Rozdzia l 2. Najwa˙zniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzial 2. Najważniejsze typy algebr stosowane
w logice
§1. Algebry Boole’a
Definicja. Kratȩ dystrybutywna̧ z zerem i jedynka̧, w której dla każdego
elementu istnieje jego uzupelnienie nazywamy algebra̧ Boole’a.
Ponieważ dla danego elementu kraty istnieje co najwyżej jedno jego uzupelnienie, wiȩc dowolna̧ algebrȩ Boole’a można wyposażyć w 1-argumentowa̧ operacjȩ: −, przyporza̧dkowuja̧ca̧ każdemu elementowi a jego uzupelnienie: −a. W
ten sposób algebrȩ Boole’a bȩdziemy traktować jako uklad: (A, ∧, ∨, −, 0, 1).
Twierdzenie 2.1: Algebra (A, ∧, ∨, −, 0, 1) typu (2,2,1,0,0) jest algebra̧ Boole’a
wtw dla dowolnych x, y, z ∈ A spelnione sa̧ równości:
(1) x ∧ x = x, x ∨ x = x,
(2) x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x,
(3) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z,
(4) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x,
(dystr.) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z),
(6) x ∧ 1 = x, x ∨ 0 = x,
(7) x ∧ −x = 0, x ∨ −x = 1.
Dowód: (⇒): oczywisty.
(⇐): Zalóżmy, że algebra (A, ∧, ∨, −, 0, 1) spelnia równości (1)-(7). Dziȩki
równościom (1)-(6) jest niewa̧tpliwie krata̧ dystrybutywna̧ z zerem i jedynka̧.
Dziȩki (7), na mocy Tw.1.26, każdy element x ma uzupelnienie postaci: −x.
Zatem algebra ta jest algebra̧ Boole’a. 2
Przyklady. 2-elementowa algebra Boole’a: ({0, 1}, ∧, ∨, −, 0, 1), gdzie operacje zdefiniowane sa̧ nastȩpuja̧co: dla dowolnych x, y ∈ {0, 1}, x ∧ y = 1 wtw
x = y = 1, x ∨ y = 0 wtw x = y = 0 oraz −1 = 0, −0 = 1.
Dowolne cialo podzbiorów (C, ∩, ∪, −, ∅, u) ustalonego zbioru u jest algebra̧
Boole’a, w szczególności, cialo (P (u), ∩, ∪, −, ∅, u) wszystkich podzbiorów zbioru
u jest algebra̧ Boole’a.
Twierdzenie 2.2: W dowolnej algebrze Boole’a (A, ∧, ∨, −, 0, 1) zachodza̧ zwia̧zki: dla dowolnych x, y ∈ A,
(i) − 1 = 0, −0 = 1,
(ii) − −x = x,
(iii) − (x ∧ y) = −x ∨ −y,
(iv) − (x ∨ y) = −x ∧ −y,
(v) x ≤ y wtw −y ≤ −x.
§2. Kraty implikatywne
2
Dowód: (i) wynika z Tw.1.24.
dla(ii): Na mocy Wniosku z Tw.1.26 mamy: −x jest uzupelnieniem elementu
x wtw x jest uzupelnieniem elementu −x, ska̧d oczywiście otrzymujemy: x jest
uzupelnieniem elementu −x, zatem x = − − x.
dla (iii): Na mocy Tw.1.26 wystarcza wykazać, że (x ∧ y) ∧ (−x ∨ −y) = 0
oraz (x ∧ y) ∨ (−x ∨ −y) = 1. Zatem: (x ∧ y) ∧ (−x ∨ −y) = ((x ∧ y) ∧ −x) ∨ ((x ∧
y) ∧ −y) = ((x ∧ −x) ∧ y) ∨ (x ∧ (y ∧ −y)) = (0 ∧ y) ∨ (x ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0 oraz
(x∧y)∨(−x∨−y) = (x∨−x∨−y)∧(y∨−x∨−y) = (1∨−y)∧(1∨−x) = 1∧1 = 1.
(iv) dowodzi siȩ analogicznie jak (iii).
dla (v) : (⇒): Zalóżmy, że x ≤ y. Wówczas x ∧ y = x. Sta̧d −(x ∧ y) =
−x. Dlatego na mocy (iii) : −x ∨ −y = −x, czyli, biora̧c pod uwagȩ (5),
otrzymujemy: −y ≤ −x.
(⇐): rozumowanie odwrotne z zastosowaniem ponadto (ii). 2
Twierdzenie 2.3: W dowolnej algebrze Boole’a (A, ∧, ∨, −, 0, 1), dla dowolnych a, b ∈ A, element −a ∨ b jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem elementu
a wzglȩdem b.
Dowód: Po pierwsze, a ∧ (−a ∨ b) = (a ∧ −a) ∨ (a ∧ b) = 0 ∨ (a ∧ b) = a ∧ b ≤ b,
zatem −a∨b ∈ {x ∈ A : a∧x ≤ b}. Po drugie, weźmy pod uwagȩ dowolny x ∈ A
taki, że a ∧ x ≤ b. Wówczas (a ∧ x) ∨ b = b, zatem −a ∨ ((a ∧ x) ∨ b) = −a ∨ b,
dlatego ((−a ∨ a) ∧ (−a ∨ x)) ∨ b = −a ∨ b, czyli (−a ∨ x) ∨ b = −a ∨ b, tzn.,
x ∨ (−a ∨ b) = −a ∨ b i ostatecznie, x ≤ −a ∨ b. 2
W ten sposób, algebrȩ Boole’a można wyposażyć w 2-argumentowa̧ operacjȩ
→ przyporza̧dkowuja̧ca̧ cia̧gowi elementów a, b relatywne pseudo-uzupelnienie
a → b elementu a wzglȩdem b, tzn., a → b = −a ∨ b.
§2. Kraty implikatywne
Definicja. Kratȩ, w której dla dowolnych elementów a, b istnieje relatywne
pseudo-uzupelnienie elementu a wzglȩdem b nazywamy krata̧ implikatywna̧ (lub
r.p.c-krata̧ od relatively pseudo-complemented lattice).
W ten sposób postrzegamy kratȩ implikatywna̧ jako algebrȩ (A, ∧, ∨, →)
taka̧, że → jest operacja̧ przyporza̧dkowuja̧ca̧ cia̧gowi elementów a, b relatywne
pseudo-uzupelnienie elementu a wzglȩdem b.
Twierdzenie 2.4: Algebra (A, ∧, ∨, →) typu (2, 2, 2) jest krata̧ implikatywna̧
wtw (A, ∧, ∨) jest krata̧ oraz spelniony jest warunek: dla dowolnych a, b, x ∈ A,
(8) a ∧ x ≤ b wtw x ≤ a → b.
Dowód: (⇒): Zalóżmy, że (A, ∧, ∨, →) jest krata̧ implikatywna̧. Wykazujemy
warunek (8).
(⇒): Dowód oczywisty.
§2. Kraty implikatywne
3
(⇐): Zalóżmy, że x ≤ a → b. Wówczas, x ∧ (a → b) = x. Zatem a ∧ x =
(a ∧ x) ∧ (a → b) ≤ a ∧ (a → b) ≤ b.
(⇐): Zalóżmy, że w kracie (A, ∧, ∨) operacja → spelnia warunek (8). Ponieważ a → b ≤ a → b, wiȩc z (8): a → b ∈ {x ∈ A : a ∧ x ≤ b}. Natomiast
implikacja (8)(⇒) świadczy o tym, że a → b jest elementem najwiȩkszym w
zbiorze {x ∈ A : a∧x ≤ b}. Zatem a → b jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem
elementu a wzglȩdem b. 2
Twierdzenie 2.5: Krata implikatywna jest krata̧ dystrybutywna̧ z jedynka̧.
Dowód: Niech (A, ∧, ∨, →) bȩdzie krata̧ implikatywna̧. Fakt, że krata ta ma
jedynkȩ wynika natychmiast z Tw.1.27. Wykazujemy dystrybutywność. Niech
x, y, z ∈ A. Polóżmy: a = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Sta̧d x ∧ y ≤ a oraz x ∧ z ≤ a.
Stosuja̧c wiȩc (8) na mocy Tw.2.4, otrzymujemy: y ≤ x → a oraz z ≤ x → a.
Dlatego y ∨ z ≤ x → a. Zatem, znowu z (8): x ∧ (y ∨ z) ≤ a, tzn., x ∧ (y ∨ z) ≤
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z). 2
Przyklad. Dowolny lańcuch < A, ≤> z elementem najwiȩkszym 1 jest krata̧
implikatywna̧: dla dowolnych jego elementów a, b : a → b = 1, gdy a ≤ b oraz
a → b = b, gdy b ≤ a i b 6= a.
Twierdzenie 2.6: W kracie implikatywnej (A, ∧, ∨, →, 1) spelnione sa̧ zwia̧zki:
dla dowolnych a, b, c ∈ A,
(i) a → a = 1,
(ii) 1 → a = a,
(iii) b ≤ a → b,
(iv) a ≤ b wtw a → b = 1,
(v) a ∧ (a → b) = a ∧ b,
(vi) a → (b → c) = (a ∧ b) → c,
(vii) a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c),
(viii) (a → b) ∧ (a → c) ≤ a → (b ∧ c),
(ix) (a → c) ∧ (b → c) ≤ (a ∨ b) → c.
Dowód: (i), (ii) sa̧ bezpośrednia̧ konsekwencja̧ Tw.1.28(i), (iii). Warunek (iii)
wynika z (8) wobec faktu, iż a ∧ b ≤ b.
dla (iv) : (⇒) : Niech a ≤ b. Ponieważ ∀x ∈ A, a ∧ x ≤ a, wiȩc z zalożenia:
∀x ∈ A, a ∧ x ≤ b. Sta̧d a → b = 1. (⇐): Niech a → b = 1. Ponieważ
a ∧ (a → b) ≤ b, wiȩc a ∧ 1 ≤ b, zatem a ≤ b.
dla (v): Ponieważ a ∧ (a → b) ≤ a oraz a ∧ (a → b) ≤ b, wiȩc a ∧ (a →
b) ≤ a ∧ b. Z drugiej strony, a ∧ b ≤ a, a ∧ b ≤ b ≤ a → b z (iii), zatem
a ∧ b ≤ a ∧ (a → b). Ostatecznie, a ∧ (a → b) = a ∧ b.
dla (vi): Polóżmy x = a → (b → c), y = (a ∧ b) → c. Ponieważ (a ∧ b) ∧
((a ∧ b) → c) ≤ c, czyli (a ∧ b) ∧ y ≤ c, wiȩc a ∧ y ≤ b → c, a sta̧d y ≤ x. Z
dugiej strony, a ∧ (a → (b → c)) ≤ b → c, tzn. a ∧ x ≤ b → c. Zatem z (8):
b ∧ (a ∧ x) ≤ c, dlatego x ≤ (a ∧ b) → c, tzn., x ≤ y.
dla (vii): Ponieważ wedlug (v) : a ∧ (a → b) ∧ (a → (b → c)) = (a ∧ b) ∧ (a →
(b → c)) = b ∧ (a ∧ (a → (b → c))) = b ∧ (a ∧ (b → c)) ≤ b ∧ (b → c) ≤ c, wiȩc
§3. Algebry Heytinga
4
(a → b) ∧ (a → (b → c)) ≤ a → c, sta̧d zaś: a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c).
dla (viii): Ponieważ a ∧ (a → b) ∧ (a → c) ≤ a ∧ (a → b) ≤ b oraz a ∧ (a →
b) ∧ (a → c) ≤ a ∧ (a → c) ≤ c, wiȩc a ∧ (a → b) ∧ (a → c) ≤ b ∧ c, zatem
(a → b) ∧ (a → c) ≤ a → (b ∧ c).
dla (ix): Ponieważ a ∧ (a → c) ∧ (b → c) ≤ a ∧ (a → c) ≤ c oraz b ∧ (a → c) ∧
(b → c) ≤ b∧(b → c) ≤ c wiȩc (a∧(a → c)∧(b → c))∨(b∧(a → c)∧(b → c)) ≤ c,
zatem z dystrybutywności (Tw.2.5) otrzymujemy: (a∨b)∧(a → c)∧(b → c) ≤ c,
sta̧d zaś: (a → c) ∧ (b → c) ≤ (a ∨ b) → c. 2
Twierdzenie 2.7: Algebra (A, ∧, ∨, →) typu (2,2,2) jest krata̧ implikatywna̧
wtw (A, ∧, ∨) jest krata̧ (tzn. spelnione sa̧ równości (1)-(4)) oraz dla dowolnych
x, y, z ∈ A spelnione sa̧ równości:
(9) x → x = y → y,
(10) x ∧ (x → y) = x ∧ y,
(11) x → (y → z) = (x ∧ y) → z.
Dowód: (⇒): oczywisty na mocy Tw.2.5, Tw.2.6(i), (v), (vi).
(⇐): Zalóżmy, że w kracie (A, ∧, ∨) mamy operacjȩ →, dla której zachodza̧
równości (9)-(11). Zauważmy najpierw, iż wedlug (10), dla dowolnych a, b ∈ A
mamy: a ∧ (a → b) = a ∧ b ≤ b, czyli a → b należy do zbioru {x ∈ A : a ∧ x ≤ b}.
Aby wykazać, że a → b jest elementem najwiȩkszym w tym zbiorze, udowodnimy
wcześniej pewne fakty pomocnicze. Po pierwsze, na mocy (9), dla dowolnego
x ∈ A, element x → x jest jednym i tym samym elementem, oznaczmy wiȩc
go jakoś, np. symbolem 1. Wtedy dla dowolnego x ∈ A, na mocy (10) mamy:
x ∧ 1 = x ∧ (x → x) = x ∧ x = x, co dowodzi, że x ≤ 1, tzn. element 1 jest
jedynka̧ w kracie (A, ∧, ∨). Po drugie, zachodzi:
(i) x → 1 = 1.
Bowiem, na mocy (11): x → 1 = x → (x → x) = (x ∧ x) → x = x → x = 1.
Po trzecie, dowodzimy, że dla dowolnych a, b ∈ A,
(ii) a ≤ b wtw a → b = 1.
(⇒): Niech a ≤ b. Wówczas a ∧ b = a. Zatem z (11) oraz (i) : a → b =
(a ∧ b) → b = a → (b → b) = a → 1 = 1.
(⇐): Niech a → b = 1. Wówczas z (10): a ∧ b = (a → b) ∧ a = 1 ∧ a = a,
zatem a ≤ b.
Weźmy teraz dowolne a, b, x ∈ A takie, że a ∧ x ≤ b. Wówczas, na mocy
(ii) : (a ∧ x) → b = 1. Lecz wedlug (11): (a ∧ x) → b = (x ∧ a) → b = x →
(a → b). Zatem x → (a → b) = 1. Wobec tego z (ii) : x ≤ a → b. 2
§3. Algebry Heytinga
Definicja. Kratȩ implikatywna̧ z zerem nazywamy algebra̧ Heytinga.
W algebrze Heytinga dysponujemy operacja̧ pseudo-uzupelnienia −: dla
dowolnego elementu x algebry, −x = x → 0 (por. Tw.1.23). Zatem algebrȩ
Heytinga można postrzegać jako algebrȩ (A, ∧, ∨, →, −, 0, 1) typu (2,2,2,1,0,0)
§3. Algebry Heytinga
5
taka̧, że (A, ∧, ∨, →, 1) jest krata̧ implikatywna̧, 0 - jest zerem tej kraty oraz −
jest operacja̧ pseudo-uzupelnienia.
Naturalnie algebry Heytinga można zdefiniować równościowo, tzn. podaja̧c
zbiór równości spelnionych w tych algebrach. Wystarczy zastosować Tw.2.7.
Jeśli rozważamy algebry Heytinga w postaci (A, ∧, ∨, →, 0) to definiuja̧ je równości (1)-(4), (9)-(11) oraz równość: x ∨ 0 = x; jeśli zaś w postaci:
(A, ∧, ∨, →, −, 0, 1), to należy dodać jeszcze równość definiuja̧ca̧ operacjȩ pseudo-uzupelnienia: −x = x → 0, przy czym zamiast równości (9) wystȩpuje teraz
równość : x → x = 1.
Przyklady. Nastȩpuja̧ca krata jest algebra̧ Heytinga:
◦1
@
@
@◦ d
c◦
@
@
@◦ b
a◦
@
@
@◦ 0
Operacja pseudo-uzupelnienia jest tu określona nastȩpuja̧co:
0
a
b
c
d
1
−
1
d
a
0
a
0
Niech < X, ≤> bȩdzie dowolnym zbiorem cz. up. oraz niech D(X) bȩdzie
zbiorem wszystkich podzbiorów Y ⊆ X spelniaja̧cych warunek: ∀x, y ∈ X(x ∈
Y i x ≤ y ⇒ y ∈ Y ). Wówczas (D(X), ∩, ∪, →,
S ∅) jest algebra̧ Heytinga, w
której dla dowolnych Y, Z ∈ D(X), Y → Z = {U ∈ D(X) : U ∩ Y ⊆ Z} =
{x ∈ X : ∀y ∈ X(x ≤ y i y ∈ Y ⇒ y ∈ Z} = {x ∈ X : [x) ∩ Y ⊆ Z}, gdzie dla
dowolnego x ∈ X, [x) = {y ∈ X : x ≤ y}.
Albowiem, po pierwsze, latwo sprawdzić, że (D(X), ∩, ∪, ∅) jest krata̧ z
zerem (tzn., że iloczyn i suma teoriomnogościowa sa̧ operacjami na D(X) oraz
∅ ∈ D(X)). Po drugie, wykazujemy, że dla dowolnych Y, Z ∈ D(X), Y ∩
(Y → Z) ⊆ Z (naturalnie kratowym porza̧dkiem w (D(X), ∩, ∪) jest inkluzja).
Ustalmy wiȩc Y, Z ∈ D(X). Mamy dowieść, iż Y ∩ {x ∈ X : [x) ∩ Y ⊆ Z} ⊆ Z,
co jest oczywiste. Po trzecie, należy dowieść, że ∀U ∈ D(X), jeżeli Y ∩ U ⊆ Z,
to U ⊆ (Y → Z), co jest
S oczywiste z pierwszego określenia operacji pseudouzupelnienia: Y → Z = {U ∈ D(X) : U ∩ Y ⊆ Z}.
§3. Algebry Heytinga
6
Dla zbioru cz. up. z przykladu z §1, rozdzial 1, opisana powyżej algebra
Heytinga ma postać:
{a, c, d, e} ◦
@
◦ {a, b, c, d, e}
@
@
@◦ {b, c, d, e}
@
@◦ {c, d, e}
{d} ◦
@
◦ {d, e}
@
@
@◦ {e}
@
@◦ ∅
Operacja pseudo-uzupelnienia − jest tu określona nastȩpuja̧co:
∅
{d}
{e}
{d, e}
{c, d, e}
{a, c, d, e}
{b, c, d, e}
{a, b, c, d, e}
−
{a, b, c, d, e}
{e}
{d}
∅
∅
∅
∅
∅
Twierdzenie 2.8: W algebrze Heytinga (A, ∧, ∨, →, −, 0, 1) spelnione sa̧ zwia̧zki:
dla dowolnych a, b ∈ A,
(i) a ∧ −a = 0,
(ii) a → −a = −a,
(iii) a ≤ − − a,
(iv) a ≤ b ⇒ −b ≤ −a,
(v) − − − a = −a,
(vi) − (a ∨ b) = −a ∧ −b,
(vii) − a ∨ −b ≤ −(a ∧ b),
(viii) − a ∨ b ≤ a → b,
(ix) a → −b = b → −a,
(x) 0 → a = 1,
(xi) − −(a ∨ −a) = 1.
§3. Algebry Heytinga
7
Dowód: dla (i) oczywisty z definicji pseudo-uzupelnienia.
dla (ii): Na mocy (i) oraz Tw.2.6(v) : a ∧ (a → −a) = a ∧ −a = 0. Zatem
a → −a ≤ a → 0 = −a. Z drugiej strony, −a ≤ a → −a, na podstawie
Tw.2.6(iii).
dla (iii): Na mocy (i) : a ≤ −a → 0 = − − a.
dla (iv): Zalóżmy, że a ≤ b. Wówczas a∧b = a. Sta̧d a∧−b = (a∧b)∧−b = 0,
zatem −b ≤ a → 0 = −a.
dla (v): Na mocy (iii) : −a ≤ − − −a oraz a ≤ − − a, ska̧d, na podstawie
(iv) : − − −a ≤ −a. Ostatecznie, −a = − − −a.
dla (vi): Ponieważ a ≤ a ∨ b, b ≤ a ∨ b, wiȩc wedlug (iv) : −(a ∨ b) ≤
−a, −(a ∨ b) ≤ −b, zatem −(a ∨ b) ≤ −a ∧ −b. Z drugiej strony, na mocy
dystrybutywności i (i) : (a ∨ b) ∧ (−a ∧ −b) = (a ∧ −a ∧ −b) ∨ (b ∧ −a ∧ −b) =
0 ∨ 0 = 0, zatem −a ∧ −b ≤ (a ∨ b) → 0 = −(a ∨ b).
dla (vii): Ponieważ z dystrybutywności i (i) : (a ∧ b) ∧ (−a ∨ −b) = (a ∧ b ∧
−a) ∨ (a ∧ b ∧ −b) = 0 ∨ 0 = 0, wiȩc −a ∨ −b ≤ (a ∧ b) → 0 = −(a ∧ b).
dla (viii): Ponieważ wedlug dystrybutywności oraz (i) : a ∧ (−a ∨ b) =
(a ∧ −a) ∨ (a ∧ b) = 0 ∨ (a ∧ b) = a ∧ b ≤ b, wiȩc −a ∨ b ≤ a → b.
dla (ix): Na mocy Tw.2.6(v) : a ∧ (b ∧ (a → −b)) = b ∧ (a ∧ (a → −b)) =
b ∧ (a ∧ −b) = 0, zatem b ∧ (a → −b) ≤ a → 0 = −a. Sta̧d zaś otrzymujemy:
a → −b ≤ b → −a. Wobec dowolności wyboru elementów a, b, zamieniaja̧c a
na b i b na a mamy: b → −a ≤ a → −b i ostatecznie: a → −b = b → −a.
dla (x): oczywisty na mocy Tw.2.6(iv).
dla (xi) : − − (a ∨ −a) = −(−a ∧ − − a) = −0 = 1, na mocy (vi), (i)
oraz Tw.1.24 (1 jest uzupelnieniem elementu 0 w algebrze Heytinga, zatem jest
pseudo-uzupelnieniem 0, sta̧d 1 = −0). 2
Na mocy Tw.2.3 jest oczywiste, że dowolna algebra Boole’a
(A, ∧, ∨, →, −, 0, 1), gdzie dla dowolnych a, b ∈ A, a → b = −a ∨ b, jest algebra̧ Heytinga. W ogólności zwia̧zek miȩdzy tymi typami algebr jest postaci:
Twierdzenie 2.9: Algebra (A, ∧, ∨, →, −, 0, 1) jest algebra̧ Boole’a wtw
(A, ∧, ∨, →, −, 0, 1) jest algebra̧ Heytinga, w której dla dowolnego x ∈ A :
x ∨ −x = 1.
Dowód: (⇒): Oczywisty (por. równość (7) w Tw.2.1).
(⇐): Zalóżmy, że (A, ∧, ∨, →, −, 0, 1) jest algebra̧ Heytinga taka̧, że spelniona jest równość: x ∨ −x = 1. Ponieważ x ∧ −x = 0 (Tw.2.8(i)), wiȩc wobec
dystrybutywności algebry Heytinga, na mocy Tw.1.28, −x jest uzupelnieniem
elementu x, czyli każdy element tej algebry ma uzupelnienie. Jest to wiȩc algebra Boole’a. 2
Naturalnie w Tw.2.9 równość: x ∨ −x = 1, można zamienić na równość:
− − x = x, uzyskuja̧c prawdziwe twierdzenie. Bowiem oczywiście równość
− − x = x jest spelniona w dowolnej algebrze Boole’a (T.2.2(ii)), natomiast
odwrotnie, w każdej algebrze Heytinga spelniaja̧cej tȩ równość, na mocy
Tw.2.8(xi), spelniona jest równość: x ∨ −x = 1, co na mocy Tw.2.9 świadczy o
tym, iż algebra ta jest algebra Boole’a.
§4. Algebry implikacyjne
8
§4. Algebry implikacyjne
Definicja. Algebrȩ (A, →, 1) typu (2,0) nazywamy algebra̧ implikacyjna̧, gdy
(i) relacja ≤ określona na A nastȩpuja̧co: a ≤ b wtw a → b = 1, jest
czȩściowo porza̧dkuja̧ca,
(ii) 1 jest elementem najwiȩkszym w < A, ≤>,
(iii) dla dowolnych a, b ∈ A, b ≤ a → b,
(iv) dla dowolnych a, b, c ∈ A, a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c).
Twierdzenie 2.10: Każda krata implikatywna, precyzyjniej: odpowiedni redukt
tej kraty, jest algebra̧ implikacyjna̧.
Dowód: Oczywisty na mocy Tw.2.5 oraz Tw.2.6(iv), (iii), (vii). 2
Twierdzenie 2.11: Dla dowolnego zbioru cz. up. < A, ≤> z elementem
najwiȩkszym 1, algebra (A, →, 1), w której dla dowolnych x, y ∈ A : x → y = 1,
gdy x ≤ y oraz x → y = y, gdy x 6≤ y, jest algebra̧ implikacyjna̧.
Dowód: Zauważmy najpierw, że dla dowolnych a, b ∈ A : a ≤ b wtw a →
b = 1. Bowiem implikacja (⇒) jest oczywista z określenia operacji →. Aby
dowieść implikacji odwrotnej zalóżmy, że a → b = 1 oraz że a 6≤ b. Wówczas z
określenia operacji →: a → b = b. Zatem b = 1, a wiȩc a ≤ b; sprzeczność. W
ten sposób relacja definiowana przez operacjȩ → wedlug warunku (i) definicji
algebry implikacyjnej, jest czȩściowo porza̧dkuja̧ca, bo relacja wyjściowa ≤ jest
czȩściowo porza̧dkuja̧ca. Oczywiście również warunki (ii), (iii) tej definicji sa̧
spelnione. Aby wykazać, że spelniony jest warunek (iv), weźmy pod uwagȩ
elementy a, b, c ∈ A i rozważmy alternatywȩ: a ≤ c lub a 6≤ c. Jeśli zachodzi
a ≤ c, to na mocy (i) : a → c = 1. Ponieważ a → b ≤ 1, wiȩc a → b ≤ a → c,
zatem z (i) : (a → b) → (a → c) = 1, a sta̧d a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c).
Zalóżmy, że a 6≤ c. Wówczas, z określenia operacji → mamy: a → c = c.
Rozważmy alternatywȩ: b ≤ c lub b 6≤ c. Niech b ≤ c. Wówczas a 6≤ b
(gdyby bylo: a ≤ b, to byloby: a ≤ c, co jest niemożliwe). Zatem a → b = b
i wówczas zgodnie z zalożeniem: a → b ≤ c, zatem wedlug (i) otrzymujemy:
(a → b) → c = 1. Zatem (a → b) → (a → c) = 1, czyli znowu: a → (b →
c) ≤ (a → b) → (a → c). Gdy zaś b 6≤ c, to b → c = c i w konsekwencji:
a → (b → c) = a → c = c ≤ (a → b) → c = (a → b) → (a → c). 2
Twierdzenie 2.12: W algebrze implikacyjnej (A, →, 1) zachodza̧ nastȩpuja̧ce
zwia̧zki: dla dowolnych a, b, c ∈ A,
(i) a ≤ b → c ⇒ b ≤ a → c,
(ii) 1 → a = a,
(iii) b ≤ c ⇒ a → b ≤ a → c,
(iv) a ≤ b ⇒ b → c ≤ a → c,
(v) a → (a → b) = a → b,
(vi) a → (b → c) = b → (a → c)
(vii) a → (b → c) = (a → b) → (a → c),
(viii) (a → b) → ((b → a) → b) = (b → a) → ((a → b) → a).
§4. Algebry implikacyjne
9
Dowód: dla (i): Zalóżmy, że a ≤ b → c. Zatem a → (b → c) = 1. Sta̧d
na mocy warunków (ii), (iv) definicji algebry implikacyjnej otrzymujemy: (a →
b) → (a → c) = 1, co implikuje: a → b ≤ a → c, zatem wedlug warunku (iii)
definicji algebry implikacyjnej: b ≤ a → c.
dla (ii): Ponieważ 1 → a ≤ 1 → a, wiȩc na mocy (i) mamy: 1 ≤ (1 → a) →
a, tzn., (1 → a) → a = 1. Zatem (1 → a) ≤ a. Z drugiej strony, a ≤ 1 → a na
mocy warunku (iii) definicji algebry implikacyjnej. Ostatecznie, 1 → a = a.
dla (iii): Zalóżmy, że b ≤ c, czyli b → c = 1. Zatem skoro a ≤ 1, wiȩc
a ≤ (b → c), tzn., a → (b → c) = 1. Sta̧d i z warunków (iv), (ii) definicji
algebry implikacyjnej, otrzymujemy: (a → b) → (a → c) = 1, co implikuje:
a → b ≤ a → c.
dla (iv): Zalóżmy, że a ≤ b, tzn. a → b = 1. Wówczas z warunków (iii), (iv)
definicji algebry implikacyjnej zachodzi: b → c ≤ a → (b → c) ≤ (a → b) →
(a → c) = 1 → (a → c) = a → c (zastosowanie (ii)).
dla (v): Z (ii) oraz warunku (iv) definicji algebry implikacyjnej mamy: a →
(a → b) ≤ (a → a) → (a → b) = 1 → (a → b) = a → b. Z drugiej strony,
a → b ≤ a → (a → b), na mocy warunku (iii) tejże definicji. Ostatecznie,
a → (a → b) = a → b.
dla (vi): Ponieważ wedlug warunku (iv) definicji algebry implikacyjnej: a →
(b → c) ≤ (a → b) → (a → c) wiȩc dziȩki (i) otrzymujemy: a → b ≤ (a →
(b → c)) → (a → c). Sta̧d, na mocy warunku (iii) definicji mamy: b ≤ (a →
(b → c)) → (a → c). Zatem znowu stosuja̧c (i) uzyskujemy: a → (b → c) ≤
b → (a → c). Zamieniaja̧c a na b i b na a mamy: b → (a → c) ≤ a → (b → c) i
ostatecznie, a → (b → c) = b → (a → c).
dla (vii): Z warunku (iii) definicji algebry implikacyjnej: b ≤ a → b, zatem
stosuja̧c (iv) i (vi) mamy: (a → b) → (a → c) ≤ b → (a → c) = a → (b → c).
La̧cza̧c to z warunkiem (iv) definicji otrzymujemy: a → (b → c) = (a → b) →
(a → c).
dla (viii): Ponieważ b → a ≤ b → a, wiȩc na mocy (i) : b ≤ (b → a) → a,
sta̧d na mocy (iii) otrzymujemy: (b → a) → b ≤ (b → a) → ((b → a) → a).
Zatem wedlug (v) : (b → a) → b ≤ (b → a) → a, a sta̧d znowu dziȩki (iii) a
nastȩpnie (vi) : (a → b) → ((b → a) → b) ≤ (a → b) → ((b → a) → a) =
(b → a) → ((a → b) → a). Zamieniaja̧c a na b oraz b na a otrzymujemy:
(b → a) → ((a → b) → a) ≤ (a → b) → ((b → a) → b). Ostatecznie zachodzi
(viii). 2
Twierdzenie 2.13: Algebra (A, →, 1) typu (2,0) jest algebra̧ implikacyjna̧ wtw
dla dowolnych x, y, z ∈ A spelnione sa̧ równości:
(12) 1 → x = x,
(13) x → x = 1,
(14) x → (y → z) = (x → y) → (x → z),
(15) (x → y) → ((y → x) → y) = (y → x) → ((x → y) → x).
Dowód: (⇒): Oczywisty na mocy Tw.2.12(ii), (vii), (viii).
(⇐): Zalóżmy, że w algebrze (A, →, 1) spelnione sa̧ równości (12)-(15).
Wykazujemy warunek (i) definicji algebry implikacyjnej. Zwrotność relacji ≤
§5. Algebry modalne
10
określonej w (i) wynika z (13). Aby wykazać jej antysymetriȩ zalóżmy, że a ≤ b
i b ≤ a, tzn., a → b = b → a = 1. Wówczas z (15) mamy: 1 → (1 → b) = 1 →
(1 → a), a sta̧d b = a, dziȩki (12). Zanim dowiedziemy przechodniości relacji
≤ wykazujemy, że ∀a ∈ A, a → 1 = 1. Rzeczywiście, na mocy (13) i (14):
a → 1 = a → (a → a) = (a → a) → (a → a) = 1. Aby dowieść przechodniości
zalóżmy, że a ≤ b oraz b ≤ c, czyli a → b = b → c = 1. Wówczas z (14) i (12):
1 = a → 1 = a → (b → c) = (a → b) → (a → c) = 1 → (a → c) = a → c, zatem
a ≤ c.
Naturalnie warunek (ii) definicji algebry implikacyjnej wynika z faktu: a →
1 = 1.
Na mocy (14) i (13) mamy: b → (a → b) = (b → a) → (b → b) = (b → a) →
1 = 1, zatem b ≤ a → b, co dowodzi warunku (iii).
Oczywiście warunek (iv) jest spelniony na mocy (14) i zwrotności relacji ≤.
2
§5. Algebry modalne
Definicja. Algebra (A, ∧, ∨, −, I, 0, 1) typu (2,2,1,1,0,0) jest nazywana algebra̧ modalna̧, gdy (A, ∧, ∨, −, 0, 1) jest algebra̧ Boole’a oraz operacja I spelnia
nastȩpuja̧ce warunki: dla dowolnych a, b ∈ A,
(16) I(a ∧ b) = Ia ∧ Ib,
(17) I1 = 1.
Algebra modalna (A, ∧, ∨, −, I, 0, 1) nazywana jest topologiczna̧ algebra̧
Boole’a, gdy operacja I spelnia warunki: dla dowolnego a ∈ A,
(18) Ia ≤ a, gdzie ≤ jest kratowym porza̧dkiem kraty (A, ∧, ∨),
(19) IIa = Ia.
Operacja I w topologicznej algebrze Boole’a nosi nazwȩ operacji wnȩtrza.
Naturalnie każda algebra Boole’a wyposażona w operacjȩ identycznościowa̧,
jest topologiczna̧ algebra̧ Boole’a (w której operacja̧ wnȩtrza jest funkcja identycznościowa).
Definicja. Niech (A, ∧, ∨, −, I, 0, 1) bȩdzie topologiczna̧ algebra̧ Boole’a.
Operacjȩ 1-argumentowa̧ C na zbiorze A określona̧ nastȩpuja̧co: dla dowolnego
a ∈ A, Ca = −I − a, nazywamy operacja̧ domkniȩcia.
Element a ∈ A nazywamy otwartym (domkniȩtym), gdy a = Ia (a = Ca).
Twierdzenie 2.14: Dla dowolnego elementu a w topologicznej algebrze Boole’a,
jego wnȩtrze Ia (domkniȩcie Ca) jest najwiȩkszym elementem otwartym bȩda̧cym pod nim (najmniejszym elementem domkniȩtym bȩda̧cym nad nim) wedlug
kratowego porza̧dku.
Dowód: Niech a bȩdzie dowolnym elementem topologicznej algebry Boole’a
(A, ∧, ∨, −, I, 0, 1). Na mocy warunku (19), element Ia jest otwarty. Natomiast wedlug warunku (18), Ia jest pod a. Aby dowieść, że element Ia jest
§5. Algebry modalne
11
najwiȩkszym w zbiorze {x ∈ A : x = Ix i x ≤ a}, najpierw wykazujemy, że
zachodzi w ogólności, dla dowolnych x, y ∈ A:
(20) x ≤ y ⇒ Ix ≤ Iy.
Niech x ≤ y. Zatem x ∧ y = x. Sta̧d i z (16): Ix ∧ Iy = Ix, dlatego Ix ≤ Iy.
Zalóżmy teraz że element otwarty x jest taki, że x ≤ a. Wówczas na mocy
(20): Ix ≤ Ia. Lecz Ix = x. Zatem x ≤ Ia.
Zanim wykażemy dualna̧ czȩść twierdzenia, udowodnimy nastȩpuja̧ce wlasności operacji domkniȩcia C: dla dowolnych a, b ∈ A,
(21) C(a ∨ b) = Ca ∨ Cb,
(22) C(0) = 0,
(23) a ≤ Ca,
(24) CCa = Ca,
(25) a ≤ b ⇒ Ca ≤ Cb.
Mamy wiȩc na mocy (16): C(a ∨ b) = −I − (a ∨ b) = −I(−a ∧ −b) =
−(I − a ∧ I − b) = −I − a ∨ −I − b = Ca ∨ Cb. Dalej, na mocy (17): C0 =
−I − 0 = −I1 = −1 = 0. Z kolei, wedlug (18): I − a ≤ −a. Zatem, na mocy
Tw.2.2(v) : − − a ≤ −I − a, tzn. a ≤ Ca. Wreszcie, wedlug (19) mamy:
CCa = −I − (−I − a) = −II − a = −I − a = Ca. Warunku (25) dowodzi siȩ
analogicznie jak warunku (20), korzystaja̧c z (21) w miejsce (16).
Oczywiście, na mocy (24), (23), Ca jest elementem domkniȩtym takim, że
a jest pod nim. Niech teraz x ∈ A bȩdzie elementem domkniȩtym takim, że
a ≤ x. Wówczas z (25): Ca ≤ Cx, czyli Ca ≤ x. 2
Twierdzenie 2.15: Dla dowolnej topologicznej algebry Boole’a (A, ∧, ∨, −, I, 0,
1) algebra (G(A), ∧, ∨, ⇒, ¬, 0, 1), gdzie G(A) = {a ∈ A : a = Ia} jest zbiorem
wszystkich elementów otwartych i dla dowolnych a, b ∈ G(A) : a ⇒ b = I(a →
b) = I(−a ∨ b) oraz ¬a = I − a = −Ca, jest algebra̧ Heytinga.
Dowód: Najpierw wykażmy, że operacje ∧, ∨ topologicznej algebry Boole’a sa̧
operacjami na zbiorze G(A). Niech wiȩc a, b ∈ G(A), tzn. a = Ia, b = Ib.
Wówczas, zgodnie z (16): a ∧ b = Ia ∧ Ib = I(a ∧ b), zatem a ∧ b ∈ G(A).
Ponadto, z (18): I(a ∨ b) ≤ a ∨ b. Z drugiej strony, a ≤ a ∨ b oraz b ≤ a ∨ b,
zatem z (20): Ia ≤ I(a ∨ b) i Ib ≤ I(a ∨ b), czyli Ia ∨ Ib ≤ I(a ∨ b). Lecz
Ia ∨ Ib = a ∨ b, zatem a ∨ b ≤ I(a ∨ b). Ostatecznie, a ∨ b = I(a ∨ b), czyli
a ∨ b ∈ G(A).
Co wiȩcej, wedlug (17): 1 ∈ G(A), również 0 ∈ G(A), bowiem z (18): I0 ≤ 0,
a oczywiście 0 ≤ Ia.
Naturalnie a ⇒ b, ¬a ∈ G(A) z określenia operacji ⇒, ¬ (na mocy (19) dla
dowolnego x ∈ A, Ix ∈ G(A)).
Aby wykazać, że (G(A), ∧, ∨, ⇒, ¬, 0, 1) jest algebra̧ Heytinga, zauważmy
najpierw, że dla dowolnego a ∈ G(A), ¬a = a ⇒ 0, jak również, że 0 jest
zerem tej algebry. Wystarcza wiȩc wykazać zwia̧zek (8) (Tw.2.4): dla dowolnych
a, b, x ∈ G(A), a ∧ x ≤ b wtw x ≤ a ⇒ b.
(⇒): Zalóżmy, że a ∧ x ≤ b. Wówczas x ≤ −a ∨ x = 1 ∧ (−a ∨ x) =
(−a ∨ a) ∧ (−a ∨ x) = −a ∨ (a ∧ x) ≤ −a ∨ b, dlatego Ix ≤ I(−a ∨ b), czyli
x ≤ a ⇒ b.
§5. Algebry modalne
12
(⇐): Zalóżmy, że x ≤ a ⇒ b, zatem x ≤ I(−a ∨ b) ≤ −a ∨ b. Wówczas
a ∧ x ≤ a ∧ (−a ∨ b) = (a ∧ −a) ∨ (a ∧ b) = 0 ∨ (a ∧ b) = a ∧ b ≤ b. 2
Definicja. Topologiczna̧ algebrȩ Boole’a (A, ∧, ∨, −, I, 0, 1) nazywamy algebra̧
monadyczna̧, gdy dla dowolnego a ∈ A, CIa = Ia, tzn., gdy każdy otwarty element tej topologicznej algebry Boole’a jest jednocześnie elementem domkniȩtym.
Naturalnie w każdej algebrze monadycznej spelniona jest równość: dla dowolnego elementu a,
(26) −Ia = I − Ia,
bowiem CIa = Ia wtw −I − Ia = Ia wtw I − Ia = −Ia.
Definicja. Algebra (A, ∧, ∨, −, I, 0, 1) typu (2,2,1,1,0,0) jest nazywana algebra̧
Henlego, gdy (A, ∧, ∨, −, 0, 1) jest algebra̧ Boole’a oraz operacja I jest zdefiniowana nastȩpuja̧co: dla dowolnego a ∈ A, Ia = 0, gdy a 6= 1 oraz I1 = 1.
Twierdzenie 2.16: Algebra Henlego jest algebra̧ monadyczna̧.
Dowód: Bezpośrednio z określenia operacji I w algebrze Henlego widać, że
warunki (17),(18,(19) sa̧ spelnione. Ponadto, dla dowolnych jej elementów a, b
mamy: a ∧ b 6= 1 wtw a 6= 1 lub b 6= 1, zatem gdy a, b sa̧ takie, że a ∧ b 6= 1, to
I(a ∧ b) = 0 oraz Ia = 0 lub Ib = 0, czyli Ia ∧ Ib = 0, zatem I(a ∧ b) = Ia ∧ Ib.
Naturalnie, gdy a, b sa̧ takie, że a ∧ b = 1, to a = b = 1 i wówczas Ia = Ib = 1,
czyli Ia ∧ Ib = 1, zaś I(a ∧ b) = 1. Ostatecznie, warunek (16) zachodzi. W ten
sposób widać, że algebra Henlego jest algebra̧ topologiczna̧.
Ponadto, w algebrze Henlego mamy: dla dowolnego elementu a, Ca = 1,
gdy a 6= 0 oraz C0 = 0. Bowiem gdy a 6= 0, czyli −a 6= 1 zachodzi: Ca =
−I − a = −0 = 1, natomiast C0 = −I − 0 = −I1 = −1 = 0.
Zatem, gdy a 6= 1, to CIa = C0 = 0 = Ia oraz CI1 = C1 = 1 = I1, czyli
algebra Henlego jest monadyczna. 2