1. Rozważmy dwie proste M. Weźmy na jednej z nich punkty A i A1

Pola
1. Rozważmy dwie proste M . Weźmy na jednej z nich punkty A i A1 , a na
drugiej - punkty B i B1 . Udowodnić, że stosunek pól trójkątów M AB,
MA · MB
M A1 B1 jest równy:
.
M A1 · M B1
2. Niech przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie E. UdoAE
SDAB
wodnić, że:
=
.
EC
SDCB
3. Przekątne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkAE
AD · AB
cie E. Udowodnić, że:
=
.
EC
CD · CB
4. Na bokach BC i CA trójkąta ABC obrano punkty K i M tak, aby
BK
1 CM
3
= ,
= . W jakim stosunku prosta AK dzieli odcinek BM ?
KC
2 MA
4
5. Na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty
P , K i M tak, aby AP : P B = 1 : 2, BK : KC = 2 : 3, CM : M A =
3 : 4. Oznaczamy przez D punkt przecięcia się prostych AK i P M .
AD P D
Znaleźć stosunki:
,
.
DK DM
6. Niech P , K, M , N - odpowiednio środki boków AB, BC, CD, i DA
równoległoboku ABCD. Jaką część pola ABCD stanowi pole czworokąta ograniczonego prostymi AK, DM , CN , i DP ?
7. Na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC obrano punkty K, L, i M odpoAK
BL
CM
1
wiednio tak, aby
=
=
= . Udowodnić, że pole trójkąta
AB
BC
CA
3
ograniczonego prostymi AL, BM , i CK stanowi 71 części pola trójkąta
ABC.
1
2
8. W trójkącie ABC wiadomo, że CA = b, CB = a, ∠ABC = α + β. Na
boku AB obrano punkt D tak, by ∠ABC = α. Znaleźć CD.
9. Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie E
a) Udowodnij, że SBEA · SCED = SBEC · SDEA .
b) Znaleźć pole ABCD, jeśli pola trójkątów ABD, ACD, i AED są
równe odpowiednio p, q i r.
10. Udowodnić, że prosta, dzieląca na połowy pole i obwód opisanego na
okręgu wielokąta, przechodzi przez środek wpisanego w ten wielokąt
okręgu.
11. Na płaszczyźnie obrano punkty A, B, C, D i M0 . Znaleźć miejsce goemetryczne punktów M płaszczyzny, dla których suma pól trójkątów
AM B i CM D jest stała i równa sumie pól trójkątów AM0 B i CM0 D.
12. Udowodnić, że odcinek łączący środki przekątnych opisanego czworokąta zawiera środek wpisanego w niego okręgu.
13. Punkty K i M - środki boków AD i BC odpowiednio wypukłego czworokąta ABCD. Proste BK, CK, AM i BM dzielą czworokąt na 7
częśći: 1 czworokąt i 6 trójkątów. Udowodnić, że pole powstałego czworokąta jest równe sumie pól dwóch trójkątów przylegających do AB i
CD.
14. W trapazie ABCD przez końce mniejszej podstawy BC poprowadzono
równoległe proste przecinające podstawę AD. Te dwie proste i przekątne AC i BD dzielą trapez na części. Udowodnić, że pole powstałego
pięciokąta jest równe sumie pól trzech trójkątów przylegających do boków AB, BC i CD.
15. Pole trójkąta prostokątnego jest równe S. Ze środka środkowej poprowadzonej do przeciwprostokątnej opuszczono prostopadłe na boki trójkąta. Znaleźć pole trójkąta z wierzchołkami w spodkach tych prostopadłych.
16. Znaleźć pole trójkąta, którego dwa boki są równe 3 i 4, a promień wpisanego okręgu jest równy 1.
3
17. Na przeciwprostokątną AB trójkąta prostokątnego ABC opuszczono
wysokość. Na wysokości jako na średnicy zbudowano okrąg. Do tego
okręgu z wierzchołków A i B poprowadzono styczne przecinające go
w punktach M i N i przecinające się przy przedłużeniu w punkcie D.
Znaleźć DM i DN , jeśli AB = c.
18. Punkty A, B i C leżą na jednej prostej. Rozważmy figurę ograniczoną
połokręgami ze średnicami AB, BC i AC, położonymi po jednej stronie
prostej. Znaleźć promień okręgu stycznego do trzech zbudowanych półokręgów, jeśli wiadomo, że odległość od środka tego okręgu do prostej
AC jest równa d.
19. Rozważmy wielokąt wypukły o różnych bokach. Udowodnić, że suma
odległości od dowolnego punktu wewnątrz tego wielokąta do jego boków
( prostych zawierających boki ) jest stała.
20. Przez dany punkt wewnątrz kąta poprowadzić prostą odcinającą od
tego kąta trójkąt o najmniejszym polu.
21. Dany jest kąt o wierzchołku A. Znaleźć na jego bokach punkty B i D
oraz punkt C wewnątrz tego kąta tak, aby BC + CD = a, gdzie a
dowolny odcinek i pole czworokąta ABCD było największe.
22. Dany jest kąt o wierzchołku A, wewnątrz którego leży okrąg. Niech B
i C - dwa punkty na ramionach kąta takie, że trójkąt ABC zawiera
okrąg. Udowodnić, że pole trójkąta ABC będzie najmniejsze w tym i
tylko tym przypadku, gdy BC jest styczną do okręgu, przy czym punkt
styczności jest środkiem BC.
23. Na płaszczyźnie umieszczono dwa okręgi o promieniach równych 1. Odległość między ich środkiem jest równa 3,6. Znaleźć najmniejszą wielkość pola trójkąta, zawierającego dane okręgi.