Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 10 1. Niech

Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne.
Lista nr 10
1. Niech Wn oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia nie większego niż n (nad ciałem liczb rzeczywistych). Zbadać liniową niezależność
wielomianów:
a) x2 + x, 2, x − 1, x w W2;
b) x3 − 1, x2 − x, 1, x + 1 w W3;
c) x4 − x, x4 + x, x4, 3 w W4.
Podać dwie bazy przestrzeni W3.
2. Rozłożyć wielomiany na czynniki pierwsze:
x3 + 3x2 + 3x + 1, x5 − 2x4 + x3, x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1, x8 − 1,
x6 + 1.
3. Rozłożyć na ułamki proste funkcje wymierne:
x+1
x
x2
x−1
,
,
,
,
x3 + x2 + x x3 − 2x2 + x (x2 + 1)(x − 2) 1 − x4
x2 − 1
1
,
.
(x2 + 1)2(x + 3) x2(x + 1)
4. Następujące funkcje wymierne przedstawić w postaci sumy wielomianów i ułamków prostych:
2x3 − 7x2
3x4 + 4 2x5 − 2x + 1 1 − x4
,
,
,
.
x2 − 3x + 2 x2 + 1
1 − x4
1 + x4
5. Wielomian x5 + 1 rozłożyć w ciele liczb zespolonych na iloczyn wielomian˘w stopnia 1.