jak i dla warto±ci
przewidzianej
przez regresje, tzn. zamiast n ( ) pisze sie
po prostu , itd.
ale nale»y pamieta¢, »e sa
to estymatory. W powy»szych
wzorach zastosowano naste
puja
ce oznaczenia:
a b
•
T a
Y
a
Tn (σ(Y (x ))) to estymator niepewno±ci warto±ci Y (x )
przewidzianej przez regresje
,
• σ( ) to niepewno±¢ pomiarowa wspóªrzednej i z
zaªo»enia taka sama dla wszystkich punktów,
•
to ±rednia arytmetyczna warto±ci zmiennej
kontrolowanej wyliczona ze wspóªrzednych punktów
1 , 2 , ... n ,
•
- to warto±¢ zmiennej kontrolowanej , dla której
wyliczamy warto±¢ regresji liniowej ( ) i estymator
niepewno±ci regresji liniowej n (σ( ( ))).
Y
Y
x
x x
x
x
T
B. Kamys
SMOP I
X
Y x
Y x
2014/15
80 / 80

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW I

Transkrypt

Podobne dokumenty

PDF - World Challenge

1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona CPoiss(10,p

Laborant Miejsce pracy: Środowiskowe Laboratorium Fizyki

Zadanie 3 - Uniwersytet Warszawski

7 – Wyznaczanie przewodności cieplnej materiału OPIS

FORMULARZ ZGŁOSZENIA

Kosmiczna winda - Katedra Fizyki