Powtórz teorię z matematyki

C z y



p a m i ę t a s z ?
Liczby naturalne – porządkowe, Przykłady: 0,1, 2, 6, 148, …
Liczby całkowite – to liczby naturalne, przeciwne do nich i 0. Przykłady: … , -3, -1, 0, 17, …
Liczby wymierne – można przedstawid w postaci ułamka zwykłego (ilorazu liczb całkowitych , gdzie n≠0)
lub w postaci ułamka dziesiętnego skooczonego lub nieskooczonego okresowego. Przykłady:

Liczby niewymierne – ułamek dziesiętny nieskooczony nieokresowy. Przykłady:
, 3,(23), …
…
 Liczby pierwsze – liczby, które dzielą się przez samą siebie i przez 1
Działania na liczbach:
składnik + składnik = suma
odjemna – odjemnik = różnica
czynnik · czynnik = iloczyn
dzielna : dzielnik = iloraz
(to jest też dzielenie)

Liczby przeciwne – dodajemy „-”. Przykłady: 2 i -2;

stronach 0 na osi liczbowej i w tej samej od 0 odległości)
Liczby odwrotne – dla a → . Przykłady: 2 i , - i
, 0,25 i

Ułamki niewłaściwe – licznik jest większy od mianownika, przykład: .

(zamiana na liczbę mieszaną: dzielimy licznik przez mianownik, a reszta z dzielenia zostaje w liczniku)
Liczby mieszane – zbudowane są z całości i ułamka właściwego (zamiana na ułamek niewłaściwy: mnożymy
mianownik przez l. całości i dodajemy licznik). Przykład:
.






i , 3,75 i -3,75, … (liczby te leżą po przeciwnych
…
Dodawanie ułamków zwykłych– jeśli trzeba, sprowadzamy do wspólnego mianownika i dodajemy liczniki
Mnożenie ułamków zwykłych – (liczby mieszane koniecznie trzeba zamienid na ułamek niewłaściwy)
mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki; liczby całkowite mnożymy przez licznik
(pamiętajmy o skracaniu ułamków, ułatwiajmy sobie liczenie, a rzadziej będziemy się mylid)
Dzielenie ułamków zwykłych – mnożenie przez odwrotnośd dzielnika.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych – pamiętaj, żeby przecinki były w jednej linii (jeden pod
drugim itd.)
Mnożenie ułamków dziesiętnych – ostatnie cyfry liczb zapisujemy w jednym rzędzie, a potem zliczamy ilośd
miejsc po przecinku
Dzielenie ułamków dziesiętnych – przekształcamy, aby dzielnik był liczbą całkowitą (mnożymy obie liczby
przez taką potęgę liczby 10, ile jest miejsc po przecinku w dzielniku)
Przybliżenia:
 Z niedomiarem – jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest mniejsza od 5. Przykład: 3,24512≈3,2
 Z nadmiarem - jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest większa lub równa 5. Przykład: 2,364≈2,4
Notacja wykładnicza:
Przedstawienie liczby w postaci iloczynu
, gdzie 0 ≤ a < 10, nC.
6
Przykłady: 1362800 = 1,4 · 10 ;
0,87519 = 9 · 10-1
Obliczanie NWD i NWW:
 NWD(a, b) = c – największy wspólny dzielnik, czyli największa liczba, przez którą dzielą się liczby a i b
- rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynad po kolei od najmniejszej, aż do
wyczerpania)
- zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy je → c
 NWW(a, b) = c – najmniejsza wspólna wielokrotnośd, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się przez a i b
- rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynad po kolei od najmniejszej, aż do
wyczerpania)
- zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy wszystkie pomijając powtarzających się czynników → c
Wyrażenia algebraiczne:
To wszystkie wyrażenia zapisane za pomocą liczb i liter oraz znaków działao, np.: a, 2a, 3a+5, 4x-2b, …
Współczynnik liczbowy →2 w wyrażeniu 2a
Wyrazy podobne – wyrażenia o różnych współczynnikach liczbowych, a jednakowych literach
Redukcja wyrazów podobnych, to dodawanie (odejmowanie) współczynników wyrazów podobnych
Mnożenie wyrażeo algebraicznych:
 a(b + c) = a · b + a · c (mnożymy każdy składnik sumy przez wyr. przed nawiasem)
 (a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(każdy składnik jednej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej sumy)
 Wzory skróconego mnożenia (niekoniecznie)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Potęgowanie i pierwiastkowanie
an= a · a · … · a, gdzie n określa ilośd czynników a
an · am = an+m
an : am =
= an – m
= an · m
= b, jeżeli b2 = a
=
·
=
=
=
n
n
(a · b) = a · b
n
(a : b)n =
=
= b, jeżeli b3 = a
=a
=
=a
Pozbywanie się niewymierności z mianownika:

Mnożymy licznik i mianownik przez l. niewymierną, przykład:

Korzystamy ze znajomości wzorów skróconego mnożenia (gdy w mianowniku jest suma lub różnica l.
wymiernej i niewymiernej:
przykład:
=
=
= 2(2 -
=
=
)
Rozwiązywanie równao:
(równanie jest to zapis zależności w postaci: L = P, które przekształcamy tożsamościowo doprowadzając do postaci:
x = wartośd liczbowa)
 Pozbądź się mianowników (pomnóż obydwie strony równania przez NWW mianowników)
 Wykonaj wszystkie wskazane działania
 Przenieś wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę (pamiętaj o zmianie znaku na
przeciwny)
 Zredukuj wyrazy podobne
 Oblicz wartośd niewiadomej – współczynnik liczbowy =1 (podziel obie strony równania przez współczynnik
liczbowy przy niewiadomej)
 Podsumowując dobrze jest sprawdzid poprawnośd rozwiązania – podstawid otrzymany wynik do
pierwotnego równania i sprawdzid, czy L = P
Rozwiązywanie nierówności:
Rozwiązując nierównośd postępujesz analogicznie jak w przypadku rozwiązywania równania.
Pamiętaj o zmianie znaku nierówności na przeciwny, jeżeli mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną.
 Nierównośd ostra – znak między stronami: < lub >
- rozwiązanie na osi liczbowej → kółeczko niezamalowane
 Nierównośd nieostra – znak ≤ lub ≥
- rozwiązanie na osi liczbowej → kółeczko zamalowane
 Kierunek kreskowania, to kierunek znaku nierówności (skojarz z lecącym ptakiem)
Rozwiązywanie układów równao:
METODA PODSTAWIANIA
Czynności
W jednym równaniu wyznaczyć jedną
zmienną
Wybrad najdogodniejsze równanie z układu w celu
wyznaczenia jednej zmiennej
(dalej mamy układ równao)
Wyznaczoną zmienną podstawiamy do
drugiego równania
Uwagi
- wszystko oprócz jednomianu z obraną zmienną
przenosimy naprawą stronę(pamiętaj o zmianie znaków
na przeciwny
- obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy
obranej zmiennej
Pamiętaj o działaniach i stosuj nawiasy
(dalej mamy układ równao)
Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą
Otrzymamy wartośd jednej zmiennej
(możemy obliczenia wykonad poza układem)
Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego
równania
Otrzymaną wartośd jednej zmiennej wpisujemy w miejsce
równania, które rozwiązywaliśmy, a drugie przepisujemy –
jest to wyliczona wcześniej zmienna
Obliczoną wartośd jednej zmienne przepisujemy
(znowu mamy układ równao)
Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą
(znowu mamy układ równao)
Rozwiązaniem układu jest para liczb
(dalej mamy układ równao)
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Czynności
Uwagi
Przy jednej zmiennej współczynniki muszą byd
Mnożymy obie strony jednego równania przez taką liczbę,
liczbami przeciwnymi
aby otrzymad przy wybranej zmiennej liczbę przeciwną do
występującej w drugim równaniu
Lub
(dalej mamy układ równao)
Oba równania mnożymy tak, aby otrzymad w dwóch
równaniach przy wybranej zmiennej przeciwne
współczynniki
Pozbywamy się jednej zmiennej
Otrzymujemy równanie z jedną zmienną Podkreślamy.
Dodajemy obie strony równania
(wyskakujemy z układu równao)
Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą
Otrzymamy wartośd jednej zmiennej
Otrzymaną wartośd jednej zmiennej wpisujemy w dowolnie
Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego
wybrane równanie.
równania
(znowu mamy układ równao)
Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą
Obliczoną wartośd jednej zmienne przepisujemy
(znowu mamy układ równao)
Rozwiązaniem układu jest para liczb
(dalej mamy układ równao)
Przypomnienie wzorów na obwód, pole powierzchni niektórych figur
Figury geometryczne:
Obwód
Pole
Twierdzenie Pitagorasa: (w uproszczeniu)
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
(dł. przyprostokątnej)2 + (dł. przyprostokątnej)2 = (dł. przeciwprostokątnej)2
a2 + b2 = c2
Twierdzenie potrzebne do obliczania długości poszczególnych boków, jeżeli dane są dwa pozostałe:
a=
b=
c=
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:
Sprawdzanie, czy podane długości boków trójkąta są długościami boków trójkąta prostokątnego
– jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków trójkąta jest równy kwadratowi najdłuższego boku, to trójkąt jest
prostokątny
Trójkąty szczególne (ekierki):
Połówka trójkąta równobocznego,
czyli o kątach wewnętrznych: 30°, 60°, 90°
Połówka kwadratu,
czyli o kątach wewnętrznych: 45°, 45°, 90°
Podobieostwo figur:
Jeżeli figura F’ jest podobna do figury F, to stosunek odpowiednich boków jest stały i określamy go jako skala
podobieostwa:
Własności podobieostwa figur:
Jeżeli figury są podobne w skali k, to:
- stosunek obwodów jest równy skali podobieostwa:
- stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieostwa:
Przypomnienie wzorów na pole powierzchni, objętośd niektórych brył
Bryły geometryczne:
Pole powierzchni
Objętośd
Jednostki długości, powierzchni i objętości
Długośd
1km = 1000m = 10000dm =
100000cm = 1000000mm
Powierzchnia
Objętośd
2
2
1km = 100ha = 10000ar = 1000 m
= 106m2
2
2
2
1km3 = 10003m3 = 109m3
1m3 = 103dm3 = 106dm3
1l = 1dm3
1m = 10 dm = 100cm
1ha = 100ar = 100 m
1dm = 10 cm
1ar = 100m2 = 102m2
1dm3 = 103cm3
1cm = 10 mm
1m2 = 102dm2 = 1002cm2 = 104cm2
1cm3 = 103 mm3
1mm
1dm2 = 102cm2
1mm3
1cm2 = 102 mm2
1mm2