Pochodna złożenia. Twierdzenie o pochodnej odwzorowania

Wykład 5
Pochodna złożenia
Z dotychczasowej nauki matematyki wiemy, iż pochodne funkcji jednej zmiennej bardzo dobrze zachowują się w przypadku składania funkcji. Oczekujemy, iż podobne zależności będą
spełnione dla odwzorowań. Rzeczywiście, zachodzi następujące;
Twierdzenie 1 Niech f : G 7→ G1 będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x0 ,
a g : G1 7→ Rk = Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y 0 = f (x0 ), gdzie G ⊂
Rm = X, G1 ⊂ Rn = Y , G jest otoczeniem punktu x0 , a G1 otoczeniem punktu y 0 . Wówczas
odwzorowanie g ◦ f jest różniczkowalne w punkcie x0 oraz zachodzi wzór:
D(g ◦ f )(x0 ) = Dg(y 0 ) ◦ Df (x0 ).
Dowód twierdzenia pozostawiam jako jedno z zadań.
Zapiszmy tezę twierdzenia bardziej ”dosłownie” tzn. przyjmijmy, że f = (f1 , . . . , fn ),
gdzie fu : X 7→ R, u = 1, . . . n, gv : Y 7→ R , gdzie v = 1, . . . k. (W celu nie komplikowania
zapisu przyjmujemy na chwilę, że odwzorowania te są określone na całych przestrzeniach X,
Y, Z.) Możemy wtedy zapisać, że:

∂f1
∂x1
...
..
.
...
 .
Df = 
 ..
∂fn
∂x1
∂f1
∂xm
..
.
∂fn
∂xm

∂g1
∂y1



 , Dg = 


..
.
∂gk
∂y1
∂g1
∂yn
...
..
.
...

.. 
. 

∂gk
∂yn
Daje to na mocy twierdzenia:

∂g1
∂y1
 .
D(g ◦ f ) = 
 ..
∂gk
∂y1
∂g1
∂yn
...
..
.
...
 
∂f1
∂x1
 .
.. 

. 
 ·  ..
∂gk
∂yn
∂fn
∂x1
...
..
.
...
∂f1
∂xm
..
.
∂fn
∂xm


.

Jeśli teraz przyjmiemy, że
"
∂(g ◦ f )i
D(f ◦ g) =
∂xj
to otrzymamy wzór:
#
i = 1, . . . k, j = 1 . . . , m,
n
∂(g ◦ f )i X
∂gi ∂fl
=
·
.
∂xj
l=1 ∂yl ∂xj
W powyższych zapisach w celu nie zaciemniania ich pominęliśmy punkty w jakich liczone są
pochodne cząstkowe i różniczki, co jednak nie czyni wywyodu mniej zrozumiałym.
Rozważmy następujące przykłady:
1
• Dana jest funkcja u = f (x, y, z), przy czym każda ze zmiennychjest funkcją zmiennej
t : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = θ(t). Chcemy obliczyć różniczkę funkcji złożonej u =
f (ϕ(t), ψ(t), theta(t)).
Korzystając z powyższego twierdzenia liczymy:
du
∂u dx ∂u dy ∂u dz
=
·
+
·
+
·
= u1 · ϕ 0 + u2 · ψ 0 + u 3 · θ 0 .
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
• Niech teraz u = f (x, y, z), przy czym zmienna x jest niezależna, a zmienne y i z są
funkcjami zmiennej x, tzn y = y(x), z = z(x).
Otrzymujemy:
du
∂u ∂u dy ∂u dz
=
+
+
.
dx
∂x ∂y dx ∂z dx
• Teraz niech u będzie jak poprzednio, natomiast zmienne x i y są niezależne,
oraz z = z(x, y).
Mamy wtedy:
∂u
= fx0 (x, y, z(x, y)) + fz0 (x, y, z(x, y))zx0 (x, y);
∂x
∂u
= fy0 (x, y, z(x, y)) + fz0 (x, y, z(x, y))zy0 (x, y).
∂y
Twierdzenie o odwracaniu odwzorowań
Definicja 1 Odwzorowanie F : G 7→ Rn , gdzie G ⊂ Rk nazywamy klasy C 1 , jeśli jest różniczkowalne, oraz odwzorowanie G 3 x 7→ wh (x) = DF (x)h jest ciągłe dla każdego ustalonego
h ∈ Rk .
Twierdzenie 2 Na to by odwzorowanie F : G 7→ Rn , F = (f1 , f2 , . . . , fn ), gdzie fi - funkcje
rzeczywiste, i = 1, 2, . . . , n było klasy C 1 potrzeba i wystarcza, by istniały w G pochodne
cząstkowe Dj fi , j = 1, 2, . . . , k i były w nim ciągłe.
Definicja 2 Niech f : X → Y . Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p ∈ X,
jeśli istnieje otoczenie U ⊂ X punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne.
Twierdzenie 3 Niech f : U→ Rk będzie odwzorowaniem klasy C 1 , gdzie U ⊂ Rk - zbiór
otwarty. Wówczas, jeśli Df ∈ I(X, Y ) (czyli pochodna funkcji f jest izomorfizmem liniowym
przestrzenie X i Y ), (u nas oznacza to det Df 6= 0) to:
a) zbiór f (U ) jest otwarty;
b) odwzorowanie f zawężone do pewnego otoczenia punktu x0 jest różnowartościowe.
2
c) jeśli f jest różnowartościowe, to f −1 istnieje, jest klasy C 1 oraz zachodzi:
Df −1 (y) = (Df (x))−1
gdzie y = f (x), x ∈ U .
W części ćwiczeniowej:
• stwierdziliśmy, że jeśli z = z(x, y), g = f (x, y, z), to gx = f10 + f30 · zx ;
• stwierdziliśmy, że odwzorowanie f : R2 → R2 dane wzorem f (x, y) = (x + y, x) jest różnowartościowe, jego różniczka jest izomorfizmem liniowym, więc na mocy twierdzenia
o odwracaniu jest globalnie odwracalne;
• stwierdziliśmy, że odwzorowanie f : R2 → R2 dane wzorem f (x1 , x2 ) = (ex1 sin x2 , ex1 cos x2 )
ma niezerujący się jakobian, więc jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie, aczkolwiek nie jest różnowartościowe, co czyni go nieodwracalnym globalnie;
e : (0, ∞) × [−π, π) → R2 dane wzorem
• stwierdziliśmy, że odwzorowanie: Φ
e
Φ(r,
ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y) jest różniczkowalne klasy C 1 , stwierdziliśmy jednak,
że nie jest różnowartościowe więc nie jest globalnie odwracalne. Zauważyliśmy jednak,
że po obcięciu do odwzorowania Φ : (0, ∞) × (−π, π) → R2 \ (R− × {0}) danego tym
samym wzorem
Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y)
jest bijekcją (różnowartościowe i ”na”). Pokazaliśmy, że jest różniczkowalne klasy C 1 , że
pochodna w każdym punkcie jest izomorfizmem liniowym (tzn jakobian się nie zeruje),
więc na mocy twierdzenia o odwracaniu odwzorowań istnieje odwzorowanie odwrotne
Φ−1 klasy C 1 . Odwzorowanie Φ nazywamy odwzorowaniem biegunowym.
3