III. OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW

III. OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH
Kapitalizacja odsetek od lokaty zapewnia nominalny wzrost wartości kapitału, jednak nie
zawsze ten wzrost jest odpowiedni, wystarczający. W przypadku gromadzenia funduszy
celowych przeznaczonych na realizację konkretnego przedsięwzięcia mogą zapewnić tzw.
Wkłady oszczędnościowe zwane też wkładami okresowymi, kiedy to dokonujemy
wpłat w takich samych odstępach czasu. Ten odstęp czasu nazywa się okresem
wkładów lub okresem wpłat. {zdanie średnio ma sens, ale jest żywcem przepisane z
tablicy…}. W analizie wkładów oszczędnościowych istotne są okresy stopy procentowej i
wkładów, a w modelu kapitalizacji złożonej także okres kapitalizacji. Jeśli te okresy
pokrywają się, to mówimy o wkładach zgodnych, a jeśli co najmniej dwa z tych
okresów {spośród trzech w przypadku kapitalizacji złożonej} są różne, to mamy do
czynienia z wkładami niezgodnymi.
Wkłady oszczędnościowe mogą być dokonywane na końcu każdego okresu wpłaty i są to
tzw. Wkłady z dołu, bądź na początku okresu wpłat i wówczas do czynienia z tzw.
Wkładami z góry {w większości zawodów jest tak, że pensje dostajemy na koniec
miesiąca, czyli za te przepracowane już 30 dni i to jest z dołu, a w innych zawodach np.
nauczyciela jest tak, że płacone jest z góry, czyli idę do pracy, dostaję wypłatę i dopiero
będę wykonywała tą pracę za którą mi już zapłacono}. Wkłady oszczędnościowe mogą
być równej lub różnej wysokości. {w pewien sposób to czy wpłacamy 1 każdego miesiąca
czy 30 to wyjdzie na to samo jeśli tylko przesuniemy rozważany okres, zwykle w życiu
mamy wkłady z dołu, bo musimy zapłacić coś do końca miesiąca, a liczymy od początku
roku, czyli liczymy czas jakby od 1 danego miesiąca}.
W analizie wkładów kierunek przepływu pieniędzy nie jest istotny. W analogiczny sposób
jak wpłaty można analizować ciąg wypłat. W matematyce finansowej każdy ciąg płatności
okresowych (regularnych) (bez znaczenia czy to są wpłaty czy wypłaty) nazywa się rentą
{w przeciwieństwie do przyzwyczajenia z życia codziennego, gdzie to słowo znaczenie ma
inne}. Wobec tego rentą jest ciąg wkładów oszczędnościowych czy też wpłaty za
abonament (telewizyjny, Internet) lub raty spłaty pożyczki. {będziemy dalej mówić tylko
o wpłatach, bo wypłaty można rozważać analogicznie i niewygodnie byłoby wszędzie
pisać w nawiasie drugą wersję. Rozważamy, że wpłaty są trzymane na rachunkach w
których może być kapitalizacja w różnych modelach, my rozważymy tylko kapitalizację
prostą oraz złożoną z dołu, w naturalny sposób nie pasuje tutaj kapitalizacja np. ciągła, u
nas cyklicznie są obliczane wartości poszczególnych wkładów.}
Rachunek procentowy wkładów oszczędnościowych sprowadza się do obliczenia
aktualnej wartości w danym momencie czasu sumy poszczególnych wkładów
oszczędnościowych. Obowiązuje zasada:
Aktualna wartość sumy wkładów oszczędnościowych w danym momencie jest
równa sumie aktualnych wartości tych wkładów w tym momencie.
Aktualna w momencie t=0 (czyli w momencie rozpoczęcia ciągu wkładów) wartość
sumy n wkładów oszczędnościowych (n naturalne) nazywamy wartością początkową
lub wartością teraźniejszą{raczej będziemy się posługiwać terminem wartość
początkowa, bo teraźniejsza nie do końca jest zgodna z naszą intuicją}. Aktualną wartość
sumy n wkładów oszczędnościowych na koniec n-tego okresu wkładów, tj. w momencie
t=n, nazywa się wartością przyszłą lub wartością końcową tych wkładów.
Niech Ej j=1,…,n oznaczają wartości kolejnych wpłat wkładów oszczędnościowych.
(Ej >0 , j=1,…,n). Proces aktualizacji sumy wkładów oszczędnościowych wygodniej jest
przedstawić graficznie. W przypadku wkładów z dołu można to zilustrować następująco
Czas
0
wkłady
1
E1
2
t
E2
N
En
W celu wyznaczenia aktualnej wartości K t sumy wkładów oszczędnościowych w
momencie t można też najpierw wyznaczyć np. wartość końcową K n tych wkładów (w
momencie n), a następnie tę wartość zaktualizować na moment t. Schemat dla układów z
dołu wyglądałby wówczas następująco:
Czas
wkłady
0
1
E1
2
t
E2
N
En
Kn
Aktualna wartość poszczególnych wpłat w danym momencie może być
wyznaczana na podstawie różnych modeli kapitalizacji odsetek. Obecnie zajmiemy się
oprocentowaniem prostym wkładów oszczędnościowych. Przy tym modelu istotne jest
porównanie okresu stopy procentowej i okresu wkładów {a wiemy, że jeśli będziemy
dokonywać kapitalizacji raz na rok, czy też na kwartał to nie ma to znaczenia w tym
modelu, bo to kapitalizacja prosta, to już było wcześniej}. Okres kapitalizacji w tym
modelu jak wiemy nie ma znaczenia.
Wkłady zgodne
Rozważmy sytuację, gdy okres stopy procentowej r (r>0) pokrywa się z okresem
wkładów, czyli mamy do czynienia z wkładami zgodnymi (przy oprocentowaniu prostym).
Załóżmy najpierw, że wkłady E1, E2, … ,En dokonywane są z dołu. Wówczas
wartość końcowa Kn sumy tych wkładów jest równa
Kn = E1 + E2 +… +En + Z
, gdzie Z oznacza sumę wartości odsetek prostych od wszystkich poszczególnych
wkładów Ej =1,…,n, zatem
Z= E1(n-1)r + E2(n-2)r+…+ En(n-1)r = r[E1(n-1)+ E2(n-2)+…+ En]
W konsekwencji otrzymujemy {w tym rozdziale nowa numeracja}
(1) Kn = E1 + E2 +… +En+ r[E1(n-1)+ E2(n-2)+…+ En]
Czyli wkład pierwszy generuje odsetki przez n-1 okresów, wkład drugi przez n-2 okresów
i tak dalej. Jeśli wkłady oszczędnościowe będą dokonywane z góry, to odsetki
będą wynosić
_
Z wówczas
Czas
0
1
wkłady
E1
E2
2
n-1
N
En
_
Z E1 nr E 2 (n 1)r ... E n 1 2r E n r
Więc dla wkładów prostych z góry otrzymujemy
(2) Kn = E1 + E2 +… +En+ r[E1n+ E2(n-1)+…+2En-1 + En]
Czyli tu mamy tak, że pierwszy wkład generuje odsetki przez n okresów, drugi przez n-1
itd.
W szczególności dla wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości Ej = E
(j=1,…,n) (E>0) dla wkładów z dołu z (1) mamy
K n nE rE [(n 1) (n 2) ... 1] nE rE
(n 1 1)(n 1)
n 1
nE (1
r)
2
2
Zaś dla wkładów z góry z (2) mamy
K n nE rE [(n (n 1) ... 2 1] nE rE
(n 1)n
n 1
nE (1
r)
2
2
Zatem końcowa wartość sumy n wkładów oszczędnościowych zgodnych przy
oprocentowaniu prostym dla wkładów o jednakowej wysokości E wyraża się wzorem
(3)
K n nE (1
n 1
r)
2
Gdzie w zapisie plus minus znak „+” dotyczy wkładów z góry, zaś „-„ – wkładów z dołu.
Aktualizacja kwoty Kn, czyli wartości przyszłej n wkładów odbywa się tak samo,
jak aktualizacja wartości lokaty w modelu kapitalizacji prostej. Zatem aktualna wartość Kt
w momencie t sumy n wkładów oszczędnościowych jest równa{w poniższym wzorze
składnik
Kt
Kn
Kn
jest jakby naszym Ko}
1 nr
Kn
Kn
1 nr nr tr
(n t )r
1 tr
(n t )r K n (1
) Kn
Kn
(1 tr )
1 nr
1 nr
1 nr
1 nr 1 nr
Czas
wkłady
0
Ko
1
t
N
Kn
Zatem wobec (3) dla wkładów oszczędnościowych prostych o jednakowej wysokości
dostajemy
(4)
K t nE (1
n 1 1 tr
r)
2
1 nr
W szczególności dla t=0 otrzymujemy wartość początkową (teraźniejszą) sumy n
wkładów i dla wkładów o równej wysokości dostajemy
(5)
K 0 nE(1
n 1
1
r)
2
1 nr
Przykład 1.
Przez pół roku na koniec każdego miesiąca wpłacano na rachunek bankowy kwotę 150zł.
Bank stosuje kapitalizację prostą przy stopie procentowej 2% w stosunku miesięcznym.
Obliczymy wartość końcową (przyszłą) oraz wartość początkową (teraźniejszą) tych
wkładów.
Mamy tu wkłady oszczędnościowe zgodne z dołu przy oprocentowaniu prostym. Okresem
wkładów i stopy procentowej r = 0,02 jest miesiąc. Wkłady są tej równej wysokości
E=150 zł, a ich liczba to n=6{bo mamy pół roku}. Stosując wzór (3) otrzymujemy
wartość końcową tych wkładów oszczędnościowych, tj.
K 6 6 *150 (1
6 1
0,02) 900*1,05 945[ zl ]
2
Wartość początkowa tych wkładów wobec (5) jest równa
K 0 6 E (1
6 1
1
0,02 )
2
1 6 * 0,02
K6
1
843 ,75[ zl ]
1,12
{liczymy te rzeczy po to, by móc operować pewną sumą , a nie poszczególnymi
wkładami. Czyli wpłacając jednorazowo trzeba by było wpłacić 843,75 a jeśli tak nie
chcemy to właśnie wpłacamy co miesiąc po 150 i wyjdzie na to samo}.