ZLic_Zad7.
Transkrypt
ZLic_Zad7.
Zarzadzanie - zadania z matematyki - lista 7 Wektory 1. Wykazac, z_ e: 2 > > a) " wektory#v1 = [v11 ; v21 ] ; v2 = [v12 ; v22 ] 2 IR sa liniowo niezale_zne () det[v1 ; v2 ] = v11 v12 det 6= 0, v21 v22 b) wektory v1 ; v2 ; v3 2 IR3 sa liniowo niezale_zne () det[v1> ; v2> ; v3> ] 6= 0; c) wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 IRn sa liniowo niezale_zne () det[v1> ; v2> ; :::; vn> ] 6= 0. 10.2. Wykazac, z_ e: h i a) wektory v1 ; v2 ; v3 2 IRn sa liniowo niezale_zne () r v1> ; v2> ; v3> = 3; n h n i 3; > b) wektory v1 ; v2 ; :::; vm 2 IR sa liniowo niezale_zne () r v1> ; v2> ; :::; vm =m: 2. Zbadac liniowa niezale_znosc ukladu wektorow: a) v1 = [3; 1] ; v2 = [ 2; 1] ; b) w1 = [ 1; 2] ; w2 = [2; 6] ; w3 = [3; 2] ; c) y1 = [1; 1; 1] ; y2 = [3; 1; 0] ; y3 = [ 1; 2; 1] ; d) z1 = 2; z2 = 3: 3. Wykazac, z_ e: a) je_zeli wektory v1 ; v2 ; v3 2 IR3 sa liniowo niezale_zne, to dowolny wektor w 2 IR3 mo_ze byc przedstawiony w postaci w = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 ; b) je_zeli wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 IRn sa liniowo niezale_zne, to dowolny wektor w 2 IRn mo_ze byc przedstawiony w postaci w = 1 v1 + 2 v2 + ::: + n vn : 4. Pokazac, z_ e a) jesli uklad v1 ; v2 ; :::; vm 2 IRn jest liniowo zale_zny, to przynajmniej jeden z wektorow v1 ; v2 ; :::; vm jest liniowa kombinacja pozostalych; b) jesli uklad v1 ; v2 ; :::; vm 2 IRn jest liniowo niezale_zny, zas uklad v1 ; v2 ; :::; vm ; vm+1 2 n IR jest liniowo zale_zny, to vm+1 jest liniowa kombinacja wektorow v1 ; v2 ; :::; vm . Przeksztalcenia liniowe 1. Okreslmy przeksztalcenie A : IR2 ! IR2 nastepujaco A (x) = A " x1 x2 # = " cos sin sin cos #" x1 x2 # : a) Pokazac, z_ e jest to"przekszta lcenie liniowe; # 1 b) Wyznaczyc (A )k dla = =6; =4; =3; =2; k = 0; 1; 2; 3; 4; 0 c) Podac postac przeksztalcenia A A ; d) Czy A A = A A ? e) Czy A jest odwzorowaniem ro_znowartosciowym? Jesli tak, to podac postac odwzorowania (A ) 1 ; 2 3 a11 a12 7 2. Sprawdzic, z_ e dla przeksztalcenia liniowego A : IR2 ! IR3 z macierza A = 6 4 a21 a22 5 a31 a32 rownanie A(x) = b ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy wektor b jest kombinacja liniowa wektorow a1 = [a11 ; a21 ; a31 ] ; a2 = [a12 ; a22 ; a32 ]. 1 Proste i plaszczyzny w IR3 1. Narysowac proste o rownaniach: a) x1 = 1; b) x2 = 2; c) x1 x2 = 2; d) 3x1 5x2 = 15; e) 2x1 + 5x2 = 10; f) x31 + x42 = 1: 2. Dana jest prosta L o rownaniu ogolnym 6x y + 2 = 0; a) Przeksztalcic prosta L do postaci kierunkowej, odcinkowej i parametrycznej; b) Znalezc punkty przeciecia prostej L z osiami ukladu; c) obliczyc odleglosc punktu (1; 2) od prostej L; d) napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej L. 3. Pokazac, z_ e punkty x =(x1 ; x2 ); y = (y1 ; y2 ); z =(z1 ; z2 ) 2 IR2 le_za na jednej prostej (sa wspolliniowe) () x1 y1 x2 y2 = 0: det[x y; x z]> = x1 z1 x2 z2 4. Pokazac, z_ e punkty x; y; z; u 2 IR3 le_za na jednej plaszczyznie () x1 y1 x 2 y2 x3 y3 det[x y; x z; x u]> = x1 z1 x2 z2 x3 z3 = 0: x 1 u1 x 2 u 2 x 3 u3 5. Napisac rownanie plaszczyzny: a) przechodzacej przez punkty x = (x1 ; x2 ; x3 ) i y = (y1 ; y2 ; y3 ) i rownoleglej do wektora v = (v1 ; v2 ; v3 ); b) przechodzacej przez punkt x = (x1 ; x2 ; x3 ) i prostopadlej do wektora u = (u1 ; u2 ; u3 ); c) przechodzacej przez punkt x = (x1 ; x2 ; x3 ) i prostopadlej do plaszczyzn Ai x1 + Bi x2 + Ci x3 + Di = 0; i = 1; 2; w postaci ogolnej i parametrycznej. 6. Dane sa trzy plaszczyzny o rownaniach ogolnych: Ai x1 + Bi x2 + Ci x3 + Di = 0; i = 1; 2; 3. Podac warunki, przy ktorych plaszczyzny te: a) nie maja punktu wspolnego, b) maja dokladnie jeden punkt wspolny, c) maja nieskonczenie wiele punktow wspolnych zale_znych od jednego parametru (przecinaja sie wzdlu_z jednej wspolnej krawedzi), d) maja nieskonczenie wiele punktow wspolnych zale_znych od dwoch parametrow (pokrywaja sie). 7. Znalezc odleglosc punktu p = (p1 ; p2 ; p3 ) od plaszczyzny Ax1 + Bx2 + Cx3 + D = 0: 2