Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 81 π cm2
Transkrypt
Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 81 π cm2
Zadanie: Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 81 π cm2 , a jego objętość wynosi 81 π cm3 . Oblicz miarę kata rozwarcia stożka. Wynik podaj z dokładnością do 1◦ . Oznaczenia (patrz rysunek) Szukane: H - wysokość stożka r - promień podstawy stożka L - długość tworzącej S - pole powierzchni bocznej V - objętość stożka S = 81 cm2 V = 81 cm3 Kąt α będący kątem wierzchołkowym w równoramiennym trójkącie tworzonym przez przecięcie stożka płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez wierzchołek. Kąt β jest połową kąta α Objętość stożka: 1 V = πr2 H = 81π 3 (1) S = πrL + πr2 = 81π (2) Pole powierzchni całkowitej: Dodatkowo z twierdzenia Pitagorasa wiem, że L2 = r 2 + H 2 (3) Nie rozwiązuję tego układu równań ogólnie (choć jest to wykonalne, ale skomplikowane), tylko używam danych z zadania: S = 81π, V = 81π. Zaznaczam, że fizyczne wymiary w równaniach mogą się pozornie nie zgadzać, ponieważ pominąłem centymetry sześcienne i kwadratowe. Dążę do znalezienia r oraz H. Wtedy r (4) H W równaniu (2) dzielę obie strony przez π, następnie przez r, następnie odejmuję r od obu stron. Dostaję: 81 −r =L (5) r Podnoszę obie strony równania (5) do kwadratu i podstawiam kwadrat L z równania (3) tg β = 81 812 −2 r + r2 = r2 + H 2 2 r r Upraszczam kwadrat r oraz r w środkowym ułamku Obliczam kwadrat r. 812 − 162 = H 2 r2 zatem r2 = 812 H 2 + 162 (6) (7) Wstawiam kwadrat r do równania (1), upraszczam w nim π i mnożę przez 3. 812 H = 3 · 81 H 2 + 162 (8) Dzielę obie strony przez 3*81, mnożę przez mianownik. Dostaję równanie kwadratowe na H. 27H = H 2 + 162 zatem H 2 − 27H + 162 = 0 Rozwiązuję równanie (9) Wyróżnik ∆ = 272 − 4 · 162 = 81 = 92 . Wobec tego: H1 = (27 − 9)/2 = 9 oraz H2 = (27 + 9)/2 = 18. (9) Wartości H podstawiam do równania (7) i obliczam kwadrat r. Otrzymuję dwa rozwiązania: 812 812 27 2 = 27 oraz r = = (10) 2 2 2 9 + 162 18 + 162 2 q √ Wynika z tego, że r jest równe 3 3 lub 3 3/2. Podstawiam pary (H, r) do równania (4) (patrz poprzednia strona). r12 = q √ 3 3 1 tg β1 = =√ 9 3 oraz tg β2 = 3 3/2 9 s =3 3 2 (11) Pierwsze rozwiązanie odpowiada kątowi β1 = 30◦ , drugie kątowi około β2 ≈ 74.8◦ Szukany kąt rozwarcia stożka α jest podwojonym katem β. Zadanie ma więc dwa rozwiązania: α1 = 60◦ lub α2 ≈ 150◦ Sprawdzę jeszcze, czy dostaję właściwe pole powierzchni i objętość. q √ √ √ Dla H = 9, r = 3 3 dostaję L = 92 + (3 3)2 = 6 3 √ √ √ S = π · 3 3 · 6 3 + π · (3 3)2 = 81π √ 1 V = π · 9 · (3 3)2 = 81π 3 r q Dla H = 18, r = 3 3/2 dostaję L = q q q 92 + (3 3/2)2 = 15 3/2 q q S = π · 3 3/2 · 15 3/2 + π · (3 3/2)2 = 81π q 1 V = π · 18 · (3 3/2)2 = 81π 3