1 Płaska geometria analityczna

1
Płaska geometria analityczna
1.1
Wektory na płaszczyźnie
Współrzędne wektora swobodnego na płaszczyźnie z kartezjańskim układem
współrzędnych określamy następująco. Jeśli punkt A ma współrzędne (x1 , y1 ), a
−→
punkt B ma współrzędne (x2 , y2 ), to wektor AB ma współrzędne
[x2 − x1 , y2 − y1 ].
−→
Jeśli punkt A ma współrzędne (x0 , y0 ), to wektor OA ma też współrzędne [x0 , y0 ],
gdzie O to początek układu o współrzędnych (0, 0).
Dodawanie wektorów określamy następująco. Jeśli wektor ~v ma współrzędne
[x1 , y1 ], a wektor w
~ ma współrzędne [x2 , y2 ], to wektor ~v + w
~ ma współrzędne
[x1 + x2 , y1 + y2 ].
Jeśli wektor ~v ma współrzędne [x0 , y0 ], to dla dowolnej liczby c ∈ R wektor c · ~v ma
współrzędne [cx0 , cy0 ].
Dowolny wektor ~v = [x, y] można przedstawić w postaci
~v = [x, y] = [x, 0] + [y, 0] = x · [1, 0] + y · [0, 1] = x · e~1 + y · e~2 ,
gdzie e~1 = [1, 0], e~2 = [0, 1].
Wektor zerowy ~0 ma współrzędne [0, 0]. Dla dowolnego wektora ~v o współrzędnych [x0 , y0 ] wektor przeciwny −~v ma współrzędne [−x0 , −y0 ].
Długość wektora ~v o współrzędnych [x0 , y0 ] wyraża się wzorem
|~v | =
q
x20 + y02 .
Wektory ~v , w
~ są równoległe dokładnie wtedy, gdy ~v = c · w
~ dla pewnej liczby
c ∈ R lub w
~ = c0 · ~v dla pewnej liczby c0 ∈ R. Niezerowe wektory ~v , w
~ są równoległe
dokładnie wtedy, gdy ~v = c · w
~ dla pewnego c ∈ R.
Iloczyn skalarny niezerowych wektorów ~v , w
~ określamy wzorem
~v ◦ w
~ = |~v | · |w|
~ · cos (~v , w),
~
gdzie przez (~v , w)
~ oznaczamy kąt między wektorami ~v i w.
~ Iloczyn skalarny dowol~
nego wektora ~v i wektora zerowego 0 z definicji jest równy 0:
~v ◦ ~0 = ~0 ◦ ~v = 0.
Twierdzenie 1. Dla dowolnych wektorów ~u, ~v , w
~ oraz c ∈ R zachodzą następujące
zależności:
(a) ~v ◦ ~v = |~v |2 ,
1
1 PŁASKA GEOMETRIA ANALITYCZNA
2
(b) ~v ◦ w
~ = 0 ⇔ ~v ⊥ w,
~
(c) ~v ◦ w
~ =w
~ ◦ ~v ,
(d) (~u + ~v ) ◦ w
~ = ~u ◦ w
~ + ~v ◦ w,
~
(e) (c · ~v ) ◦ w
~ = c · (~v ◦ w).
~
W układzie współrzędnych dla wektorów ~v = [x1 , y1 ] i w
~ = [x2 , y2 ] iloczyn skalarny możemy wyliczyć korzystając z powyższych własności:
~v ◦ w
~ = (x1 · e~1 + y1 · e~2 ) ◦ (x2 · e~1 + y2 · e~2 ) = x1 y1 · (e~1 ◦ e~1 ) + x1 y2 · (e~1 ◦ e~2 )+
+x2 y1 · (e~2 ◦ e~1 ) + x2 y2 · (e~2 ◦ e~2 ) = x1 y1 · |e~1 |2 + x2 y2 · |e~2 |2 = x1 y1 + x2 y2 .
1.2
Proste na płaszczyźnie
W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie każda prosta nierównoległa do osi Oy jest wykresem pewnej funkcji liniowej, więc jest zbiorem punktów
(x, y) spełniających równanie
y = ax + b,
gdzie a, b ∈ R. Możemy to równanie zapisać w postaci ax + (−1)y + b = 0.
Pozostają proste równoległe do osi Oy, czyli proste o równaniach postaci
x = c,
gdzie c ∈ R. Takie równanie możemy zapisać w postaci x + 0 · y + (−c) = 0.
Możliwość jednolitego ujęcia obu powyższych przypadków daje równanie ogólne
prostej:
Ax + By + C = 0,
gdzie A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, tzn. (A, B) 6=
(0, 0).
Zauważmy, że wektor v = [A, B] jest niezerowym wektorem prostopadłym do
prostej o równaniu Ax + By + C = 0.
Prosta przechodząca przez punkt (x0 , y0 ) ma równanie postaci A(x − x0 ) + B(y −
y0 ) = 0 dla pewnych A, B ∈ R, takich że (A, B) 6= (0, 0).
Odległość punktu M o współrzędnych (x0 , y0 ) od prostej Ax+By+C = 0 wyraża
się wzorem
|Ax0 + By0 + C|
√
.
A2 + B 2
Jeśli dany jest punkt P o współrzędnych (x0 , y0 ) i wektor ~v o współrzędnych
[a, b], to prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do wektora ~v jest określona
równaniami parametrycznymi
(
x = x0 + at
y = y0 + bt,
gdzie t ∈ R jest parametrem określającym położenie punktu na prostej.
1 PŁASKA GEOMETRIA ANALITYCZNA
1.3
3
Krzywe stożkowe
Definicja. Okręgiem o środku O i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów
płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.
Okrąg o środku (x0 , y0 ) i promieniu r ma równanie
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
Definicja. Elipsą o ogniskach F1 , F2 i półosi wielkiej a > 0 nazywamy zbiór
punktów płaszczyzny, których suma odległości od punktów F1 i F2 jest równa 2a.
Elipsa o ogniskach F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) i półosi wielkiej a przedstawia się
równaniem
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
c
2
2
2
gdzie a = b +c . Liczbę e = a nazywamy mimośrodem elipsy. Mimośrod elipsy leży
w przedziale (0, 1). Proste o równaniach x = − ae i x = ae nazywamy kierownicami.
Każda z kierownic ma tę własność, że dla punktów na elipsie stosunek odległości od
ogniska do odległości od kierownicy jest stały, równy mimośrodowi.
Definicja. Hiperbolą o ogniskach F1 , F2 i półosi wielkiej a > 0 nazywamy zbiór
punktów płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od punktów F1 i F2 jest równa 2a.
Hiperbola o ogniskach F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) i półosi wielkiej a przedstawia
się równaniem
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
2
2
2
gdzie a + b = c . Podobnie jak dla elipsy, liczbę e = ac nazywamy mimośrodem.
Mimośrod hiperboli leży w przedziale (1, +∞). Kierownice hiperboli również mają
równania x = − ae i x = ae , a także własność opisaną powyżej.
Definicja. Parabolą o ognisku F i kierownicy k nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, dla których odległość od ogniska jest równa odległości od kierownicy.
Parabola o ognisku F = ( p2 , 0) i kierownicy o równaniu x = − p2 przedstawia się
równaniem
y 2 = 2px.
Mimośrod paraboli e = 1.