Ćwiczenia z przedmiotu Badania Operacyjne Prowadzący: mgr

Ćwiczenia z przedmiotu Badania Operacyjne
Prowadzący: mgr Łukasz Koralewski,
e-mail: [email protected] strona internetowa: http://kbo.ae.poznan.pl/koralewski
LINIOWE ZADANIA DECYZYJNE – FORMUŁOWANIE I METODA GEOMETRYCZNA
Zadanie 1. (Optymalna wielkość produkcji) Przedsiębiorstwo wytwarza dwa rodzaje zniczy Z1 i Z2. Podczas produkcji zuŜywane są dwa
limitowane surowce: wosk oraz szkło – podczas dnia na gotowy produkt moŜna przerobić maksymalnie 240 kg wosku oraz 180 kg szkła.
Jednocześnie wiadomo, Ŝe produkcja znicza Z2 nie moŜe być większa niŜ znicza Z1, oraz Ŝe łączna produkcja obu zniczy nie moŜe być
mniejsza niŜ 20 sztuk. Nakłady surowców potrzebne do wytworzenia jednostki produktów przedstawia tabela:
Znicz Z1
Znicz Z2
wosk
6 kg/szt
4 kg/szt
szkło
3 kg/szt
6 kg/szt
cena
3 zł
4 zł
a) Ustal optymalne dzienne rozmiary produkcji zniczy dające najwyŜszy moŜliwy przychód ze sprzedaŜy przy danych ograniczeniach. W
tym celu zbuduj Liniowe Zadanie Decyzyjne.
b) RozwiąŜ zadanie metodą geometryczną. Podaj wartość rozwiązania. Ile wynosi maksymalny osiągalny przychód?
c) Czy rozwiązanie ulegnie zmianie, jeśli cena znicza Z1 wzrośnie trzykrotnie?
d) W jakim przedziale musi znajdować się cena znicza Z2 by rozwiązanie z punktu b) pozostało optymalne?
e) (D) UłóŜ i rozwiąŜ ponownie to zadanie biorąc dodatkowo pod uwagę (wobec pierwotnej wersji zadania):
ograniczony zasób sznurka, z którego wykonywane są knoty, wynoszący 2 m dziennie. Znicz Z1 ma 4 cm knot a znicz Z2 5 cm.
produkcja znicza Z2 nie moŜe być mniejsza niŜ 5 sztuk
produkcja znicza Z1 nie moŜe być większa niŜ 25 sztuk (np. z powodu ograniczonego popytu)
f) Jakie załoŜenia ekonomiczne trzeba było przyjąć aby problem wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji moŜna było sprowadzić
do zadania PL ?
g) O popełnieniu jakich błędów modelowania świadczy brak skończonego optimum oraz pustość zbioru rozwiązań dopuszczalnych?
Zadanie 2. (Zagadnienie rozkroju) Tartak otrzymał zamówienie na 100 desek o długości 2m, 150 desek o długości 2,5m i 200 desek o
długości 3,5m. Deski otrzymuje się dokonując cięcia kłód o długości 10m.
a) Wyznaczyć kombinację sposobów rozkroju kłód minimalizującą wielkość odpadu. W jaki sposób moŜna zagwarantować niesprzeczność
zadania?
b) W jaki sposób liczba rozkrojów wpływa na rozwiązanie? Czy jest celowe generowanie duŜej liczby rozkrojów?
c) Podać uzasadnienie ekonomiczne wykorzystywania funkcji postulującej minimalizację odpadu.
Zadanie 3. (Zagadnienie diety) Racjonalna hodowla trzody chlewnej wymaga dostarczenia co najmniej 24 kg składnika odŜywczego S1 i co
najmniej 49 kg S2 oraz nie więcej niŜ 70 kg S3 dziennie. Składniki te dostarcza się skarmiając trzodę dwoma paszami : P1 i P2.
Zawartość składników odŜywczych w paszach (kg/kg) oraz ceny ich zakupu (zł/kg) podaje tabela.
Składnik
Pasza
odŜywczy
P1
P2
S1
0,04
0,12
S2
0,14
0,07
S3
0,1
0,1
Cena zbytu
2
1,5
a) Ustalić dzienne zapotrzebowanie na pasze P1 i P2 minimalizujące koszty zakupu, zapewniające dostarczenie składników odŜywczych w
wymaganych ilościach.
b) Przy jakiej cenie paszy P1 nastąpi zmiana rozwiązania z pkt. a)?
c) Powiedzmy, Ŝe dziennie moŜemy dostarczać dokładnie 500 kg pasz. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a)?
Zadanie 4. (D) (Optymalna wielkość produkcji) Piekarnia piecze dwa rodzaje chleba: Mazowiecki i Podkarpacki z dwóch rodzajów mąki:
pszennej i Ŝytniej, których moŜe zuŜyć w ciągu godziny ograniczoną ilość. UŜywane są takŜe droŜdŜe, których naleŜy wykorzystać w ciągu
godziny przynajmniej 100 g. PoniŜsza tabela przedstawia zuŜycie kaŜdego rodzaju mąki (w kg) i droŜdŜy (w g) na wyprodukowanie
bochenka chleba:
Chleb Mazowiecki Chleb Podkarpacki Zasób
Mąka pszenna 0,2
0,3
27
Mąka Ŝytnia
0,5
0,2
40
DroŜdŜe
2
5
min 100
Na podstawie analizy popytu wiadomo, Ŝe ilość chleba Mazowieckiego do ilości chleba Podkarpackiego powinna być nie mniejsza niŜ 3/7.
Minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków.
a) Jaka powinna być godzinna produkcja chlebów, aby uzyskać maksymalny przychód przy cenie chleba Mazowieckiego równej 1,5 zł
oraz Podkarpackiego 3,5 zł? Oblicz osiągany przychód.
b) WskaŜ rozwiązanie optymalne, jeśli oba chleby kosztowałyby tyle samo.
Zadanie 5. (Metoda geometryczna - przykłady zadań) Rozwiązać następujące zadania programowania liniowego. Przeprowadzić analizę
wraŜliwości dla wybranej wagi przy zmiennych decyzyjnych.
2 x1 + 3 x 2 → min
4 x1 + 2 x 2 → max
4
x
+
3
x
≥
12
1
2
b) 2 x1 − x 2 ≤ 2
a)
3x1 + 6 x 2 ≥ 18
x1 + x 2 ≤ 4
x1 − x 2 ≤ 2
2 x2 ≤ 6
x1 , x 2 ≥ 0
x1 , x 2 ≥ 0
PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE
Zadanie 1. (Zagadnienie wyznaczania optymalnej strategii marketingowej) W tabeli podano zyski (mln zł) i udział w rynku (%), jaki firma
spodziewa się osiągnąć stosując wybrane strategie marketingowe.
Strategie marketingowe
Kryteria
A
B
C
D
E
4
3
5
2
3,5
Zysk (mln zł) ( f 1 )
20
30
30
25
50
Udział w rynku (%) ( f )
2
a) Wyznaczyć strategie Pareto – optymalne w przestrzeni kryterialnej.
b) Wyznaczyć strategie Pareto – optymalne konstruując diagram Hassego.
c) Powiedzmy, Ŝe wyniku powtórnej ewaluacji strategii przyjęto, Ŝe zysk w przypadku strategii D będzie wynosić 3 mln zł. Czy zbiór
strategii Pareto - optymalnych ulegnie zmianie?
d) Zakładając, Ŝe osiągniecie duŜego udziału w rynku jest dwa razy waŜniejsze od realizacji zysku, wyznaczyć strategię optymalną
wykorzystując właściwe metakryterium.
Zadanie 2. (Zagadnienie oceny efektywności funkcjonowania kopalni) W tabeli podano trzy podstawowe parametry: zysk (w zł/ton),
wydajność (w tonach na osobę), wypadkowość (liczba zabitych/ 1 mln ton) dla 5 kopalń naleŜących do holdingu węglowego.
Kryteria
A
B
C
D
E
Zysk
40
50
-40
-30
-50
Wydajność
150
300
140
250
100
Wypadkowość
3
4
5
4
2
a) Utworzyć macierz stopni realizacji celów cząstkowych.
b) Uporządkować kopalnie kierując się maksymalizacją minimalnych stopni realizacji celów cząstkowych.
c) Na podstawie macierzy stopni realizacji, stosując właściwe metakryterium z wagami 1/2, 1/4, 1/4, uporządkować kopalnie od najlepszej
do najgorszej.
d) Które kopalnie naleŜy zamknąć, jeŜeli wiadomo, Ŝe wydajność w kaŜdej z kopalń musi być nie mniejsza niŜ 40% wydajności w kopalni
najlepszej?
Zadanie 3. (D) Do przetargu na budowę gminnego wodociągu stanęło czterech oferentów. Ich oferty róŜnią się ceną oraz okresem
udzielonej gwarancji:
Oferent
A
B
C
D
Cena [tys. zł]
500
600
900
700
Gwarancja [lata] 10
7
15
12
NaleŜy sporządzić ranking oferentów oraz wybrać najlepszą ofertę w oparciu o:
a) zbiór Pareto-optymalny
b) o najniŜszej cenie, lecz gwarancji co najmniej 10-letniej
c) o najdłuŜszej gwarancji, lecz nie droŜszą niŜ 800 tys. zł
d) oba cele są jednakowo waŜne (obie funkcje mają się realizować w moŜliwie najwyŜszym stopniu)
e) metakryterium oparte o stopnie realizacji z równymi wagami oraz z wagami 1 i 2
PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI
Zadanie 1. (Zagadnienie wyboru struktury zasiewów) Rolnik na polu o powierzchni 10 ha moŜe uprawiać pszenicę, Ŝyto, lub na połowie
areału pszenicę a na połowie Ŝyto. Przychody jakie przynosi uprawa zbóŜ zaleŜą od warunków pogodowych wywierających wpływ na
wielkość plonów oraz koniunktury na płody rolne decydującej o cenie zbytu. W tab. 1 podano wielkość spodziewanych zbiorów (q/ha) dla
uprawianych zbóŜ w zaleŜności od stanu pogody, a w tab. 2 ceny zbytu zbóŜ w zaleŜności od koniunktury gospodarczej (zł/t).
Wielkość plonów
Ceny zbytu
Stan pogody
Koniunktura
P1
P2
K1
K2
śyto
20
25
śyto
300
400
Pszenica
40
20
Pszenica
400
450
Tabela 1
Tabela 2
Wyznaczyć optymalną decyzje dot. struktury zasiewów stosując regułę Walda, maxi maksu, Hurvicza (dla współczynnika optymizmu
równego 0,5), Savage'a i Bayesa. Wyznaczając stany natury przyjąć, Ŝe koniunktura na płody rolne praktycznie nie zaleŜy od stanu pogody.
Zadanie 2. (D) Student I roku chciałby załoŜyć własną działalność gospodarczą na wakacje. RozwaŜa pięć moŜliwości wymienionych w
tabeli i dla kaŜdej z nich jest w stanie oszacować swój miesięczny dochód [w zł] w zaleŜności od tego, jaka nastąpi sytuacja w gospodarce
(stan natury).
a) UŜywając wszystkich znanych metod wybierz działalność dla studenta na przyszłe wakacje (w metodzie Hurvicza dla współczynnika
optymizmu równego 0,3).
b) Jaką działalność miałby podjąć student, jeśli miałby ją kontynuować równieŜ w latach kolejnych?
działalność SprzedaŜ napojów i
SprzedaŜ okularów
Pośrednictwo w
Obnośny handel
Sprzątanie mieszkań
lodów na plaŜy
przeciwsłonecznych
najmie kwater
kosmetykami
studenckich
Stan I
1700
1400
1000
1500
1600
Stan II
1800
2400
2500
2600
2200
Stan III
1200
1900
1700
1800
1600
Stan IV
2000
1800
2400
1500
1700
TEORIA GIER
Zadanie 1. W gminie działają dwaj producenci doniczek „A” i „B”. Konkurują oni ze sobą wysokimi (CW) lub niskimi cenami (CN).
Łączne zyski, jakie osiąga kaŜda z firm w zaleŜności od wybranej strategii cenowej przedstawia tabela:
Firma A
CW
CN
Firma B
CW
CN
45 , 50 35 , 66
40 , 30 30 , 36
a) Sprawdź czy istnieją strategie dominujące dla obu firm. WskaŜ równowagę ogólną.
b) Jak wyglądają strategie dominujące, jeśli firmie „A” udało się obniŜyć koszty produkcji. Macierz wypłat wygląda teraz następująco:
Firma A
CW
CN
Firma B
CW
CN
54 , 50
42 , 66
60 , 30
45 , 36
c) Czy w którymś z dwóch przypadków moŜliwa jest zmowa monopolistyczna?
Zadanie 2. (Problem opanowania rynku na jednorodny produkt) Macierz wypłat opisuje szacowane zyski dwóch firm pragnących opanować
rynek na pewien produkt. Zakłada się, Ŝe potencjalny popyt jest mniejszy od sumy zdolności produkcyjnych obu firm. KaŜda z firm
dysponuje dwiema strategiami : W - wejść na rynek, N – zrezygnować:
Firma I
a)
b)
c)
d)
e)
W
N
Firma II
W
N
-2 , -2 7 , 0
0,5 0,0
Uzasadnij strukturę wypłat.
Sprawdź czy istnieją strategie dominujące dla tych firm.
Wyznaczyć równowagę w sensie Nasha. JeŜeli istnieje więcej równowag, która z nich zostanie wybrana z większym
prawdopodobieństwem?
Czy moŜna oczekiwać współpracy firm?
Powiedzmy, Ŝe wypłatę (-2,-2) zastępuje wypłata (1,1). Czy odpowiedź na pytanie z pkt. d) ulegnie zmianie?
Zadanie 3. (dylemat więźnia) KaŜda z dwóch firm A i B, produkujących musztardę rozwaŜa podjęcie decyzji o sposobie dystrybucji swoich
wyrobów – albo poprzez hipermarkety (strategia H) albo przez sieć małych sklepików osiedlowych (strategia MS). Znana jest macierz
zysków dla kaŜdej kombinacji decyzji:
Firma B
H
MS
H
5 mln, 4 mln
13 mln, 1 mln
Firma A
MS
2 mln, 12 mln
9 mln, 10 mln
Znajdź rozwiązanie tej gry. Czy istnieje lepsze rozwiązanie dla obu graczy? Czy jest ono stabilne?
DRZEWA DECYZYJNE
Zadanie 1. (Zagadnienie wyboru strategii prowadzenia prac badawczo – rozwojowych) W tabeli podano wielkość nakładów, zysków oraz
prawdopodobieństwa ich osiągnięcia związanych z wyborem jednej z konkurencyjnych metod prowadzenia prac badawczo-rozwojowych.
Metoda
Nakłady (mln dol.)
Wynik
Prawdopodobieństwo
Zysk (mln dol.) bez
wyniku
wydatków na B+R
Biochemiczna
10
Sukces
0,7
90
PoraŜka
0,3
50
Biogenetyczna
20
Sukces
0,2
200
PoraŜka
0,8
0
Skonstruować drzewa decyzyjne pozwalające na wyznaczenie oczekiwanego zysku w przypadku, gdy prace nad metodą biochemiczną i
biogenetyczną mogą być prowadzone równolegle.
ANALIZA SIECIOWA PRZEDSIĘWZIĘĆ
Zadanie 1. Zbuduj siatkę czynności projektu przygotowania wystawy:
Lp
1
2
3
4
5
6
7
8
Wybór lokalizacji wystawy
Przygotowanie eksponatów
Przygotowanie terenu wystawy
Przygotowanie stoisk
Dostawa eksponatów
Przygotowanie obsługi stoisk
Urządzenie stoisk wystawowych
Otwarcie wystawy
czynność
A
B
C
D
E
F
G
H
Czynności bezp.
poprzedzające
A
C
B
A
D, E
F, G
Zadanie 2. Zbuduj siatki czynności dla następujących projektów:
a)
b)
c)
d)
czyn cz pop
czyn cz pop
czyn cz pop
czyn cz pop
A
A
A
A
B
A
B
B
B
A
C
A
C
A, B
C
C
A
D
C
D
A, B
D
A
D
B
E
B, D
E
B
E
B
E
B, C
F
B, D
F
D, E
F
B, D
F
D, E
G
C, F
G
D, E
H
D, E
H
F, G
e)
czyn cz pop
A
B
C
D
A
E
B
F
C
G
D, E
H D,E,F
f)
czyn cz pop
A
B
C
A
D
A
E
B, C
F B,C,D
G B,C,D
H
E, G
g)
czyn cz pop
A
B
C
A, B
D
B
E
C, D
F
A, B
Zadanie 3. Zbuduj siatkę czynności dla danego projektu i przeprowadź analizę czasową:
Zbiór bezp
Czas trwania [h]
czynność
poprzedników
A
8
B
6
C
A, B
5
D
A, B
7
E
B
4
F
C
7
G
D, E
8
a) Przeprowadź analizę czasową, tj. oblicz najkrótszy moŜliwy czas realizacji przedsięwzięcia, najwcześniejszy moŜliwy i najpóźniejszy
dopuszczalny moment zajścia kaŜdego zdarzenia, zapasy czasowe czynności całkowite i niezaleŜne. WskaŜ ścieŜkę krytyczną.
b) Jak zmieni się czas realizacji projektu, jeśli czas wykonania czynności:
• B wzrośnie o 1 h, a jak jeśli o 3 h?
• C spadnie o 2 h?
• A wzrośnie o 3 h?
Zadanie 4. (D) Dany jest projekt budowy domu:
9, 3, 8, 4 – czasy trwania czynności w miesiącach;
100, 120, 110, 130 - koszty wykonania poszczególnych czynności (w tys. zł);
liczby w nawiasach kwadratowych – koszty skrócenia danej czynności o
pierwszy oraz o drugi miesiąc (w tys. zł).
a) Ustal plan realizacji budowy domu minimalizujący koszty, jeŜeli ma on być wykonany w czasie dyrektywnym T*=10 miesięcy.
b) Jaki jest minimalny czas budowy domu jeśli inwestor posiadałby 470 tys zł?
c) W jakim czasie powinien zostać ukończony dom jeśli inwestor minimalizuje łączne koszty budowy domu oraz koszty wynajmu
mieszkania, w którym przebywa podczas budowy? Miesięczny koszt najmu wynosi 8 tys. zł.
Zadanie 5. Aby wykonać remont gazociągu potrzeba wykonać 5 poniŜszych czynności. Do wykonania części z nich potrzebne jest
wykorzystanie cięŜkiego sprzętu - koparek.
Czynność
Czynności bezp.
Czas trwania
Ilość
poprzedzające czynności [dni]
potrzebnych
koparek
A
2
B
A
4
2
C
3
3
D
C
5
E
B, D
4
2
a) Zbuduj siatkę czynności dla tego projektu. Przeprowadź analizę czasową. WskaŜ czynności krytyczne.
b) Zbuduj harmonogram Gantta. Ustal momenty rozpoczęcia poszczególnych czynności tak, by zminimalizować maksymalne
zapotrzebowania na pracę koparek, a projekt zakończył się w ustalonym wcześniej terminie.