WZM – ćw. 4: wielomiany i algorytm Euklidesa 1. Znaleźć sumę i

WZM – ćw. 4: wielomiany i algorytm Euklidesa
1. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów 2x2 +3x+2, x4 +4x3 +2x2 +5x+1 z pierścienia
Z6 [x]. (Odp. suma: x4 + 4x3 + 4x2 + 2x + 3; iloczyn: 2x6 + 5x5 + 3x2 + x + 2).
2. W pierścieniu Z5 [x] wykonać dzielenie (x3 + 2x2 + 4x + 3) : (3x2 + 2). Uwaga : 3
jest odwracalne w Z5 i 3−1 = 2. (Odp.: 2x + 4).
3. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f
a) f (x) = 5x3 + 2x2 − x − 7, g(x) = x2 + 3x − 1 w
b) f (x) = 5x3 + 2x2 − x − 7, g(x) = x2 + 3x − 1 w
c) f (x) = 3x3 − 2x + 4, g(x) = x4 + 1 w Z[x].
(Odp. a) 5x − 13, 43x − 20; b) 5x + 3, 3x + 4; c) 0,
przez g, gdy:
Z[x],
Z8 [x],
3x3 − 2x + 4).
4. Niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P . Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych
dzieleń:
a =
b =
r1 =
... ...
rn−2 =
rn−1 =
bq1 + r1
r1 q 2 + r 2
r2 q 3 + r 3
...
rn−1 qn + rn
rn qn+1
dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie nwd(a, b). Ten sam
algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb.
a) Wyznaczyć w pierścieniu Z największy wspólny dzielnik d liczb 180, 252, i przedstawić go w postaci d = 180x + 252y. b) To samo dla 68, 255.
5. Wyznaczyć w pierścieniu R[x] największy wspólny dzielnik d(x) wielomianów
f (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1,
g(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1
i przedstawić go w postaci d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).
(Odp. d(x) = 2(x2 + x + 1) i d(x) = (x + 1)f (x) + (−x2 − x + 1)g(x)).
6. Wyznaczyć w pierścieniu R[x] największy wspólny dzielnik d(x) wielomianów:
a) f (x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1 i g(x) = x3 − 1,
b) f (x) = x33 − 1 i g(x) = x18 − 1
i przedstawić go w postaci d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x). (Odp. a) d(x) = 2(x2 + x + 1)
i d(x) = f (x) − (x + 1)g(x); b) d(x) = x3 − 1 i d(x) = −x3 f (x) + (x18 + 1)g(x) ).
7. Wykazać, że wielomian x2 − 1 ∈ Z15 [x] ma cztery pierwiastki. (Odp. 1, 4, 11, 14).
8. Przedstawić wielomian x4 +3x3 +x2 +x+2 ∈ Z4 [x] w postaci iloczynu wielomianów
stopnia pierwszego.
(Odp. (x − 1)(x − 2)(x − 3)2 = (x − 1)3 (x − 2) — rozkład niejednoznaczny!).