Odwzorowania Poincarégo

Odwzorowania Poincarégo
1
Odwzorowania Poincarégo
1
Przypomnienie: lokalne prostowanie pola wektorowego
(Patrz wykład o lokalnym prostowaniu pola wektorowego.)
Rozważmy pole wektorowe F : U → Rn klasy C 1 , gdzie U ⊂ Rn jest
obszarem (zbiorem otwartym i spójnym).
Pole wektorowe F generuje potok lokalny ϕ: dla x0 ∈ U , ϕ(t, x0 ) oznacza
wartość, w chwili t, rozwiązania układu równań różniczkowych x0 = F(x)
spełniającego warunek początkowy x(0) = x0 . Zamiast ϕ(t, ·) piszemy zwykle
ϕt (·).
Załóżmy, że Γ ⊂ U jest orbitą okresową.
Ustalmy punkt x ∈ Γ, transwersalę L pola F w punkcie x, oraz otoczenie
prostujące V , to znaczy otoczenie otwarte punktu x o tej własności, że istnieje
dyfeomorfizm M : V → M (V ) taki, że
• M (V ) = H×(−ε, ε), gdzie H = { (ξ1 , . . . , ξn−1 ) :
δ },
q
(ξ1 )2 + · · · + (ξn−1 )2 <
• M (L) = H × {0},
• dla każdego y ∈ V istnieje dokładnie jedna para (z, t) ∈ L × (−ε, ε)
taka, że y = ϕt (z); ponadto, M (y) = (ξ1 , . . . , ξn−1 , t), gdzie M (z) =
(ξ1 , . . . , ξn−1 , 0).
Dla każdego (ξ1 , . . . , ξn−1 , t) ∈ M (V ) połóżmy
Π(ξ1 , . . . , ξn−1 , t) := (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0),
oraz
π(ξ1 , . . . , ξn−1 , t) := t.
Zauważmy, że dla każdego y należącego do otoczenia prostującego V
• Π(M (y)) to (jednoznacznie wyznaczony) punkt z transwersali L na
którego kawałku orbity (od czasu −ε do czasu ε) leży punkt y;
• π(M (y)) jest równy najmniejszemu (co do modułu) czasowi potrzebnemu na to, by potok lokalny ϕ przeniósł punkt Π(M (y)) do punktu
y.
2
2
Skompilował Janusz Mierczyński
Odwzorowanie Poincarégo
Niech T > 0 będzie okresem podstawowym orbity okresowej Γ. Ciągłe odwzorowanie ϕT przeprowadza x w x, zatem istnieje otoczenie V 0 ⊂ V punktu
x takie, że ϕT (V 0 ) ⊂ V .
Odwzorowanie Poincarégo w punkcie x dla transwersali L definiujemy w
następujący sposób:
Px,L := M −1 ◦ Π ◦ M ◦ ϕT ,
gdzie dziedziną jest L ∩ V 0 .
Spróbujmy sie teraz przyjrzeć uważniej powyżej zdefiniowanemu odwzorowaniu. Dla y ∈ V połóżmy
Π̃(y) := (M −1 ◦ Π ◦ M )(y),
oraz
θ(y) = (π ◦ M )(y)
Powyższe odwzorowania są klasy C 1 .
Zachodzi następująca zależność:
Px,L (y) = (Π̃ ◦ ϕT )(y) = ϕT −θ(y) (y),
∀ y ∈ L ∩ V 0.
Odwzorowanie Px,L działa w następujący sposób: potok działa na punkt y ∈
L ∩ V 0 przez czas T , umieszczając go znów w otoczeniu prostującym V ; teraz
za Px,L (y) bierzemy ten (jednoznacznie wyznaczony) punkt z L, na kawałku
orbity (pomiędzy momentami czasu −ε a ε) którego leży ϕT (y).
Zauważmy, że odwzorowanie otrzymane za pomocą powyższej konstrukcji dla ϕ−T jest odwzorowaniem odwrotnym do Px,L . W szczególności wynika
stąd, że Px,L jest dyfeomorfizmem pewnej transwersali na swój obraz. Oczywiście, x jest punktem stałym tego dyfeomorfizmu.
Rzecz jasna, gdy weźmiemy inny punkt na orbicie okresowej Γ i/lub inną
transwersalę, otrzymamy inne odwzorowanie Poincarégo.
Okazuje się jednak, że odwzorowania Poincarégo odpowiadające tej samej
orbicie okresowej są w pewien sposób ze sobą powiązane. Wyjaśnimy teraz,
co się przez to rozumie.
Weźmy dwa punkty, x1 , x2 ∈ Γ, i transwersale L1 , L2 w tych punktach.
Niech t1 > 0, t2 > 0, t1 + t2 = T , będą takie, że ϕt1 (x1 ) = x2 i ϕt2 (x2 ) = x1 .
Oznaczmy przez Π1 , M2 , itd., odpowiednie odwzorowania dla punktów
x1 , x2 .
Odwzorowanie ϕt1 , będąc homeomorfizmem przeprowadzającym x1 w x2 ,
przeprowadza otoczenie prostujące V1 punktu x1 w pewne otoczenie punktu
Odwzorowania Poincarégo
3
x2 . Zmniejszając, jeśli zachodzi taka potrzeba, otoczenie prostujące V1 , możemy doprowadzić do tego, że ϕt1 przeprowadza to „nowe” otoczenie prostujące
(dalej oznaczane przez V1 ) w otoczenie prostujące V2 punktu x2 . Zatem definicja
R(y) := (Π̃2 ◦ ϕt1 )(y),
∀ y ∈ L1 ,
ma sens.
Odwzorowanie R przeprowadza transwersalę L1 w transwersalę L2 . Dalej,
wykazuje się, po pewnych rachunkach, że pochodna odwzorowania R w punkcie x1 jest izomorfizmem liniowym podprzestrzeni liniowej { (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0) }
na siebie. Stosując twierdzenie o funkcji odwrotnej do odwzorowania R dowodzimy, że po (być może) ponownym zmniejszeniu transwersali L1 , odwzorowanie R przeprowadza L1 w sposób różnowartościowy na pewne (relatywne)
otoczenie punktu x2 w transwersali L2 , i to tak, że odwzorowanie odwrotne
R−1 jest klasy C 1 .
W każdym razie, zachodzi poniższa relacja:
Px2 ,L2 = R−1 ◦ Px1 ,L1 ◦ R.
W języku teorii układów dynamicznych mówi się, że dyfeomorfizmy Px1 ,L1 i
Px1 ,L1 są sprzężone (i ponadto, odwzorowanie zadające sprzężenie, to jest R,
jest dyfeomorfizmem klasy C 1 )
Wynika stąd, że macierze pochodnych odwzorowań Px1 ,L1 , Px2 ,L2 , w ich
punktach stałych, x1 , x2 , są podobne.
W szczególności, wartości własne tych macierzy zależą tylko od orbity okresowej Γ. Nazywamy je mnożnikami charakterystycznymi orbity
okresowej Γ.
Liczbę zespoloną µ taką, że eµT jest mnożnikiem charakterystycznym orbity okresowej Γ, nazywamy wykładnikiem Floqueta1 orbity okresowej Γ. Wykładniki Floqueta są określone z dokładnością do dodania całkowitej wielokrotności 2πi/T .
Części rzeczywiste wykładników Floqueta nazywamy wykładnikami Lapunowa2 orbity okresowej Γ.
Orbitę okresową Γ nazywamy hiperboliczną, gdy żaden z jej mnożników
charakterystycznych nie ma modułu równego jeden (równoważnie, gdy żaden
z jej wykładników Lapunowa nie jest równy zeru).
1
2
Gaston Floquet (1847 – 1920), matematyk francuski
Aleksandr Michajłowicz Lapunow (1857 – 1918), matematyk rosyjski
4
3
Skompilował Janusz Mierczyński
Stabilność. Stabilność asymptotyczna
Mówimy, że orbita okresowa Γ jest stabilna (w sensie Lapunowa), gdy dla
każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdego y ∈ U takiego, że d(y, Γ) < δ
zachodzi: τmax = ∞ oraz d(ϕt (y), Γ) < ε dla każdego t ­ 0.
Mówimy, że orbita okresowa Γ jest przyciągająca, gdy istnieje takie otoczenie otwarte W orbity Γ, że dla każdego y ∈ W zachodzi ω(y) = Γ
Mówimy, że orbita okresowa Γ jest asymptotycznie stabilna, gdy jest stabilna i przyciągająca.
Twierdzenie 1. Załóżmy, że wszystkie wykładniki Lapunowa orbity okresowej Γ są ujemne. Wówczas Γ jest asymptotycznie stabilna.
Dowód powyższego twierdzenia jest żmudny, chociaż nie wymaga zastosowania jakichś szczególnych tricków. W rzeczywistości, przy tych założeniach
można wykazać nawet więcej: dla każdego y ∈ W istnieje (i to jednoznacznie
wyznaczony) punkt z ∈ Γ taki, że limt→∞ kϕt (y) − ϕt (z)k = 0 (tzw. faza
asymptotyczna).