1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona CPoiss(10,p

Egzamin z Teorii Ryzyka, UMK, luty 2008
1. Zmienna losowa
S
ma zªo»ony rozkªad Poissona
funkcja rozkªadu prawdopodobie«stwa
p( )
CPoiss(10, p( )),
gdzie
(czyli dyskretna g¦sto±¢) jest
dana nast¦puj¡c¡ tabelk¡:
x
p(x)
0
1
2
0.4
0.3
0.3
Oblicz:
(a)
ES .
(b)
VarS .
(c)
EetS .
(d)
P(S = 0).
(e) Zmienn¡ losow¡
gdzie
a1
i
a2
S
S = a1 N1 + a2 N2 ,
N2 ∼ Poiss(λ2 ) s¡
Poissona. Podaj a1 ,
mo»na przedstawi¢ w postaci
s¡ liczbami, za±
N1 ∼ Poiss(λ1 )
niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach
i
a2 , λ1 i λ2 .
2. Rozpatrzmy portfel 3000 polis ubezpieczenia na »ycie, opisany przez nast¦puj¡c¡ tabelk¦:
k
Jak zwykle,
za±
nk
qk
bk
nk
1500
1
0.001
1
2
0.001
2
500
3
0.002
1
500
4
0.002
2
500
qk oznacza prawdopodobie«stwo wypªaty, bk wysoko±¢ wypªaty,
liczb¦ polis.
Znajd¹ zªo»ony rozkªad Poissona
zmiennej losowej
S
CPoiss(λ, p( )) który aproksymuje rozkªad
caªkowitej sumy wypªaconych odszkodowa« dla tego
portfelu. Podaj:
(a) parametr
λ.
(b) funkcj¦ rozkªadu, czyli g¦sto±¢ dyskretn¡
p( ) (np.
w postaci tabelki).
(c) funkcj¦ tworz¡c¡ momenty aproksymuj¡cego zªo»onego rozkªadu Poissona
CPoiss(λ, p( )).
3. Rozwa»my klasyczny proces ryzyka z czasem ci¡gªym, w którym nadwy»ka
ubezpieczyciela w chwili
t
jest dana nast¦puj¡cum wzorem:
N (t)
u + ct −
X
Xi .
i=1
1
Jak zwykle zakªadamy, »e
N (t) jest procesem Poissona z intensywno±ci¡ λ.
Xi maj¡ rozkªad
Rozpatrzmy szczególny przypadek, kiedy straty brutto
µ,
skupiony w punkcie
czyli
(
0
P (x) = P(Xi ≤ x) =
1
Wiemy, »e
λ = 2, c = 5
rekordu w dóª (denicja
(a)
(b)
(c)
dla
dla
x < µ;
x ≥ µ.
i µ = 2. Niech L1
L1 byªa podana na
H(x) = P(L1 ≤ x).
G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞).
ψ(0) (prawdopodobie«stwo ruiny
dla
b¦dzie wielko±ci¡ pierwszego
wykªadzie). Oblicz:
u = 0).
4. Rozwa»my proces ryzyka z czasem dyskretnym, w którym nadwy»ka ubez-
n
pieczyciela w chwili
jest dana nast¦puj¡cum wzorem:
u − (Y1 + · · · + Yn ).
Zakªadamy, »e
Yi
s¡ i.i.d.
zmiennymi losowymi o rozkªadzie
N(−1, 22 ).
Asymptotyczne twierdzenie Craméra mówi, »e dla pewnych staªych
(0, ∞) i r ∈ (0, ∞),
prawdopodobie«stwo ruiny
lim
u→∞
(a) Oblicz
ψ(u)
a ∈
speªnia relacj¦
ψ(u)
= a.
e−ru
r.
(b) Która z nast¦puj¡cych relacji jest prawdziwa:
• 0 < a < 1?
• a = 1?
• a > 1?
(c) Podaj granic¦ ci¡gu zmiennych losowych
n → ∞ (w sensie prawie na pewno
jeden; u > 0 jest teraz ustalone).
5. Liczba roszcze«
N
u − (Y1 + · · · + Yn )
przy
czyli z prawdopodobie«stwem
jest zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie Poissona
Poiss(5).
Ka»de ze zgªoszonych roszcze« jest, niezale»nie od pozostaªych, uwzgl¦dniane z prawdopodobie«stwem
0.2.
Niech
N1
0.8 lub odrzucone z prawdopodobie«stwem
N0 liczb¦
oznacza liczb¦ roszcze« uwzgl¦dnionych, za±
roszcze« odrzuconych. Podaj:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
P(N0 = 0).
P(N0 = 0|N = 5).
P(N0 = 0|N1 = 4).
E(N0 |N = 8).
E(N0 |N1 = 7)
E(N |N1 = 5).
2