Wprowadzenie nr 1

Wprowadzenie nr 1∗ do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość materiałów”
dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku „Energetyka”
Wydz. Energetyki i Paliw”, semestr zimowy 2012/2013
1. Zakres wprowadzenia nr 1
Niniejsze wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŜdy student opracowuje samodzielnie
„Arkusz ćwiczeniowy nr 1”. Przez opracowanie tego arkusza studenci nabywają umiejętność
obliczania parametrów geometrycznych dla figur płaskich. Ta umiejętność jest niezbędna do zdobywania kolejnych umiejętności, jakie - zgodnie programem przedmiotu – studenci będą nabywać na
kolejnych ćwiczeniach.
2. Momenty statyczne
JeŜeli zadanej figurze płaskiej o polu A przyporządkuje się prostokątny układ współrzędnych 0, x, y (rys. 1), to momenty statyczne Sx,
Sy tej figury względem osi x, y definiuje się za pomocą zaleŜności:
Sx = ∫ ydA
, Sy = ∫ xdA
A
(1)
Rys.1
A
Z zaleŜności (1) wynika, Ŝe dla kaŜdej figury płaskiej w układzie jak na rys. 1 moŜna wyznaczyć taki
punkt C, Ŝe za pomocą współrzędnych xC, yC tego punktu moŜna przedstawić zaleŜności (1) w postaci:
S x = A ⋅ y c , Sy = A ⋅ xc
(2)
Tak wyznaczony punkt C figury płaskiej jest nazywany jej środkiem cięŜkości, a parametry xC, yC są
współrzędnymi tego środka.
Momenty statyczne mogą mieć wartości dodatnie, ujemne lub równe zero. ZaleŜy to od usytuowania
figury w stosunku do osi, względem której jest liczony moment statyczny. Ten moment jest równy zero
wtedy, gdy jest obliczony względem osi przechodzącej przez środek cięŜkości figury. Taka oś nosi nazwę
osi centralnej. JeŜeli figura płaska ma oś symetrii, to jest ona takŜe osią centralną tej figury, bo środek
cięŜkości figury leŜy na osi symetrii figury.
Z zaleŜności (1) i (2) wynika, Ŝe gdy figurę płaską o polu A podzielić na szereg pól A1, A2, …Ai, …An
przylegających ściśle do siebie (rys.2), to momenty statyczne Sx, Sy tej figury moŜna obliczyć ze wzorów:
Sx =
i =n
i =n
i =1
i =1
∑ Ai ⋅ y ci , Sy =
∑ Ai ⋅ xci
(3)
gdzie: xci , yci – współrzędne środka cięŜkości Ci pola Ai.
Ze wzorów (2) i (3) uzyskuje się następujące zaleŜności:
i =n
xc =
Sy
A
=
i =1
i =n
∑ Ai
i =1
∗
i =n
∑ Ai ⋅ xci
,
S
yc = x =
A
∑ Ai ⋅ y ci
i =1
i =n
(4)
∑ Ai
i =1
Rys.2
Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (6 stron) stanowi przedmiot prawa
autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn.
zmianami). Autor nie wyraŜa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŜ podane w jego przeznaczeniu.
2
ZaleŜności (4) są wykorzystywane w praktyce inŜynierskiej do wyznaczania środka cięŜkości figury
złoŜonej, którą moŜna podzielić na przylegające ściśle do siebie figury proste o znanych połoŜeniach
środków cięŜkości. Takimi figurami prostymi są m. in. kwadraty, prostokąty i koła.
3. Przykład 1
3.1. Temat
Wyznaczyć współrzędne xc , yc połoŜenia środka cięŜkości
figury płaskiej (rys. 3), względem zadanych osi x2, y.
Wymiary figury podano na rys. 3 w milimetrach. Wyniki
obliczeń współrzędnych podać w centymetrach.
3.2. ZałoŜenia
•
PoniewaŜ oś y jest osią symetrii figury, współrzędna xC
jest równa zero. Obliczyć naleŜy tylko współrzędną yC.
•
Figurę pokazaną na rys. 3 moŜna podzielić na przylegające ściśle do siebie trzy prostokąty o polach A1,
A2, A3 mające środki cięŜkości C1, C2 , C3 o znanych
połoŜeniach. Z tego powodu, do obliczenia współrzędnej yC moŜna zastosować wzór (4).
Rys.3
3.3. Obliczenie pól A1, A2, A3
A1 = 60 ⋅ 20 = 12 ⋅ 10 2 mm2 = 12 cm 2
A2 = 20 ⋅ 120 = 24 ⋅ 10 2 mm2 = 24 cm 2
A3 = 100 ⋅ 20 = 20 ⋅ 10 2 mm2 = 20 cm 2
3.4.Określenie współrzędnych yc1, yc2, yc3
y c1 = 70 mm = 7 cm ,
y c2 = 0 ,
y c3 = −70 mm = −7 cm ,
3.5. Obliczenie współrzędnej yc
i =3
∑
yc =
Ai
i =1
i =3
⋅ y ci
∑ Ai
=
12 ⋅ 7 + 24 ⋅ 0 + 20 ⋅ ( −7 )
= −1 cm
12 + 24 + 20
i =1
Ujemna wartość współrzędnej yc potwierdza, Ŝe środek cięŜkości C figury z rys. 3 jest usytuowany
poniŜej osi x2.
3
4. Momenty bezwładności
JeŜeli zadanej figurze płaskiej o polu A przyporządkuje się prostokątny układ współrzędnych 0, x, y
(rys.4), to dla tej figury definiuje się trzy następujące rodzaje momentów bezwładności
• momenty bezwładności osiowe:
J x = ∫ y 2 dA , J y = ∫ x 2 dA
A
• moment bezwładności biegunowy:
(5)
A
J ρ = ∫ ρ 2 dA = J x + J y
(6)
A
• moment bezwładności dewiacji:
D xy = ∫ xydA
Rys. 4
(7)
A
Momenty bezwładności osiowe i biegunowe są zawsze wielkościami dodatnimi, natomiast moment
dewiacji moŜe być dodatni, ujemny lub równy zero. Moment dewiacji jest równy zero wtedy, gdy
przynajmniej jedna z osi x, y jest osią symetrii figury. W tym przypadku osie x, y są nazywane osiami
głównymi figury. Gdy osie główne figury płaskiej przecinają się w środku jej cięŜkości, są one takŜe
centralnymi osiami tej figury. Takie osie figury płaskiej nazywa się głównymi centralnymi osiami figury.
JeŜeli momenty bezwładności figury płaskiej zostały obliczone względem jej głównych centralnych osi,
to takie momenty są nazywane głównymi centralnymi momentami bezwładności. W tab. 1 zestawiono
wzory algebraiczne do obliczeń głównych centralnych momentów bezwładności figur symetrycznych
prostych oraz odpowiadających im figur symetrycznych złoŜonych z tzw. wybraniem.
Tab.1.
Figura
symetryczna
prosta
Moment osiowy
bezwładności
Jx
Jx =
πd 4
64
A4
Jx =
12
Jx =
BH 3
12
Jy
Jy =
Moment osiowy
bezwładności
Figura
symetryczna
złoŜona
z wybraniem
Jx
πd 4
64
A4
Jy =
12
Jy =
B3H
12
Jx =
π ( D4 − d 4 )
64
Jy =
π ( D4 − d 4 )
64
A4 − a 4
12
Jy =
A4 − a 4
12
BH 3 − bh 3
12
Jx =
B3 H − b3 h
12
Jx =
Jx =
Jy
4
Ze wzorów podanych w tab. 1 wynika, Ŝe gdy odpowiadające sobie figury symetryczne bez
wybrania i z wybraniem mają takie same połoŜenie środka cięŜkości, to moment bezwładności figury
z wybraniem jest łatwy do obliczenia, bo jest róŜnicą momentu bezwładności figury bez wybrania oraz
momentu bezwładności figury odwzorowującej to wybranie.
Natomiast bardziej pracochłonne są obliczenia momentów bezwładności figury symetrycznej złoŜonej, gdy
tworzące tę figurę proste figury symetryczne mają środki
cięŜkości przesunięte względem siebie (rys.5). W przypadku takiej figury złoŜonej, obliczenie jej momentów
bezwładności wymaga wykonania trzech kroków obliczeniowych, z których pierwszym jest wyznaczenie połoŜenia środka cięŜkości j figury złoŜonej, wykonywane
w sposób omówiony w p. 2 i 3. W drugim kroku, dla
kaŜdej figury prostej oblicza się osiowe momenty bezwładności względem osi x, y poprowadzonych przez
środek cięŜkości C figury złoŜonej, równolegle do osi
Rys.5
symetrii figur prostych.
Te momenty oblicza się za pomocą tzw. twierdzenia Steinera, którego treść odpowiadającą potrzebom omawianych obliczeń moŜna sformułować następująco:
„Moment bezwładności figury prostej, obliczony względem osi poprowadzonej równolegle do głównej
centralnej osi tej figury, jest równy sumie głównego centralnego momentu bezwładności figury prostej
oraz iloczynu dwu czynników, z których jednym jest kwadrat odległości obydwu osi, a drugim – pole
figury prostej”.
Wykorzystując twierdzenie Steinera uzyskuje się dla przypadku figury z rys. 5 następujące wzory:
J1 x = J1 x1 + ( b − y c )2 ⋅ A1
J 2 x = J 2 x 2 + y c 2 ⋅ A2
J3 x = J 3 x 3 + ( b − y c )2 ⋅ A3
, J1y = J1y1 + a 2 ⋅ A1
,
J2 y = J2 y 2
(8)
, J 3 y = J 3 y 3 + a 2 ⋅ A3
gdzie:
J1x, J2x, J3x - momenty bezwładności figur prostych o polach A1, A2, A3, obliczone względem osi x,
J1y, J2y, J3y - momenty bezwładności figur prostych o polach A1, A2, A3, obliczone względem osi y,
J1x1, J2x2, J3x3 - główne centralne momenty bezwładności figur prostych o polach A1, A2, A3, obliczone
względem osi x1, x2, x3 tych figur, z zastosowaniem wzorów podanych w tab. 1,
J1y1, J2y2, J3y3 - główne centralne momenty bezwładności figur prostych o polach A1, A2, A3, obliczone
względem osi głównych y1, y2, y3 tych figur, z zastosowaniem wzorów podanych w tab. 1,
|yc| – wartość bezwzględna współrzędnej yc środka cięŜkości C figury złoŜonej.
5
Z kolei w trzecim, ostatnim kroku omawianych obliczeń wyznacza się główne centralne momenty
bezwładności Jx, Jy, figury złoŜonej, co wykonuje się sumując odpowiadające sobie momenty bezwładności figur prostych, obliczone za pomocą wzorów (8):
J x = J1 x + J 2 x + J 3 x
,
J y = J1y + J 2 y + J 3 y
(9)
5. Przykład 2
5.1. Temat
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności
figury złoŜonej pokazanej na rys. 6. Wymiary figury
podano na rys. 6 w milimetrach. Momenty bezwład4
ności obliczyć w cm , z zaokrągleniem do pierwszego
miejsca po przecinku dziesiętnym.
5.2. Obliczenie pól A1, A2, A3
A1 = 70 ⋅ 20 = 14 ⋅ 10 2 mm2 = 14 cm2
A2 = 20 ⋅ 80 = 16 ⋅ 10 2 mm2 = 16 cm2
A3 = 50 ⋅ 20 = 10 ⋅ 10 2 mm2 = 10 cm2
Rys.6
5.3. Określenie współrzędnych xc1, xc2, xc3
xc1 = −50 mm = −5 cm ,
xc2 = 0 ,
xc3 = 50 mm = 5 cm ,
5.4. Obliczenie współrzędnej xC
Wykorzystując wzór (4) uzyskuje się:
i =3
∑
xc =
Ai
i =1
i =3
⋅ x ci
∑ Ai
=
14 ⋅ ( −5 ) + 16 ⋅ 0 + 10 ⋅ 5
= −0 ,5 cm
14 + 16 + 10
i =1
Ujemna wartość współrzędnej xc potwierdza, Ŝe środek cięŜkości C figury z rys. 6 jest usytuowany na lewo
od osi y2.
5.5. Obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności figur prostych
Wykorzystując wzory podane w tab.1 uzyskuje się:
J1 x1 =
J1y1
2 ⋅7 3
8 ⋅ 23
2 ⋅ 53
= 57 ,2 cm 4 , J 2 x 2 =
= 5 ,3 cm 4 , J 3 x 3 =
= 20 ,8 cm 4
12
12
12
2 3 ⋅7
83 ⋅ 2
23 ⋅ 5
4
4
=
= 4 ,7 cm , J 2 y 2 =
= 85 ,3 cm , J 3 y 3 =
= 3 ,3 cm
12
12
12
6
5.6. Obliczenie momentów bezwładności figur prostych względem osi x, y
Wykorzystując twierdzenie Steinera, uzyskuje się:
J1 x = J1 x1 = 57 ,2 cm 4 , J 2 x = J 2 x 2 = 5 ,3 cm 4 , J 3 x = J 3 x 3 = 20 ,8 cm 4
J1y = J1y1 + ( xc1 − xc )2 ⋅ A1 = 4 ,7 + (5 - 0,5)2 ⋅14 = 288,2 cm 4
J2 y = J 2 y 2 + xc
2
⋅ A2 = 85 ,3 + 0,5 2 ⋅16 = 89,3 cm 4
J3 y = J3 y 3 + ( xc 3 − xc )2 ⋅ A3 = 3 ,3 + (5 - 0,5)2 ⋅10 = 205,8 cm 4
5.7. Obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności figury złoŜonej
Wykorzystując wzory (9) uzyskuje się:
J x = J1 x + J 2 x + J 3 x = 57,2 + 5,3 + 20,8 = 83,3 cm 4
J y = J1y + J 2 y + J 3 y = 288,2 + 89,3 + 205,8 = 583,3 cm 4
Koniec wprowadzenia nr1