Gimnazjum: Trzecioklasisto
Transkrypt
Gimnazjum: Trzecioklasisto
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z ? • • Liczby naturalne – porządkowe, (0 – nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, … Liczby całkowite – to liczby naturalne, przeciwne do nich i 0. Przykłady: … , -3, -1, 0, 17, … • Liczby wymierne – można przedstawić w postaci ułamka zwykłego (ilorazu liczb całkowitych , gdzie n≠0) lub w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego. Przykłady: • Liczby niewymierne – ułamek dziesiętny nieskończony nieokresowy. Przykłady: , 3,(23), … … • Liczby pierwsze – liczby, które dzielą się przez samą siebie i przez 1 Działania na liczbach: składnik + składnik = suma odjemna – odjemnik = różnica czynnik · czynnik = iloczyn dzielna : dzielnik = iloraz (to jest też dzielenie) • Liczby przeciwne – dodajemy „-”. Przykłady: 2 i -2; i , 3,75 i -3,75, … (liczby te leżą po przeciwnych stronach 0 na osi liczbowej i w tej samej od 0 odległości) • Liczby odwrotne – dla a → . Przykłady: 2 i , - i • Ułamki niewłaściwe – licznik jest większy od mianownika, przykład: . • (zamiana na liczbę mieszaną: dzielimy licznik przez mianownik, a reszta z dzielenia zostaje w liczniku) Liczby mieszane – zbudowane są z całości i ułamka właściwego (zamiana na ułamek niewłaściwy: mnożymy , 0,25 i mianownik przez l. całości i dodajemy licznik). Przykład: • • • • • • … . Dodawanie ułamków zwykłych– jeśli trzeba, sprowadzamy do wspólnego mianownika i dodajemy liczniki Mnożenie ułamków zwykłych – (liczby mieszane koniecznie trzeba zamienić na ułamek niewłaściwy) mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki; liczby całkowite mnożymy przez licznik (pamiętajmy o skracaniu ułamków, ułatwiajmy sobie liczenie, a rzadziej będziemy się mylić) Dzielenie ułamków zwykłych – mnożenie przez odwrotność dzielnika. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych – pamiętaj, żeby przecinki były w jednej linii (jeden pod drugim itd.) Mnożenie ułamków dziesiętnych – ostatnie cyfry liczb zapisujemy w jednym rzędzie, a potem zliczamy ilość miejsc po przecinku Dzielenie ułamków dziesiętnych – przekształcamy, aby dzielnik był liczbą całkowitą (mnożymy obie liczby przez taką potęgę liczby 10, ile jest miejsc po przecinku w dzielniku) Przybliżenia: • Z niedomiarem – jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest mniejsza od 5. Przykład: 3,24512≈3,2 • Z nadmiarem - jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest większa lub równa 5. Przykład: 2,364≈2,4 Notacja wykładnicza: Przedstawienie liczby w postaci iloczynu , gdzie 0≤a<10 a n∈C. 6 -5 Przykłady: 1400000 = 1,4 · 10 ; 0,00009 = 9 · 10 Obliczanie NWD i NWW: • NWD(a, b) = c – największy wspólny dzielnik, czyli największa liczba, przez którą dzielą się liczby a i b - rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynać po kolei od najmniejszej, aż do wyczerpania) - zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy je → c • NWW(a, b) = c – najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się przez a i b - rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynać po kolei od najmniejszej, aż do wyczerpania) - zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy wszystkie pomijając powtarzających się czynników → c Wyrażenia algebraiczne: To wszystkie wyrażenia zapisane za pomocą liczb i liter oraz znaków działań, np.: a, 2a, 3a+5, 4x-2b, … Współczynnik liczbowy →2 w wyrażeniu 2a Wyrazy podobne – wyrażenia o różnych współczynnikach liczbowych, a jednakowych literach Redukcja wyrazów podobnych, to dodawanie (odejmowanie) współczynników wyrazów podobnych Mnożenie wyrażeń algebraicznych: • a(b + c) = a · b + a · c (mnożymy każdy składnik sumy przez wyr. przed nawiasem) • (a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d (każdy składnik jednej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej sumy) • Wzory skróconego mnożenia (niekoniecznie) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Potęgowanie i pierwiastkowanie an= a · a · … · a, gdzie n określa ilość czynników a a0=1 an · am = an+m an : am = = an – m = an · m (a · b)n = an · bn (a : b)n = = = b, jeżeli b2 = a = · = = = b, jeżeli b3 = a = =a = =a Pozbywanie się niewymierności z mianownika: • Mnożymy licznik i mianownik przez l. niewymierną, przykład: = = Rozwiązywanie równań: (równanie jest to zapis zależności w postaci: L = P, które przekształcamy tożsamościowo doprowadzając do postaci: x = wartość liczbowa) • Pozbądź się mianowników (pomnóż obydwie strony równania przez NWW mianowników) • Wykonaj wszystkie wskazane działania • Przenieś wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę (pamiętaj o zmianie znaku na przeciwny) • Zredukuj wyrazy podobne • Oblicz wartość niewiadomej – współczynnik liczbowy =1 (podziel obie strony równania przez współczynnik liczbowy przy niewiadomej) • Podsumowując dobrze jest sprawdzić poprawność rozwiązania – podstawić otrzymany wynik do pierwotnego równania i sprawdzić, czy L = P Rozwiązywanie układów równań: METODA PODSTAWIANIA Czynności W jednym równaniu wyznaczyć jedną zmienną Wybrać najdogodniejsze równanie z układu w celu wyznaczenia jednej zmiennej (dalej mamy układ równań) Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania Uwagi - wszystko oprócz jednomianu z obraną zmienną przenosimy naprawą stronę(pamiętaj o zmianie znaków na przeciwny - obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy obranej zmiennej Pamiętaj o działaniach i stosuj nawiasy (dalej mamy układ równań) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Otrzymamy wartość jednej zmiennej (możemy obliczenia wykonać poza układem) Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania Otrzymaną wartość jednej zmiennej wpisujemy w miejsce równania, które rozwiązywaliśmy, a drugie przepisujemy – jest to wyliczona wcześniej zmienna Obliczoną wartość jednej zmienne przepisujemy (znowu mamy układ równań) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą (znowu mamy układ równań) Rozwiązaniem układu jest para liczb (dalej mamy układ równań) METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Czynności Uwagi Przy jednej zmiennej współczynniki muszą być Mnożymy obie strony jednego równania przez taką liczbę, liczbami przeciwnymi aby otrzymać przy wybranej zmiennej liczbę przeciwną do występującej w drugim równaniu Lub (dalej mamy układ równań) Oba równania mnożymy tak, aby otrzymać w dwóch równaniach przy wybranej zmiennej przeciwne współczynniki Pozbywamy się jednej zmiennej Otrzymujemy równanie z jedną zmienną Podkreślamy. Dodajemy obie strony równania (wyskakujemy z układu równań) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Otrzymamy wartość jednej zmiennej Otrzymaną wartość jednej zmiennej wpisujemy w dowolnie Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego wybrane równanie. równania (znowu mamy układ równań) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Obliczoną wartość jednej zmienne przepisujemy (znowu mamy układ równań) Rozwiązaniem układu jest para liczb (dalej mamy układ równań) Przypomnienie wzorów na obwód, pole powierzchni niektórych figur Figury geometryczne: Obwód Pole Długość okręgu L=2πr Twierdzenie Pitagorasa: (w uproszczeniu) Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. (dł. przyprostokątnej)2 + (dł. przyprostokątnej)2 = (dł. przeciwprostokątnej)2 a2 + b2 = c2 Twierdzenie potrzebne do obliczania długości poszczególnych boków, jeżeli dane są dwa pozostałe: a= b= c= Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: Sprawdzanie, czy podane długości boków trójkąta są długościami boków trójkąta prostokątnego – jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków trójkąta jest równy kwadratowi najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny Trójkąty szczególne (ekierki): Połówka trójkąta czyli o kątach wewnętrznych: 30°, równobocznego, 60°, 90° Połówka kwadratu, czyli o kątach wewnętrznych: 45°, 45°, 90° Podobieństwo figur: Jeżeli figura F’ jest podobna do figury F, to stosunek odpowiednich boków jest stały i określamy go jako skala podobieństwa: Własności podobieństwa figur: Jeżeli figury są podobne w skali k, to: - stosunek obwodów jest równy skali podobieństwa: - stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa: Przypomnienie wzorów na pole powierzchni, objętość niektórych brył Bryły geometryczne: Pole powierzchni Objętość Jednostki długości, powierzchni i objętości Długość Powierzchnia Objętość 1km = 1000m = 10000dm = 100000cm = 1000000mm 1km = 100ha = 10000ar = 1000 m = 106m2 1m = 10 dm = 100cm 1ha = 100ar = 100 m 1dm = 10 cm 1ar = 100m2 = 102m2 1dm3 = 103cm3 1cm = 10 mm 1m2 = 102dm2 = 1002cm2 = 104cm2 1cm3 = 103 mm3 1mm 1dm2 = 102cm2 1mm3 2 2 2 1cm2 = 102 mm2 1mm2 2 2 1km3 = 10003m3 = 109m3 1m3 = 103dm3 = 106dm3 1l = 1dm3