32. Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 32
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
32. Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem
wpisanym i kąte m między styczną a cięciwą okręgu.
I.
Przypomnij sobie:
1. Jak nazywamy niektóre kąty „związane” z okręgiem i jakie są związki między
nimi? (wzory maturalne)
 - kąty wpisane oparte na łuku AB
2- kąt środkowy oparty na łuku AB
a
a.
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie
miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
b.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tych
samych łukach, są równe.
2. Ponieważ kąt środkowy oparty na półokręgu jest kątem półpełnym (180 o ), to z
zależności I.1.a. wynika, że kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym
(90o ).
3. Kąt między styczną a cięciwą okręgu nazywamy niekiedy kątem dopisanym.
a.
Miara tego kąta jest równa połowie miary kąta
środkowego opartego na łuku odpowiadającego
cięciwie (zatem równa też mierze kąta wpisanego
opartego na tym samym łuku).
b.
Kąt między styczną do okręgu a promieniem łączącym
punkt styczności ze środkiem okręgu jest zawsze kątem
prostym.
4. Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 o .
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 32
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład
a)
Oblicz miary kątów wyróżnionych
kolorem w okręgu o środku O,
uwzględniając dane na rysunku:
Rozwiązanie:
a. Korzystając ze związku I.1.a. stwierdzamy, że miara kąta  jest równa 100o :2 = 50o . Kąt 
oparty jest na łuku BCD (dopełniającym do łuku BAD, na którym oparty był kąt ). Kąt
środkowy oparty na tym łuku ma miarę 360o -100o = 260o , więc wykorzystując jeszcze raz
związek I.1.a. obliczamy miarę kąta : 260o :2 = 130o .  jest kątem wpisanym opartym na łuku
FBD. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę 180o (kąt półpełny)+100o = 280o ,
więc miara kąta  jest równa (znów ze związku I.1.a.): 280o :2 = 140o .
b. Kąt BCA jako kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym a ponieważ suma miar
kątów wewnętrznych trójkąta ABC wynosi 180o , to: 90o ++31o =180o ; czyli
 = 180o -90o-31o =59o .
Kąt między średnicą AB okręgu a styczną do tego okręgu w punkcie styczności A jest kątem
prostym. Zatem miara kąta  jest równa 90o -31o = 59o .
Uwaga:
Znając już miarę kąta  mogliśmy też skorzystać z zależności I.3.a.
Odpowiedź: Na rysunku a kąt  ma miarę 50o , kąt  ma miarę 130o , a kąt  – miarę 140o .
Natomiast na rysunku b oba kąty  i  mają miary 59o .
Przykład
Miara kąta  na rysunku obok jest równa:
A. 30o ,
B. 40o ,
C. 70o ,
D. 80o .
Rozwiązanie:
Kąt BCD jest kątem dopisanym opartym na tym samym łuku co i kąt CAB, więc jego miara
jest ( na mocy I.3.a.) równa 30o . Kąt CBD jest kątem przyległym do kąta ABC, więc jego
miara wynosi 180o -70o = 110o . Suma miar kątów w trójkącie BCD ( I.4.) jest równa 180o ,
czyli: 30o +110o + = 180o . Zatem  = 180o-30o-110o = 40o .
Odpowiedź B.
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 32
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład
Kąt środkowy  jest oparty na łuku wyznaczonym przez
tym samym łuku, co kąt  ma miarę:
A. 20o ,
B. 30o ,
C. 40o ,
1
okręgu. Kąt wpisany, oparty na
6
D. 60o .
Rozwiązanie:
Kąt środkowy  oparty na łuku wyznaczonym przez
(albo inaczej: 360o 
60o :2 = 30o .
Odpowiedź B.
1
okręgu ma miarę 360o (kąt pełny):6=60o
6
1
 60o ). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę (według I.1.a.)
6
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 32
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Jeżeli miara kąta  jest równa połowie miary kąta wpisanego opartego na średnicy, to suma
miar kątów , ,  jest równa:
A. 45o ,
B. 90o ,
C. 135o ,
D. 180o .
Zadanie 2. (1 pkt)
Suma miar kąta środkowego i kąta wpisanego, opartych na tym samym łuku, jest równa 120 o .
Kąt środkowy ma miarę:
A. 40o ,
B. 60o ,
C. 80o ,
D. 90o .
Zadanie 3. (1 pkt)
Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu o środku O w punkcie A ma
miarę 70o . Zatem kąt  ma miarę:
A. 120o ,
B. 140o ,
C. 152o ,
Zadanie 4. (2 pkt)
Oblicz miary kątów  i , korzystając z rysunku.
Odpowiedzi uzasadnij.
S – środek okręgu
D. 160o .