Warsztat pracy Kinematyka

Warsztat pracy
Wielkości fizyczne dzielimy na wektory (zaznaczone strzałką) i skalary, (czyli liczby, np. długości wektorów).
Wektory to „strzałki” od jednego punktu przestrzeni do drugiego. Ten punkt, od którego strzałka wychodzi
(początek wektora), to punkt zaczepienia wektora. Nazwijmy współrzędne tego punktu
. Współrzędne
punktu, na który strzałka wskazuje (końca wektora) nazwijmy
. Prosta, na której leży strzałka, to
kierunek wektora. To, w którą stronę pokazuje wektor, to zwrot wektora. Wtedy współrzędne wektora to:
(można zapisywać pionowo lub poziomo). Przykłady są np. na tej stronie.
Jak widać, współrzędne punktów zapisujemy w nawiasach zwykłych (), a wektorów w kwadratowych [].
Wektory dodaje się, dodając ich współrzędne:
Aby nie pomylić się przy
dodawaniu wektorów, warto przedtem ustalić układ współrzędnych. Wiedząc, w którą stronę skierowane są
osie układu współrzędnych będzie wiadomo, które współrzędne są ujemne, a które dodatnie. Długość wektora
zapisujemy dodając pionowe kreski albo nie pisząc strzałki, np. długość wektora to = . Długość sumy
wektorów z rysunku to wartość bezwzględna sumy składowych poziomych, bo pionowe składowe są równe 0:
Teraz bardzo ważne rozróżnienie: Kinematyka i Dynamika! To są 2 całkiem różne
rzeczy, powiązane wyłącznie 3 zasadami dynamiki Newtona! Kinematyka mówi,
jak coś się rusza, a dynamika dlaczego – wiele zadań jest prawie wyłącznie
kinematycznych (zwykle te, gdzie jest dużo liczenia), prawdziwa fizyka to
znajdowanie sił, które działają „pod maską” kinematyki.
Kinematyka
y
(-B,Y)
(0,Y) (A,Y)
x
-B
A
Ruch – zmiana położenia jednego ciała względem innego ciała (zwanego Układem Odniesienia)
Względność ruchu – układów odniesienia jest nieskończoność, wybieramy dowolny, możemy wybrać ciało:
1. nieruchome (wtedy otrzymujemy zwykły układ współrzędnych, nic nie trzeba zmieniać)
2. poruszające się ze stałą prędkością (wtedy do prędkości wszystkich innych ciał dodajemy - )
3. mające przyspieszenie (wtedy do innych ciał dodajemy pozorną siłę
, gdzie to masy tych ciał)
Tor ruchu – figura geometryczna, jaką kreśli opisywane w tym układzie ciało w ruchu (nazwę je C)
Droga S – długość fragmentu toru ruchu, jaki przebyło ciało C
Wektor wodzący
– strzałka od początku układu współrzędnych do ciała C
(składowe wektora wodzącego są zarazem współrzędnymi ciała C w tym układzie)
Wektor przesunięcia
– wektor między położeniem początkowym a końcowym ciała C
(czyli różnica wektorów wodzących, zwykłe odejmowanie wektorów)
Czas trwania ruchu – czas jaki upłynął między zmianą położenia początkowego na końcowe
Prędkość
czyli wektor przesunięcia podzielony przez czas trwania ruchu ( oznacza zmianę jakiejś
wielkości, np.
to różnica czasu na początku i na końcu trwania ruchu). to prędkość średnia, gdybym
chciał zmierzyć, jaką w danej chwili ciało ma prędkość, musiałbym wziąć bardzo, bardzo małe
(ale im
mniejsze , tym mniejsze
, więc będę dzielił przez siebie dwie małe liczby). Tak naprawdę prędkość
chwilowa to graniczny przypadek, kiedy
dąży do zera (czyli prędkość chwilowa).
Szybkość – długość wektora prędkości (| |), też może być średnia lub chwilowa
Przyspieszenie średnie
oznacza zmianę prędkości podzieloną przez zmianę czasu
Wzory na ruch jednostajny prostoliniowy: =0, =const, s=s0+ t (s0 – droga początkowa)
Wzory na ruch jednostajnie zmienny: =const, = 0+ t, s=s0+ 0t+ /2 ( 0 – prędkość początkowa)
Rzut ukośny to w poziomie ruch jednostajny, w pionie jednostajnie zmienny (stałe przyspieszenie)
Przykłady zadań kinematycznych – wymyślił je mój nauczyciel z liceum, pan Stasiak:
1. Kolumna samochodowa o długości r=2km porusza się z v1=40km/h. Z czoła kolumny na koniec rusza i
powraca motocyklista z v2=60km/h. Ile czasu upłynęło? (odpowiedź to 7 minut 12 sekund).
2. Statek holuje łódkę pod prąd rzeki. Prędkość prądu = v1, prędkość statku względem wody v2. Po czasie t
stwierdzono zerwanie łódki i zaczęto ją gonić. Po jakim czasie ją dogoniono?
3. 2 gołębie o takich samych v1 względem powietrza wyruszyły z A i B odległych o 300km. Spotkały się po
2,5h. Z A do B wiał wiatr z v2=5m/s. Oblicz v1, v gołębi względem ziemi, miejsce spotkania, czasy dotarcia
gołębi do celów (odpowiedzi to odpowiednio 78km/h, 42km/h, 195km, 3 i 33/39h, 7 i 1/7h)
Kinematyka ruchu po okręgu: wielkość liniowa = wielkość kątowa * odległość od osi obrotu
Przyspieszenie dośrodkowe odpowiada za zmianę kierunku prędkości (szybkość się nie zmienia, ale
prędkość się zmienia): dośr =
(gdzie to wektor zaczepiony na osi obrotu, wskazujący na
obracające się ciało). Możemy wybrać obracający się układ odniesienia – obowiązują te same zasady (np. dla
układu obracającego się ze stałą prędkością kątową , wszystkie ciała mają prędkość kątową mniejszą o )!
Kierunek wielkości kątowych pokrywa się z kierunkiem osi obrotu, a zwrot określa reguła prawej dłoni.
Dynamika
Siła wypadkowa działająca na ciało C to suma wszystkich sił działających na ciało C.
Można ją też nazywać łączna siła, całkowita siła,
albo
.
Pęd ciała C to wektor równy m (masa ciała C razy prędkość ciała C) łączny pęd wielu ciał to suma ich pędów
Komentarz do zasad Dynamiki Newtona (ZDN):
IZDN (jest ważna, bo definiuje układy inercjalne jako takie, w których obowiązuje IZDN) jest szczególnym
przypadkiem drugiej, która łączy kinematykę z dynamiką mówiąc że:
IIZDN: = m . Wypadkowa siła działająca na ciało o masie m jest równa masa razy przyspieszenie.
Tylko w układach inercjalnych, gdy
= 0, to = 0. W innych układach (nieinercjalnych) jest siła
bezwładności
, zależna od przyspieszenia układu.
IIIZDN jest znana jako zasada akcji i reakcji. Jest ważna, bo mówi, skąd się siły biorą – z innych sił! Nie ma
jednej siły, każda ma swoją bliźniaczkę o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie, doczepioną do innego
ciała! Niekiedy nie trzeba ich rysować (np. dowolne ciało też przyciąga ziemię z siłą m ), ale one zawsze są!
To dlatego zaczepianie tych sił w ciałach jest takie ważne – one pokazują co się z tymi ciałami dzieje.
Niektóre ważne siły:
Siła reakcji: jest prostopadła do granicy 2 stykających się ciał, ma taki zwrot i wartość, by ciała się nie przenikały.
Tarcie ślizgowe: też doczepiamy je na granicy 2 stykających się ciał (gdy ciało styka się z podłożem, nie trzeba
zaznaczać siły działającej na podłoże). Dopóki ciało się nie porusza, siła tarcia
ma taką wartość, żeby =0
(a zwrot przeciwny do złożenia pozostałych sił), i w miarę ich wzrostu rośnie do maksymalnej wartości
(
to współczynnik tarcia,
to siła nacisku), po czym
przestaje być 0. Dopóki ciało się nie porusza, mówimy
o tarciu statycznym, kiedy się porusza, mowa o tarciu dynamicznym. To drugie ma zawsze wartość
.
nie
zawsze wynosi m , bo chodzi o nacisk - np. dociskając kredę do tablicy mamy duże tarcie (umożliwia pisanie).
Naprężenie liny: w zadaniach przyjmuje się, że lina jest nierozciągliwa, wtedy
naprężenia wszędzie jest
taka sama:
liny z jednej strony jest równa
liny z drugiej strony (zaniedbujemy masę liny).
Jeszcze o ruchu po okręgu: siła dośrodkowa jest tylko pewną nazwą, funkcją, którą musi pełnić jakaś siła „z
krwi i kości” (np. siła napięcia liny albo ). Ta siła, która pełni rolę
, nie działa już w inny sposób –
składowa styczna do promienia „ginie”, poświęcając się na utrzymywanie ciała w ruchu po okręgu. Siła
odśrodkowa jest inną wersją siły bezwładności, wynika z przyjęcia układu, który wiruje – jest pozorna. Siła,
pełniąca rolę siły dośrodkowej, przestaje ją pełnić i znosi się z pozorną siłą odśrodkową. Jak cały układ wiruje,
tor ruchu ciała nie jest już okręgiem (bo w danym układzie ciało spoczywa), więc siły te (prawdziwa i pozorna)
muszą się zrównoważyć (czyli po zsumowaniu dać wynik zero).
Zasada zachowania pędu: jak mamy zamknięty układ ciał (tzn określoną liczbę ciał, które zawsze liczymy
razem i uwzględniamy je wszystkie), na które nie działa żadna zewnętrzna, to łączny pęd jest stały. Ta
zasada mówi to samo, co IZDN. Dlaczego? Siła to
= m , ale
, czyli
= m . Zakładając, że masa
ciała się nie zmienia, m
, czyli = Czyli jeśli łączna siła jest zero, to zmiana pędu
Zasada zachowania pędu działa w pionie i w poziomie (dla każdej współrzędnej wektora pędu oddzielnie).
Uwaga końcowa: tak naprawdę definicja siły to właśnie =
(w granicy
dążącego do zera).
Przykłady zadań dynamicznych, znowu od pana Stasiaka:
1. Nad studnią puszczono bardzo, bardzo długi drąg o masie M z uczepionym go kotem o masie m. Oblicz
drąga, jeśli kot pozostaje na tej samej wysokości.
2. Mamy okrągły pokój bez podłogi. Z jaką w powinien wirować, aby ludzie nie spadli (zakładamy, że są tuż
przy ścianach) – w zadaniu dane promień pokoju (5 metrów), przyspieszenie grawitacyjne (9.81 N/kg), oraz
współczynnik tarcia między człowiekiem a ścianą (który wynosi, powiedzmy, ½).
.
Energia to wielkość skonstruowana tak, że dla zamkniętego układu zawsze jest stała – jak wyróżnimy różne
podukłady/ciała, mogą sobie przekazywać energię (czyli wykonywać pracę). Im większa energia, tym więcej
można jej przekazać, a więc większą pracę wykonać: W =
E. Praca jest zawsze między czymś, co daje, a
czymś, co dostaje (we wzorze W =
E trzeba pamiętać, że jeśli W to praca jakiegoś ciała/układu A nad
ciałem/układem B, to
E jest zmianą energii B, a – E zmianą energii A). Jak praca A nad B jest ujemna, to
tak naprawdę ciało B przekazuje energię ciału A – minus wskazuje kierunek przepływu energii (ważne żeby
trzymać się jednej definicji pracy A nad B). Dlatego zawsze, jak nie wiesz, + czy –, pomyśl, w którą stronę
płynie energia. Na przykład praca dziecka ciągnącego pod kątem alfa sanki, trące o podłoże, idzie na energię
cieplną sanek i podłoża (praca dziecka NAD podłożem jest dodatnia, podłoże zyskuje energię, dziecko traci).
Energia cieplna też może być przekazywana między ciałami, wtedy oznaczamy ją Q. Ostatecznie
E=W+Q,
czyli I zasada termodynamiki to po prostu zasada zachowania energii. Właśnie, energia może być:
1. kinetyczna: „zmagazynowana” w ruchu ciała zgodnie ze wzorem E=
(gdy
, dużo mniejsze od c)
2. cieplna: „nieuporządkowana” energia pojedynczych cząsteczek, którą trudno zamienić w „makroskopową”
energię dużych ciał. Przekaz energii cieplnej (ciepło) często nie jest odwracalny, dlatego oznacza się go jako Q,
a nie W. O tym, kiedy taki przekaz można odwrócić albo zmienić w pracę mówi 2. zasada termodynamiki.
3. potencjalna: gdy siła jest zachowawcza, ruch ciała po zamkniętym torze pod wpływem tej siły nie powoduje
straty energii tego ciała 1. Skoro po powrocie do tego samego punktu energia ciała się nie zmienia, praca, jaką
wykonają siły zachowawcze nad tym ciałem przy ruchu od punktu do punktu nie zależy od drogi. 2
Przy przesunięciu o , gdy na ciało działa siła , zyskuje ono energię kinetyczną
. Gdy siła jest
zachowawcza, odbywa się to kosztem energii potencjalnej, (całkowita energia musi być zachowana):
Wiem, że
skalarem, więc nie można podzielić
jest wektorem, a
wszystko się zgodzi jeśli napiszę:
(granica przy
– ale
, czyli dąży do zera)
Na ciało wpływają tylko zmiany
czyli praca wykonywana przez siły zachowawcze. Znaczy to, że jeśli
dodamy do
stałą (niezależną od położenia), niczego to nie zmieni. Dlatego określam sobie pewien punkt
(np. nieskończoność), dla którego
jest 0. Wtedy
dla danego ciała to praca3 potrzebna do przeniesienia go
z tego szczególnego punktu do punktu w którym ciało się znajduje:
Przykłady: energie sprężystości (
), grawitacji dla ciała blisko ziemi (
), dwóch
elektrycznych ładunków punktowych (
) itd. Dla sił zachowawczych suma
pozostaje
stała. Np. dla energii sprężystości
to energia zgromadzona w sprężynie, a
to energia kinetyczna ciała
doczepionego do sprężyny. W innych przypadkach „zaksięgowanie” energii między ciałami może być
trudniejsze, ale nie warto się tym przejmować – ważne, aby każdy człon sumy policzyć dokładnie raz.
uwaga, część poniżej jest trochę trudniejsza (wystarczy znajomość 2. pochodnej i symbolu sumy, )
Bryła sztywna to takie ciało, w którym 2 dowolne punkty nie zmieniają wzajemnego położenia. Ten zbiór
punktów ma „bezwładność” (analogia masy), i można go obracać wokół osi obrotu, którą wybieramy
dowolnie. Dla takiej osi
, gdzie
to masa danego punktu, a to odległość tego punktu od osi.
Uwaga: nie ma jednego I, zależy od osi obrotu!
ruchu obrotowego bryły obracającej się z prędkością to
(jeśli przyjmiemy, że ruch jest tylko obrotowy
oraz
, widać, czemu dla masy punktów musimy mnożyć przez : wtedy suma energii kinetycznych
wszystkich punktów
. I jest sumą, zatem jest addytywne - możemy je dodawać/odejmować od innego I (wzgl. tej samej osi), kiedy (roz)łączymy 2 ciała.
Środek Masy bryły z punktów o masach
i położeniach
Gdy na każdy i-ty punkt bryły działa przyspieszenie
to wektor równy:
(np. grawitacyjne), to siła
działa tak jakby bryła była punktem
1
Wracając do tego samego punktu tracimy tyle energii, ile zyskaliśmy, odchodząc od niego: (sumaryczna praca nad ciałem)=0.
Praca po drodze 1 to , po drodze 2
. Gdy wrócę po drodze 1 do punktu wyjścia, zmienię energię ciała o –
(bo sumaryczna
praca musi być 0). Więc jeśli pójdę drogą 2, a wrócę drogą 1, łączna zmiana energii to 0=
Stąd = .
3
Chodzi o pracę przeciwko siłom zachowawczym, a nie o pracę sił zachowawczych nad ciałem (która będzie miała przeciwny znak)
22
położonym w jej środku masy, o masie
. Tak samo w drugą stronę: siła
działa tak, jakby na każdy punkt ciała działało przyspieszenie
zaczepiona w środku masy
, więc ciało nie zacznie się obracać. 4
Dlatego siłę grawitacji czy siły pozorne w układach nieinercjalnych zaczepia się w środku masy.
Uwaga: tzw „środek ciężkości” jest równy środkowi masy tylko, gdy g=const. Gdyby ciało było na tyle duże,
że różne jego punkty byłyby przyciągane z różnym przyspieszeniem, łączną siłę grawitacji działającą na ciało
trzebaby zaczepić gdzie indziej niż w środku masy – w środku ciężkości, który leżałby w innym miejscu.
Powyżej uzasadniłem, że siły zaczepione w środku masy, nie wpływają na ruch obrotowy, a wyłącznie
postępowy. W innym wypadku wpływają na oba ruchy, na postępowy tak jakby były doczepione do środka
masy, a na postępowy przez moment siły
, gdzie R to wektor od środka masy do punktu
zaczepienia siły, a
to przyspieszenie kątowe). Jeśli ciało nie jest do niczego zaczepione, oś obrotu
będzie przechodzić przez środek masy (wtedy sama sztywność bryły zapewnia siłę dośrodkową).
Tak jak moment siły przypomina siłę, tak moment pędu przypomina pęd: można go policzyć dla ciała
punktowego w odległości R od obserwatora (moment pędu można policzyć dla dowolnej osi), i wtedy
oraz
co daje zasadę zachowania momentu pędu: dopóki
, sumaryczny
Dla większej liczby punktów moment pędu to (analogicznie jak dla pędu równego
):
Jak widać, dla wielkości dynamicznych nie ma reguły coś liniowe = coś kątowe * R, bo mamy
,
, ale znowu wszystko jest analogiczne, w tym praca (dla
):
(gdzie - droga kątowa, równoległa do osi obrotu)
Ma to znane konsekwencje: kiedy człowiek stanie na obrotowym krześle trzymając wirujący w pionie dysk i
obróci go do poziomu (o 90st), sam zacznie się obracać – działa zasada zachowania momentu pędu w pionie!
http://www.youtube.com/watch?v=T3E-iZZV0gE
Podsumowując to wszystko:
- łączna energia kinetyczna
(v to prędkość środka masy, I mierzymy względem tej osi co )
- wszystkie siły działające na ciało składają się na ruch postępowy (środka masy)
- wszystkie momenty sił działające na ciało składają się na ruch obrotowy
- moc zawsze można policzyć ze wzoru P=dW/dt (szybkość przekazywania energii)
Równowaga w bryle sztywnej jest wtedy, gdy p=const i L=const. Jest statyczna, gdy p=0 i L=0. Może być:
- trwała gdy energia potencjalna jest minimalna (nie może zamienić się na
i wytrącić ciała z równowagi)
- chwiejna gdy
jest maksymalna (minimalna zmiana położenia wpłynie na
i spowoduje dalszą zmianę)
- obojętna gdy
jest stała
Bonus: co warto zapisać w zeszycie, który można mieć ze sobą na OF?
Ogólne wzory przydatne w różnych sytuacjach, np. zmiana pędu 2 zderzających się w jednym wymiarze
punktowych kulek o dowolnych prędkościach v:
Dla bryły sztywnej przydadzą się momenty bezwładności różnych brył i sposoby ich liczenia, takie jak tw.
Steinera (
), to że środek masy 2 brył można policzyć tak jakby były punktami, każda w swoim
środku masy, twierdzenie Pappusa (bryła powstała przez obrót jakiejś figury w przestrzeni ma objętość równą
powierzchni tej figury mnożonej przez drogę, jaką przebył środek masy tej figury) itd.
Przykładowe zadania na obroty bryły sztywnej (bardzo proste, na rozgrzewkę)
1. Oblicz I0 rury o promieniu zewnętrznym R, wydrążonej w środku na szerokość 2r. Znamy R,r i m rury
(trzeba odjąć od I „dużego” walca I „małego” walca, wtedy I0=I1-I2=mR^2-mr^2=m(R^2-r^2)
2. Tarcza o masie m i I0=mr^2/2 wiruje z prędkością kątową w. Na brzegu tarczy stoi żuk o masie M,
przechodzi do jej środka (najkrótszą drogą w układzie tarczy) i staje w miejscu. Jaką pracę wykonał, przeciw
czemu i co ona zmieniła? (zmienił się całkowity I, na żuka działała siła odśrodkowa)
Prawdziwe zadania (już nie na bryłę sztywną)
(zbiór zadań można pobrać np. z http://www.4shared.com/zip/7yLcwS04ce/zadania.html)
Polecam zadanie z klinem, II.18 (strona 733, 50. strona pliku PDF)
Na równowagę chwiejną: III.6 (str. 778, PDF. 73) albo III.3 (str. 769, PDF. 68)
Dla zaawansowanych polecam metodę przesunięć wirtualnych, która jest zastosowana w III.7 (str. 779)
Niestety zadań na bryłę sztywną tam nie znalazłem, ale ogólnie wszystkie zadania ze zbioru bardzo polecam.
4
O ile nie ma jakiejś innej siły (np. siły reakcji, która wymusza inną oś obrotu).